2021年江苏省无锡市某校中考数学考前预测卷祥细答案与解析

2021年江苏省无锡市某校中考数学考前预测卷
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．）
1. 下列各数中，属于无理数的是（）
A.(π
2)0 B.√3
3
C.√4
D.√−8
3
2. 下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是()
A. B. C. D.
3. 函数y=2x
4−x
中自变量x的取值范围是()
A.x≠−4
B.x≠4
C.x≤−4
D.x≤4
4. 下列运算正确的是（）
A.(ab)2＝ab2
B.a2⋅a3＝a6
C.(−√2)2＝4
D.√2×√3=√6
5. 如图，直线l1 // l2，将一直角三角尺按如图所示放置，使得直角顶点在直线l1上，两直角边分别与直线l1、l2相交形成锐角∠1、∠2且∠1＝25∘，则∠2的度数为（）
A.25∘
B.75∘
C.65∘
D.55∘
6. 某地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，下列关于用水量的中位数、众数描述正确的是（）
A.中位数为5，众数为4
B.中位数为5，众数为5
C.中位数为4.5，众数为4
D.中位数、众数均无法确定
7. 如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为()
A.108∘
B.118∘
C.144∘
D.120∘
8. 某数学研究性学习小组制作了如图的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（）
A.4 5
B.5
8
C.7
8
D.7
10
9. 如图，A，B两点在反比例函数y=k1
x 的图象上，C，D两点在反比例函数y=k2
x
的图
象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝6，BD＝3，EF＝8，则k1−k2的值是（）
A.10
B.18
C.12
D.16
10. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为（）
A.2√3
B.√85
2C.3√15
2
D.√73
2
+1
二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共计16分）
因式分解：18−2x2＝________．
已知x＝2是关于x的方程x2−4x+m＝0的一个根，则m＝________．
截止2月28日17时，中国红十字会共接收到用于新型冠状病毒肺炎疫情防控的社会捐赠款逾15.7亿元，将数据15.7亿用科学记数法表示为________．
已知点P(x, y)位于第四象限，且x≤y+4（x，y为整数），写一个符合条件P的坐标________．
如图所示的电路中，当随机闭合开关S1，S2，S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为________．
如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1, p)，B(3, q)两点，则不等式ax2−mx+c>n的解集是________．
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，∠B ＝30∘，边BC 上一个动点M 从B 运动到C ，连AM ，将射线AM 绕M 顺时针旋转30∘交AC 于N ，则N 的路径长________．
如图，在四边形CABD 中，BD ＝AB ＝8，AC ＝2，点M 为AB 的中点，若∠CMD ＝120∘，则CD 的最大值是________．
三、简答题
计算题
（1）(π−3.14)0−(12)−2+√273
；
（2）(2x −y)2−(x +y)(x −y)．
先化简，再求值：
(x x 2+x −1)÷x 2−1x 2+2x+1，其中x 的值从不等式组{−x ≤12x −1<4 的整数解中选取．
如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF ．
(1)求证：四边形ACDF 是平行四边形；
(2)当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由．
某市在一次九年级数学做了检测中，有一道满分8分的解答题，按老师为了了解学生的得分情况与题目的难易情况，从全市8000名考生的试卷中随机抽取一部分，通过分析与整理，绘制了如图两幅图不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝________，b＝________，并把条形统计图补全；
（2）请估计该地区此题得满分（即的学生人数；
（3）已知难度系数的计算公式为L=X
，其中L为难度系数，X为样本平均得分，W为
W
试题满分值．一般来说，根据试题的难度系数可将试题分为以下三类：当0<L≤0.4时，此题为难题；当0.4<L≤0.7时，此题为中等难度试题；当0.7<L<1时，此题为容易题．试问此题对于该地区的九年级学生来说属于哪一类？并说明理由？
汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．
(1)若前四局双方战成2:2，那么甲队最终获胜的概率是________；
(2)现甲队在前两局比赛中已取得2:0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？
如图，在△ABC中，∠ACB＝90∘，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF，EF与AC交于点G．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA＝2，∠A＝30∘，求图中阴影部分的面积．
某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修．现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成．
（1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？
（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元．学校要求在12天内将学生公寓楼
装修完成．若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天．求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．
二次函数y＝−x2+(m−1)x+m(m>0)图象与x轴交于A，B（A在B左侧），与y轴交于C，顶点为D，连接AC，tan∠OAC＝3．
（1）求抛物线的解析式和D点坐标；
（2）有一点Q在直线BC上，当Q，C，D三点构成的三角形和△AOC相似，直接写出Q
点坐标；
（3）P点坐标为(0, t)(t>0)，G (3, t)，连结PG，在线段PG上是否存在一点M，连结MO，MB，使∠OMB＝30∘，如果存在，求出t的取值范围，如果不存在，说明理由．
（1）①发现：如图1，G是△ABC的重心，连结BG，CG，并分别延长BG，CG，交AC，BA于D，E连结DE，则DE与BC的位置关系是________．
②证明：如图2，AF是△ABC的中线，P是AF上任一点，连结BP，CP，并分别延长交AC，BA于D，E，连结DE，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
（2）应用：用无刻度直尺根据要求作图：如图3，M是▱ABCD边CD上一定点．
(i)在AB边上作一点N，使AN＝CM；
(ii)如图4中，BA的延长线上作一点Q，使AQ＝CM．
如图：在▱ABCD中，AC⊥AB，且AD＝5，AB＝4，如果将△ACD绕着点A顺时针方向旋转一个角度（小于180∘），如（1）图得到△AC′D′，则在旋转过程中．
（1）线段C′D′________经过原来点C的位置（填“能”或“不能”）；
=________；（2）如（2）图，当C′D′ // BC时，AC′与BC相交于点E，则C′E
AE
（3）如（3）图，当C′D′经过点B时，AD′与BC相交于点F，求△ABF的面积；
（4）如（4）图，当C′落在BC上时，记∠CAF＝∠1，求sin∠1的值．
参考答案与试题解析
2021年江苏省无锡市某校中考数学考前预测卷
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．）
1.
【答案】
B
【考点】
无理数的判定
无理数的识别
二次根式的乘除法
【解析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】
)0＝1，是有理数，选项错误；
A、(π
2
B、是无理数，选项正确；
C、√4=2，是有理数，选项错误；
3=−2，是有理数，选项错误．
D、√−8
2.
【答案】
D
【考点】
平移的性质
【解析】
根据平移的性质解答即可．
【解答】
解：图形平移后所得图形与原图形全等，
只有D选项的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
函数自变量的取值范围
【解析】
根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，4−x≠0，
解得x≠4．
故选B.
4.
【考点】
同底数幂的乘法
算术平方根
【解析】
根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，算术平方根法则分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】
A、结果是a2b2，故本选项不符合题意；
B、结果是a5，故本选项不符合题意；
C、结果是2，故本选项不符合题意；
D、结果是√6，故本选项符合题意；
5.
【答案】
C
【考点】
平行线的性质
【解析】
依据∠1＝25∘，∠BAC＝90∘，即可得到∠3＝65∘，再根据平行线的性质，即可得到∠2＝∠3＝65∘．
【解答】
如图，∵∠1＝25∘，∠BAC＝90∘，
∴∠3＝65∘，
又∵l1 // l2，
∴∠2＝∠3＝65∘，
6.
【答案】
C
【考点】
频数与频率
众数
中位数
【解析】
根据去年记录了12个月的月用水量，求出m+n的值，再根据中位数、众数的概念进
行求解即可．
【解答】
∵共12个月，
∴m+n＝12−2−4−3＝3，
把这些数从小到大排列，最中间的数是第6和第7个数的平均数，
∴用水量的中位数是4+5
=4.5吨；
2
∵4吨出现的次数最多，出现了4次，
∴众数为4吨；
7.
【考点】
多边形的外角和
多边形的内角和
切线的性质
【解析】
根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
【解答】
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E=∠A=180∘−360∘
5
=108∘．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA=∠ODE=90∘，
∴∠BOD=(5−2)×180∘−90∘−108∘−108∘−90∘=144∘.
故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
旋转的性质
解直角三角形
圆周角定理
【解析】
如图，连接AD．只要证明∠AOB＝∠ADO，可得sin∠AOB＝sin∠ADO=8
10=4
5
．
【解答】
如图，把刻度尺与圆的另一个交点记作D，连接AD．
∵OD是直径，
∴∠OAD＝90∘，
∵∠AOB+∠AOD＝90∘，∠AOD+∠ADO＝90∘，∴∠AOB＝∠ADO，
由刻度尺可知，OA＝0.8，
∴sin∠AOB＝sin∠ADO=8
10=4
5
．
9.
【答案】D
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征【解析】
由反比例函数的性质可知S△AOE＝S△BOF=1
2k1，S△COE＝S△DOF=−1
2
k2，结合S△AOC＝
S△AOE+S△COE和S△BOD＝S△DOF+S△BOF可求得k1−k2的值．【解答】
连接OA、OC、OD、OB，如图：
由反比例函数的性质可知S△AOE＝S△BOF=1
2|k1|=1
2
k1，S△COE＝S△DOF=1
2
|k2|=−1
2
k2，
∵S△AOC＝S△AOE+S△COE，
∴1
2AC⋅OE=1
2
×6×OE＝3OE=1
2
(k1−k2)…①，
∵S△BOD＝S△DOF+S△BOF，
∴1
2BD⋅OF=1
2
×3×(EF−OE)=1
2
×3(8−OE)＝12−3
2
OE=1
2
(k1−k2)…②，
由①②两式得：12−3
2
OE＝3OE，
解得OE=8
3
，
则k1−k2＝16，
10.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
相似三角形的性质与判定
矩形的性质
【解析】
过G作GN⊥AB于N，依据△ABE∽△GNH，即可得到GH的长；以AG，AH为邻边作平行四边形AEMG，可得AG+HE＝ME+HE，当H，E，M在同一直线上时，AG+HE 的最小值等于HM的长，再根据勾股定理求得HM的长，即可得到EH+AG的最小值．【解答】
如图所示，过G作GN⊥AB于N，则∠ANG＝90∘，GH＝AD＝2，
∵GH⊥AE，
∴∠ANG＝∠AFG＝90∘，
∴ ∠BAE ＝∠NGH ，
∴ △ABE ∽△GNH ，
∴ AE GH =AB GN ，
∵ Rt △ABE 中，AE =√AB 2+BE 2=√42+12=√17，
∴ √17GH =42，
∴ GH =√172， 如图所示，以AG ，AH 为邻边作平行四边形AEMG ，则AG ＝ME ，GM ＝AE =√17，∠HGM ＝∠AFG ＝90∘，
∴ AG +HE ＝ME +HE ，
当H ，E ，M 在同一直线上时，AG +HE 的最小值等于HM 的长，
此时，Rt △GHM 中，HM =√HG 2+GM 2=√(
√172)2+(√17)2=√852
， ∴ EH +AG 的最小值为√852， 二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共计16分）
【答案】
2(x +3)(3−x)
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
因式分解-提公因式法
因式分解
【解析】
原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
原式＝2(9−x 2)＝2(x +3)(3−x)，
【答案】
4
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
把x ＝2代入已知方程，列出关于m 的新方程，通过解新方程来求m 的值．
【解答】
∵ x ＝2是关于x 的方程x 2−4x +m ＝0的一个根，
∴ 22−4×2+m ＝0，
解得，m ＝4．
【答案】
1.57×109
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
首先把15.7亿写成15 7000 0000，再表示成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数．
【解答】
15.7亿＝15 7000 0000＝1.57×109，
(2, −1)
【考点】
点的坐标
【解析】
首先确定x、y的取值范围，然后再结合不等式x≤y+4（x，y为整数）确定x、y的值，进而可得答案．
【解答】
∵P(x, y)位于第四象限，
∴x>0，y<0，
∵x≤y+4（x，y为整数），
∴P(2, −1)，
【答案】
2
3
【考点】
概率公式
【解析】
根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯
．
泡发光，故其概率为2
3
【解答】
解：因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光，
．
所以P（灯泡发光）=2
3
故答案为：2
.
3
【答案】
x<−1或x>3
【考点】
二次函数与不等式（组）
【解析】
根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2−mx+c>n的解集，本题得以
解决．
【解答】
解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1, p)，B(3, q)两点，
∴ax2+c−mx−n>0的解集是x<−1或x>3，
故答案为：x<−1或x>3.
【答案】
9
【考点】
旋转的性质
轨迹
等腰三角形的性质
【解析】
先求出AM′＝3，∠M′AC＝60∘，进而求出CN′，再判断出点M从点B运动到点C时，点N 从点C运动到点N′，再从N′运动到点C，即可得出结论．
如图，过点A作AM′⊥BC于M′，将射线AM′绕点M′顺时针旋转30∘交AC于N′，∴∠AMC＝90∘，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30∘，
∴AM′=1
2
AB＝3，∠C＝∠B＝30∘，
∴∠BAC＝180∘−∠B−∠C＝120∘，
∴∠CAM′=1
2
∠BAC＝60∘，
∴∠AN′M′＝90∘，
在Rt△AN′M′中，AN′=1
2AM′=3
2
，
∴CN′＝AC−AN′=9
2
，
当点M和点B重合时，点N和点C重合，点M从点B向点M′运动时，点C向点N′运动，当点M和点M′重合时，点N和点N′重合，
当点M从点M′向点C运动时，点N从点N′向点C运动，
当点M和点C重合时，点N和点C重合，
即点M从点B运动到点C时，点N从点C运动到点N′，再由点N′运动到点C，
∴点N的路径长为2CN′＝9，
【答案】
14
【考点】
线段的性质：两点之间线段最短
轴对称的性质
【解析】
如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
【解答】
如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120∘，
∴∠AMC+∠DMB＝60∘，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60∘，
∴∠A′MB′＝60∘，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，
∴CD的最大值为14，
三、简答题
【答案】
(π−3.14)0−(1
)−2+√27
3
＝0；
(2x−y)2−(x+y)(x−y)
＝4x2−4xy+y2−(x2−y2)
＝4x2−4xy+y2−x2+y2
＝3x2−4xy+2y2．
【考点】
负整数指数幂
实数的运算
完全平方公式
零指数幂
平方差公式
【解析】
（1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案．
【解答】
(π−3.14)0−(1
2
)−2+√27
3
＝1−4+3
＝0；
(2x−y)2−(x+y)(x−y)
＝4x2−4xy+y2−(x2−y2)＝4x2−4xy+y2−x2+y2＝3x2−4xy+2y2．
【答案】
解：=−x 2
x(x+1)÷(x+1)(x−1)
(x+1)2
=−x
x+1⋅x+1
x−1
=−x
x−1
．
解{−x≤1
2x−1<4得：−1≤x<5
2
，
∴不等式组的整数解为−1，0，1，2．
若使分式有意义，只能取x=2，
∴原式=−2
2−1
=−2．
【考点】
分式的化简求值
一元一次不等式组的整数解
分式的混合运算
一元一次不等式的整数解
【解析】
此题主要考查了分式的混合运算以及不等式组的解法．【解答】
解：=−x 2
x(x+1)÷(x+1)(x−1)
(x+1)2
=−x
x+1⋅x+1
x−1
=−x
x−1
．
解{−x≤1
2x−1<4得：−1≤x<5
2
，
∴不等式组的整数解为−1，0，1，2．
若使分式有意义，只能取x=2，
∴原式=−2
2−1
=−2．
【答案】
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB // CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≅△CDE(ASA)，
∴CD=FA，
又∵CD // AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
(2)解：BC=2CD．
理由：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45∘，
∵∠CDE=90∘，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
【考点】
全等三角形的性质与判定
平行四边形的判定
角平分线的性质
【解析】
（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≅△CDE，即可得到CD＝FA，再根据
CD // AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD＝DE，再根据E是AD的中点，可得AD ＝2CD，依据AD＝BC，即可得到BC＝2CD．
【解答】
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB // CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≅△CDE(ASA)，
∴CD=FA，
又∵CD // AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
(2)解：BC=2CD．
理由：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45∘，
∵∠CDE=90∘，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
【答案】
25,20
8000×20%＝1600（人），
即该地区此题得满分（即的学生有1600人；
此题对于该地区的九年级学生来说属于中等难度的题目，
理由：X＝0×10%+3×25%+5×45%+8×20%＝4.6，
=0.575，
L=4.6
8
∵当0.4<L≤0.7时，此题为中等难度试题，0.4<0.575≤0.7，
∴此题对于该地区的九年级学生来说属于中等难度的题目．
【考点】
用样本估计总体
频数（率）分布直方图
扇形统计图
条形统计图
【解析】
（1）根据得分为0分的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可得到a、b的值；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出该地区此题得满分（即8分）的学生人数；（3）根据题意，可以计算出对应的L的值，然后即可判断该题属于那种类型．
本次调查的学生有：24÷10%＝240（人），
×100%＝20%，
b%=48
240
a%＝1−10%−45%−20%＝25%，
得分3分的学生有：240×25%＝60（人），
补全的条形统计图如右图所示，
故答案为：25，20；
8000×20%＝1600（人），
即该地区此题得满分（即的学生有1600人；
此题对于该地区的九年级学生来说属于中等难度的题目，
理由：X＝0×10%+3×25%+5×45%+8×20%＝4.6，
L=4.6
=0.575，
8
∵当0.4<L≤0.7时，此题为中等难度试题，0.4<0.575≤0.7，
∴此题对于该地区的九年级学生来说属于中等难度的题目．
【答案】
1
(2)解：画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7，
．
所以甲队最终获胜的概率为7
8
【考点】
列表法与树状图法
概率公式
【解析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率公式求．
解：∵甲、乙两队每局获胜的机会相同，
所以甲队在第五局获胜的概率为1
2
，
即甲队最终获胜的概率是1
2
.
故答案为：1
2
.
(2)解：画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7，
所以甲队最终获胜的概率为7
8
．
【答案】
连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∵BF＝EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠ACB＝90∘，
∴∠A+∠B＝90∘，
∴∠AEO+∠BEF＝90∘，
∴∠OEG＝90∘，
∴EF是⊙O的切线；
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90∘，
∵∠A＝30∘，
∴∠EOD＝60∘，
∴∠EGO＝30∘，
∵AO＝2，
∴OE＝2，
∴EG＝2√3，
∴阴影部分的面积=1
2×2×2√3−60⋅π×22
360
=2√3−2
3
π．
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）连接OE ，根据等腰三角形的性质得到∠A ＝∠AEO ，∠B ＝∠BEF ，于是得到∠OEG ＝90∘，即可得到结论；
（2）由AD 是⊙O 的直径，得到∠AED ＝90∘，根据三角形的内角和得到∠EOD ＝60∘，求得∠EGO ＝30∘，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】
连接OE ，
∵ OA ＝OE ，
∴ ∠A ＝∠AEO ，
∵ BF ＝EF ，
∴ ∠B ＝∠BEF ，
∵ ∠ACB ＝90∘，
∴ ∠A +∠B ＝90∘，
∴ ∠AEO +∠BEF ＝90∘，
∴ ∠OEG ＝90∘，
∴ EF 是⊙O 的切线；
∵ AD 是⊙O 的直径，
∴ ∠AED ＝90∘，
∵ ∠A ＝30∘，
∴ ∠EOD ＝60∘，
∴ ∠EGO ＝30∘，
∵ AO ＝2，
∴ OE ＝2， ∴ EG ＝2√3，
∴ 阴影部分的面积=12×2×2√3−60⋅π×22
360=2√3−23π．
【答案】
设甲队单独完成需要x 天，乙队单独完成需要y 天．
由题意{1x +1y =1
83
x +18y =1 ，解得{x =12y =24 ， 经检验{x =12y =24
是分式方程组的解， ∴ 甲、乙两队工作效率分别是112和124．
设乙先工作x 天，再与甲合作正好如期完成．
则1224+12−x
12=1，解得x ＝6．
∴ 甲工作6天，
∵ 甲12天完成任务， ∴ 6≤m ≤12．
∵ 完成该工程甲队工作m 天，乙队工作n 天， ∴
m 12
+
n 24
=1，
∴ n ＝24−2m ， m ≤12，n ≤12， ∴ 24−2m ≤12， ∴ m ≥6，
∴ 6≤m ≤12，
∴ w ＝3000m +1400(24−2m)＝200m +33600， ∵ 200>0，
∴ m ＝6时，此时费用最小，
∴ w 的最小值为200×6+33600＝34800元．
【考点】
分式方程的应用 【解析】
（1）设甲队单独完成需要x 天，乙队单独完成需要y 天．列出分式方程组即可解决问题； （2）设乙先工作x 天，再与甲合作正好如期完成．则12
24+
12−x 12
=1，解得x ＝6．由此
可得m 的范围，再构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题； 【解答】
设甲队单独完成需要x 天，乙队单独完成需要y 天． 由题意{1
x
+1y =1
83
x
+18y
=1
，解得{x =12
y =24 ， 经检验{x =12
y =24 是分式方程组的解，
∴ 甲、乙两队工作效率分别是1
12和1
24． 设乙先工作x 天，再与甲合作正好如期完成． 则
1224
+
12−x 12
=1，解得x ＝6．
∴ 甲工作6天，
∵ 甲12天完成任务， ∴ 6≤m ≤12．
∵ 完成该工程甲队工作m 天，乙队工作n 天， ∴
m 12
+
n 24
=1，
∴ n ＝24−2m ， m ≤12，n ≤12， ∴ 24−2m ≤12， ∴ m ≥6，
∴ 6≤m ≤12，
∴ w ＝3000m +1400(24−2m)＝200m +33600， ∵ 200>0，
∴ m ＝6时，此时费用最小，
∴w的最小值为200×6+33600＝34800元．
【答案】
如图1中，
对于抛物线y＝−x2+(m−1)x+m，令y＝0，可得x2+(1−m)x−m＝0，∴(x+1)(x−m)＝0
∴x＝−1或m，
∴A(−1, 0)，B(m, 0)，C(0, m)，
∴OA＝1，OB＝OC＝m，
在Rt△AOC中，∵tan∠OAC=OC
OA
=3，
∴OA＝OB＝3，即m＝3，
∴y＝−x2+2x+3＝−(x−1)2+4，
∴D(1, 4)．
由（1）可知，A(−1, 0)，C(0, 3)，B(3, 0)，D(1, 4)，
∴OA＝1，OC＝OB＝3，AC=√10，CD=√2，BC＝3√2BD＝2√5，
∴BD2＝CD2+BC2，
∴∠DCB＝90∘，
∵OA
OC =CD
BC
=1
3
，
∴OA
CD =OC
BC
，
∵∠AOC＝∠BCD＝90∘，
∴△BCD∽△COA，
∴当Q1与B重合时，Q，C，D三点构成的三角形和△AOC相似，此时Q1(3, 0)，根据对称性可知，当Q4(−3, 6)时，也满足条件，
当CQ2＝CQ3且CQ2＝CQ3=1
3CD=√2
3
时，也满足条件，此时Q2(1
3
, 8
3
)，Q3(−1
3
, 10
3
)，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为(3, 0)或(−3, 6)或(1
3, 8
3
)或(−1
3
, 10
3
)．
如图3中，以OB为边向上作等边△OBT，以T为圆心，TO为半径作⊙T，交y轴于M，则M(0, 3√3)，
观察图象可知，当线段与⊙T 有交点时，在线段PG 上是否存在一点M ，使∠OMB ＝30∘， 过点T 作TH ⊥OB 于H ，交⊙T 于N ．则OH ＝HB =3
2，TH =3√3
2
，TN ＝3， ∴ N(3
2, 3+
3√3
2
)， ∴ 满足条件的t 的值为3√3≤t ≤3+
3√3
2
． 【考点】
二次函数综合题 【解析】
（1）首先确定A ，B 的坐标，解直角三角形求出OC 即可解决问题．
（2）首先证明∠DCB ＝90∘，证明△BCD ∽△COA ，推出当Q 1与B 重合时，Q ，C ，D 三点构成的三角形和△AOC 相似，此时Q 1(3, 0)，再根据对称性求出Q 4，当CQ 2＝CQ 3且CQ 2＝CQ 3=1
3CD =
√2
3
时，也满足条件，求出Q 2，Q 3的坐标即可． （3）如图3中，以OB 为边向上作等边△OBT ，以T 为圆心，TO 为半径作⊙T ，交y 轴于M ，则M(0, 3√3)，观察图象可知，当线段与⊙T 有交点时，在线段PG 上是否存在一点
M ，使∠OMB ＝30∘，求出等N 的坐标即可判断． 【解答】 如图1中，
对于抛物线y ＝−x 2+(m −1)x +m ，令y ＝0，可得x 2+(1−m)x −m ＝0， ∴ (x +1)(x −m)＝0
∴ x ＝−1或m ，
∴ A(−1, 0)，B(m, 0)，C(0, m)， ∴ OA ＝1，OB ＝OC ＝m ，
在Rt △AOC 中，∵ tan ∠OAC =OC
OA =3，
∴ OA ＝OB ＝3，即m ＝3，
∴ y ＝−x 2+2x +3＝−(x −1)2+4， ∴ D(1, 4)．
由（1）可知，A(−1, 0)，C(0, 3)，B(3, 0)，D(1, 4)，
∴ OA ＝1，OC ＝OB ＝3，AC =√10，CD =√2，BC ＝3√2BD ＝2√5， ∴ BD 2＝CD 2+BC 2， ∴ ∠DCB ＝90∘， ∵ OA
OC =CD
BC =1
3， ∴
OA CD =
OC BC
，
∵ ∠AOC ＝∠BCD ＝90∘， ∴ △BCD ∽△COA ，
∴ 当Q 1与B 重合时，Q ，C ，D 三点构成的三角形和△AOC 相似，此时Q 1(3, 0)， 根据对称性可知，当Q 4(−3, 6)时，也满足条件， 当CQ 2＝CQ 3且CQ 2＝CQ 3=1
3CD =
√2
3时，也满足条件，此时Q 2(13, 83)，Q 3(−13, 103
)， 综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(3, 0)或(−3, 6)或(13, 8
3)或(−13, 10
3)．
如图3中，以OB 为边向上作等边△OBT ，以T 为圆心，TO 为半径作⊙T ，交y 轴于M ，则M(0, 3√3)，
观察图象可知，当线段与⊙T 有交点时，在线段PG 上是否存在一点M ，使∠OMB ＝30∘， 过点T 作TH ⊥OB 于H ，交⊙T 于N ．则OH ＝HB =3
2，TH =3√3
2
，TN ＝3， ∴ N(3
2, 3+
3√3
2
)， ∴ 满足条件的t 的值为3√3≤t ≤3+3√3
2
． 【答案】
DE // BC
可知EM // AC ，且AB // CD ， ∴ 四边形ACMQ 是平行四边形， ∴ AQ ＝CM 【考点】
作图—复杂作图 三角形的重心
平行四边形的性质与判定
【解析】
（1）①由平行线的判定可得结论；
②延长PF 到M ，使FM ＝PF ，连接BM 、CM ，可证四边形BPCM 是平行四边形，由平行线分线段成比例可得AD:AC ＝AP:AM ，AE:AB ＝AP:AM ，可得结论； (2)(i)连接AC ，BD 交于点O ，连接OM ，延长MO 交AB 于N ，可得AN ＝CM ；
(ii)连接AM 于BD 交于点F ，连接CF 并延长交AD 于E ，连接ME 并延长交BA 的延长线于点Q ，可得AQ ＝CM ． 【解答】
（1）①∵ G 是△ABC 的重心， ∴ BG ＝2DG ，CG ＝2EG ， ∵ BG
DG =CG
EG =2， ∴ DE // BC ， 【答案】 不能 14
如（3）图，过A 作AE ⊥BC 于E ，
∵ AD // BC ， ∴ AE ⊥AD ， ∴ ∠DAE ＝90∘， 由（2）知：AE =125
，
∵ AB ＝4，
∴ BE =√AB 2−AE 2=√42−(12
5)2=165
，
由旋转得：∠DAF ＝∠CAC ′，
∴ ∠DAF −∠DAE ＝∠CAC ′−∠CAB ， 即∠EAF ＝∠BAC ′，
Rt△ABC′中，AB＝4，AC′＝3，∴BC′=√42−32=√7，
∵tan∠BAC′＝tan∠EAF，
∴BC′
AC′=EF
AE
，即√7
3
=EF12
5
，
∴EF=4√7
5
，
∴BF＝BE−EF=16
5−4√7
5
=16−4√7
5
，
∴△ABF的面积=1
2BF⋅AE=1
2
×16−4√7
5
×12
5
=96−24√7
25
；
如（4）图，过A作AE⊥BC于E，过F作FH⊥AC于H，
由旋转得：∠CAC′＝∠DAD′，∠DAC＝∠D′AC′，
∵AC＝AC′，AE⊥CC′，
∴CE＝C′E=9
5
，∠ACC′＝∠AC′C＝∠D′AC′，
∵∠AC′D′＝∠AC′C+∠FC′D′＝∠D′+∠D′AC′＝90∘，∴∠D′＝∠FC′D′，
∴AF＝FD′＝C′F=5
2
，
∴CF＝2CE−C′F＝2×9
5−5
2
=11
10
，
∵S△ACF=1
2AC⋅FH=1
2
CF⋅AE，
∴1
2×3FH=1
2
×11
10
×12
5
，
∴FH=11
25
，
∴sin∠1=FH
AF =
11
25
5
2
=22
125
．
【考点】
四边形综合题
【解析】
（1）由旋转得：AC＝AC′，由垂线段最短可得结论；
（2）根据面积法计算AE的长，利用勾股定理得CE的长，从而得C′E的长，代入所求的比例式即可解答；
（3）过A作AE⊥BC于E，由（2）知AE=12
5
，由勾股定理计算BE和BC′的长，根据旋
转的性质和角的和与差可得：∠EAF＝∠BAC′，由三角函数定义列比例式可得EF的长，从而得BF的长，最后根据三角形面积公式可解答；
（4）如（4）图，过A作AE⊥BC于E，过F作FH⊥AC于H，根据等腰三角形三线合一
的性质得：CE＝C′E=9
5
，∠ACC′＝∠AC′C＝∠D′AC′，由等角的余角相等得∠D′＝
∠FC′D′，由等角对等边得AF＝FD′＝C′F=5
2
，可得CF的长，根据面积法可得FH的长，最后根据正弦函数定义可得结论．
【解答】
如（1）图，延长AC交C′D′于M，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90∘，
在▱ABCD中，CD // AB，
∴∠ACD＝∠CAB＝90∘，
由旋转得：∠C′＝∠ACD＝90∘，AC＝AC′，
∴AM>AC′，
∴线段C′D′不能经过原来点C的位置；
故答案为：不能；
如（2）图：∵C′D′ // BC，且∠C′＝90∘，
∴∠AEC＝∠C′＝90∘，
在▱ABCD中，BC＝AD＝5，
Rt△CAB中，AC=√52−42=3，
∵S△ABC=1
2BC⋅AE=1
2
AC⋅AB，
∴1
2×5AE=1
2
×3×4，
∴AE=12
5
，
∴ CE =√AC 2−AE 2=√32−(12
5
)2=9
5
，
∵ AC ′＝AC ＝3， ∴ C ′E ＝3−125=3
5，
∴
C ′E AE
=
35125
=14
；
故答案为：1
4；
如（3）图，过A 作AE ⊥BC 于E ，
∵ AD // BC ， ∴ AE ⊥AD ， ∴ ∠DAE ＝90∘， 由（2）知：AE =125
，
∵ AB ＝4，
∴ BE =√AB 2−AE 2=√42−(12
5)2=
165
，
由旋转得：∠DAF ＝∠CAC ′，
∴ ∠DAF −∠DAE ＝∠CAC ′−∠CAB ， 即∠EAF ＝∠BAC ′，
Rt △ABC ′中，AB ＝4，AC ′＝3， ∴ BC ′=√42−32=√7， ∵ tan ∠BAC ′＝tan ∠EAF ， ∴
BC ′AC ′
=
EF AE
，即√73
=
EF
125
，
∴ EF =
4√75
，
∴ BF ＝BE −EF =
165
−
4√75
=
16−4√7
5， ∴ △ABF 的面积=1
2BF ⋅AE =1
2×
16−4√7
5
×
125
=
96−24√7
25
； 如（4）图，过A 作AE ⊥BC 于E ，过F 作FH ⊥AC 于H ，
由旋转得：∠CAC′＝∠DAD′，∠DAC＝∠D′AC′，
∵AC＝AC′，AE⊥CC′，
∴CE＝C′E=9
5
，∠ACC′＝∠AC′C＝∠D′AC′，
∵∠AC′D′＝∠AC′C+∠FC′D′＝∠D′+∠D′AC′＝90∘，∴∠D′＝∠FC′D′，
∴AF＝FD′＝C′F=5
2
，
∴CF＝2CE−C′F＝2×9
5−5
2
=11
10
，
∵S△ACF=1
2AC⋅FH=1
2
CF⋅AE，
∴1
2×3FH=1
2
×11
10
×12
5
，
∴FH=11
25
，
∴sin∠1=FH
AF =
11
25
5
2
=22
125
．。