《成才之路》2015-2016学年高中数学(人教A版)必修二练习4.2.1直线与圆的位置关系

第四章 4.2 4.2.1
基础巩固
一、选择题
1．直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定
[答案] B
[解析] 当a ＝0时，直线y ＝0显然与该圆相交；当a ≠0时，圆心(0,0)到直线ax －y ＋2a ＝0距离d ＝
2|a |a 2＋1
＜2|a |
a 2＝2＜3(半径)，也与该圆相交．
2．设直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切于点M (12，3
2)，则l 的斜率是( )
A ．1
B ．12
C ．－
33
D ．－ 3
[答案] C
[解析] 设圆心为C ，∵k CM ＝3，CM ⊥l ， ∴l 的斜率k ＝－
33
. 3．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )
A ．x 2＋y 2－2x －3＝0
B ．x 2＋y 2＋4x ＝0
C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0
D ．x 2＋y 2－4x ＝0
[答案] D
[解析] 设圆心为(a,0)(a ＞0)，则|3a ＋4|
5＝2，即a ＝2，
∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.
4．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x －y －1＝0上截得的弦长为22，那么这个圆的方程为( )
A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4
B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2
C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝8
D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16 [答案] A
[解析] d ＝|2＋1－1|
1＋1
＝2，r ＝2＋2＝2，
∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4.
5．已知直线x ＋7y ＝10把圆x 2＋y 2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于( ) A ．π2
B ．2π3
C ．π
D ．2π
[答案] D
[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径r ＝2，设直线x ＋7y ＝10与圆x 2＋y 2＝4交于M ，N 两点，则圆心O 到直线x ＋7y ＝10的距离d ＝
|－10|
1＋49
＝2，过点O 作OP ⊥MN 于P ，则|MN |＝2r 2－d 2＝2 2.在△MNO 中，|OM |2＋|ON |2＝2r 2＝8＝|MN |2，则∠MON ＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于
⎪
⎪⎪⎪(360－90)×π×2180－90×π×2180＝2π.
6．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
[答案] C
[解析] 圆心(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离，d ＝|3×3＋4×3－11|
5＝2，又r ＝3，
故有三个点到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1. 二、填空题 7．(2013·山东)
过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为_________. [答案] 2 2
[分析] 先判断最短弦的位置，然后构造由半径、弦心距和弦长的一半组成的直角三角形进行求解．
[解析] 最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d ＝(3－2)2＋(1－2)2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－(2)2＝2 2. 8．(2012·江西卷)
过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是_________.
[答案] (2，2)
[解析] 本题主要考查数形结合的思想，设P (x ，y )，则由已知可得PO (O 为原点)与切
线的夹角为30°，由|PO |＝2，由⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝4x ＋y ＝22可得⎩
⎨⎧
x ＝2y ＝2.
三、解答题
9．已知一个圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上，且在直线l 2：x －y ＝0上截得的弦长为27，求圆C 的方程．
[分析] 设出圆心坐标，利用几何性质列方程求出圆心坐标，再求出半径即可． [解析] ∵圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上， ∴可设圆心为C (3t ，t )．
又∵圆C 与y 轴相切，∴圆的半径为r ＝|3t |.
再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得(|3t －t |2)2
＋(7)2＝|3t |2.
解得t ＝±1.
∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.
故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.
10．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．
[解析] 设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得k OP k OQ ＝－1，即y 1x 1·y 2
x 2＝－1，x 1x 2＋y 1y 2＝0.①
又(x 1，y 1)、(x 2，y 2)是方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的实数解，即x 1，x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个根， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275.
③
∵P 、Q 是在直线x ＋2y －3＝0上， ∴y 1y 2＝12(3－x 1)·1
2(3－x 2)
＝1
4[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③代入，得y 1y 2＝m ＋12
5
.
④
将③④代入①，解得m ＝3.代入方程②，检验Δ>0成立， ∴m ＝3.
能力提升
一、选择题
1．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的弦最长的直线的方程是( ) A ．3x －y －5＝0
B ．3x ＋y －7＝0
C ．3x －y －1＝0
D ．3x ＋y －5＝0
[答案] A
[解析] x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心为(1，－2)，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，－2)
∴直线方程为3x －y －5＝0，故选A ．
2．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )
A ．(－3，3)
B ．[－3，3]
C ．(－
33，33
) D ．[－
33，3
3
] [答案] D
[解析] 解法1：如图，BC ＝1，AC ＝2，
∴∠BAC ＝30°， ∴－
33≤k ≤3
3
. 解法2：设直线l 方程为y ＝k (x －4)，则由题意知， |2k －0－4k |1＋k 2
≤1，∴－33≤k ≤3
3.
解法3：过A (4,0)的直线l 可设为x ＝my ＋4，代入(x －2)2＋y 2＝1中得： (m 2＋1)y 2＋4my ＋3＝0，
由Δ＝16m 2－12(m 2＋1)＝4m 2－12≥0得 m ≤－3或m ≥ 3.
∴l 的斜率k ＝1m ∈[－33，0)∪(0，3
3]，特别地，当k ＝0时，显然有公共点，
∴k ∈[－
33，33
]． 3．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝( )
A ．2 6
B ．8
C ．4 6
D ．10
[答案] C
[解析] 由已知得k AB ＝3－21－4＝－1
3，k CB ＝2＋74－1＝－3，所以k AB k CB ＝－1，所以AB ⊥CB ，
即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，所以外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝46，故选C ．
4．设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是( )
A ．3<r <5
B ．4<r <6
C ．r >4
D ．r >5
[答案] B
[解析] 圆心C (3，－5)，半径为r ，圆心C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝
|12＋15－2|42＋(－3)2
＝5，由于圆C 上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则d －1<r <d ＋1，所以4<r <6.
二、填空题
5．(2015·江苏南京模拟)
设直线l 截圆x 2＋y 2－2y ＝0所得弦AB 的中点为(－12，32)，则直线l 的方程为_________；
|AB |＝_________.
[答案] x －y ＋2＝0
2
[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋y 21－2y 1＝0，x 22＋y 2
2－2y 2＝0，两式相减得(x 1－
x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)－2(y 1－y 2)＝0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.故l 的方程为y －32＝1·(x ＋12)，即
x －y ＋2＝0.又圆心为(0,1)，半径r ＝1，故|AB |＝ 2.
6．(2013·江西)
若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是_________. [答案] (x －2)2＋(y ＋32)2＝25
4
[分析] 由已知设出圆C 的方程，与直线的方程联立，利用△＝0即可求解． [解析] 因为圆过原点，所以可设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.
因为圆过点(4,0)，将点(4,0)代入圆的方程得D ＝－4，即圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋Ey ＝0.
又圆与直线y ＝1相切，将其代入圆的方程得x 2＋1－4x ＋E ＝0，又方程只有一个解，所以Δ＝42－4(1＋E )＝0，解得E ＝3.
故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋3y ＝0，即(x －2)2＋(y ＋32)2＝25
4.
三、解答题
7．(2015·湖南师大附中期末) 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0. (1)求圆心C 的坐标及半径r 的大小；
(2)已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； (3)从圆外一点P (x ，y )向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且|MP |＝|OP |，求点P 的轨迹方程．
[解析] (1)圆心C 的坐标为(－1,2)，半径为 2. (2)∵直线l 在两坐标轴上的截距相等且不为零， ∴设直线l 方程为x ＋y ＝a ， ∴
|－1＋2－a |
2
＝2， ∴a ＝－1或a ＝3.
∴所求直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (3)连接CM ，则切线PM 与CM 垂直，连接PC ， ∴|PM |2＝|PC |2－|CM |2， 又|PM |＝|OP |，
∴(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2， 即2x －4y ＋3＝0，
∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.
8．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；
(2)作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝17，求直线l 的倾斜角．
[解析] (1)方法一：由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋(y －1)2＝5，
mx －y ＋1－m ＝0消去y 并整理，得(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2－5
＝0.
∵Δ＝(－2m 2)2－4(m 2＋1)(m 2－5)＝16m 2＋20＞0，
对于一切m ∈R 恒成立，∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点． 方法二：l 的方程可变形为y －1＝m (x －1)，故直线恒过定点P (1,1)．
因为|PC |2＝12＋(1－1)2＜5，所以P (1,1)在圆C 内，所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点．
方法三：圆C 的圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝
|－m |m 2＋(－1)2
，∴d 2－5＝
－4m 2－5
m 2＋1
＜0.即
圆心到直线l 的距离小于圆的半径，所以直线l 和圆C 必有两个不同的交点．
(2)圆C 的半径为r ＝5，所以圆心到直线l 的距离为d ＝r 2－(|AB |2)2＝3
2
.
由点到直线的距离公式，得
|－m |
m 2＋(－1)2＝32，
解方程，得m ＝±3.∴直线l 的倾斜角为π3或2
3π.。