高中数学第一章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关系1.2.2第2课时平面与平面平行高一数学

方法技巧 在证明两平面平行中,是先证“线线平行”,进而证“线面平 行”,最后得证“面面平行”,这是立体几何中按层次逐步的转化,证明平行 问题要经常反复的进行转化,掌握它们之间转化的技巧是证题的关键.
变式训练1-1:如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C; (2)若E,F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD.
⇒a∥β.
【拓展延伸】 空间中的平行关系之间的相互转化 空间中:线线平行、线面平行、面面平行的判定与性质可相互转化,其关系 可用下图表示:
自我检测
1.设直线l⊄平面α,则过l作平面β,使β∥α,这样的β( B )
(A)只能作一个 (B)至多可作一个
(C)不存在
(D)至少可作一个
解析:若l与平面α相交于一点,则不存在这样的平面;若l∥α,则存在唯一满足 条件的平面β.故选B.
方法技巧 本题是一道探索型问题,实际上是求过B点平行于平面AEC的 直线.解这类探索型问题的基本思路是:先假设所研究的对象存在,然后以此 为条件进行推理,得出存在的结论或得出矛盾.
变式训练2-1:如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=2CD, E,E1分别是棱AD,AA1上的点.设F是棱AB的中点,证明:直线EE1∥平面FCC1.
2.两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有 两条相交直线 平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号表示: a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β⇒α∥β ,
如图.
利用直线与平面平行的判定定理,我们可以得到:
推论:如果一个平面内有 两条相交直线
分别平行于另一个平面内的
两条直线
,则这两个平面平行.
类型三 空间中平行关系的综合应用 【例3】 如图所示,B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC,△ABD, △BCD的重心. (1)求证:平面MNG∥平面ACD;
(1)证明:如图所示,连接 BM,BN,BG 并延长,分别交 AC,AD,CD 于 P,F,H. 因为 M,N,G 分别是△ABC,△ABD,△BCD 的重心,
3.两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的 交线 平行. 符号表示:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b ⇒a∥b, 如图:
4.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段 成比例 .
5.如果两个平面平行,其中一个平面内的 任一直线 平行于另一个平面.
符号表示: α∥β,a⊂α
新知探求 课堂探究
新知探求·素养养成
点击进入 情境导学
知识探究
1.两个不重合平面的位置关系有两种,即 平行 和 相交 . 如果两个平面有且仅有一条公共直线,则称这两个平面 相交 ,这条公共直 线叫做两个平面的 交线 .记作α∩β=a,如图.
如果两个平面 没有公共点 ,那么这两个平面叫做平行平面,平面α平行于 平面β,记作 α∥β .如图.
.
解析:由面面平行的性质定理可知:l∥A1C1. 答案:平行
课堂探究·素养提升
类型一 平面与平面平行的判定
【例1】 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CC1,AA1的中点,求证:平面BDE∥平面B1D1F.
证明:设 G 是 BB1 的中点,连接 FG、CG、DF.
因为 FG AB,AB DC,所以 FG DC.
解析:①不正确,m,n应为相交直线;②不正确,m与n可能平行,也可能异 面;③正确,因为α∥β,所以α与β无公共点,因而α内的直线l与β无公共点, 所以l∥β;④正确,由判定定理可以判断.
4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的
交线为l,则l与A1C1的位置关系是
证明:(1)由BB1∥DD1,得四边形BB1D1D是平行四边形,所以B1D1∥BD,又 BD⊄平面B1D1C,B1D1⊂平面B1D1C, 所以BD∥平面B1D1C.同理,A1D∥平面B1D1C. 而A1D∩BD=D,所以平面A1BD∥平面B1D1C. (2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.取BB1的中点G,连接AG,GF,则 AE∥B1G且AE=B1G, 从而得B1E∥AG,因为GF∥AD且GF=AD,从而得AG∥DF,所以B1E∥DF,又 B1E⊂平面EB1D1,DF⊄平面EB1D1, 所以DF∥平面EB1D1,又BD∩DF=D,所以平面EB1D1∥平面FBD.
所以 BM = BN = BG =2. MP NF GH
连接 PF,FH,PH,有 MN∥PF, 又 PF⊂ 平面 ACD,MN⊄平面 ACD,所以 MN∥平面 ACD. 同理,MG∥平面 ACD,而 MG∩MN=M, 且 MG⊂ 平面 MNG,MN⊂ 平面 MNG,所以平面 MNG∥平面 ACD.
所以四边形 FGCD 是平行四边形,则 DF CG.
连接 EB1,由题设可得 EB1 CG,则 DF EB1. 所以四边形 DFB1E 是平行四边形.所以 B1F∥ED, 因为 B1F⊄ 平面 BDE,ED⊂ 平面 BDE,所以 B1F∥平面 BDE. 又因为 B1D1∥BD,B1D1⊄ 平面 BDE,BD⊂ 平面 BDE,所以 B1D1∥平面 BDE. 因为 B1D1∩B1F=B1,所以平面 BDE∥平面 B1D1F.
方法技巧 (1)线面、面面平行的判定和性质常常结合在一起进行考查, 解题中要注意性质和判定交替应用. (2)利用判定或性质解题时,应注意解题过程的规范性,即要准确地使用数学 语言及符号来表示出定理的有关内容.
第二课时 平面与平面平行
目标导航
课标要求 素养达成
1.理解平面与平面平行的判定定理和性质定理. 2.能应用面面平行的判定定理和性质定理证明一些空间位 置关系的简单命题.
通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习,锻炼 了学生的逻辑思维能力、空间想象能力,促进直观想象、 逻辑推理等核心素养的达成.
2.平面α与平面β平行,直线a⊂α,直线b⊂β,则a与b的位置关系是( A )
(A)无公共点
(B)平行
(C)相交
(D)异面
解析:由平面与平面平行定义知,两平面无公共点,从而两平面内的直线也无 公共点.
3.给出下列命题(m,n为直线,α,β为平面) ①m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α∥β;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③ α∥β,l⊂α⇒l∥β;④α内任一条直线都平行于平面β⇒α∥β.其中正 确的是( C ) (A)①③ (B)②④ (C)③④ (D)②③
证明:因为F为AB的中点,所以AB=2AF, 又因为AB=2CD,所以CD=AF,因为AB∥CD,所以CD∥AF, 所以四边形AFCD为平行四边形, 所以FC∥AD,又FC⊄平面ADD1A1,AD⊂平面ADD1A1,所以FC∥平面ADD1A1, 因为CC1∥DD1,CC1⊄平面ADD1A1,DD1⊂平面ADD1A1, 所以CC1∥平面ADD1A1,又FC∩CC1=C, 所以平面ADD1A1∥平面FCC1. 又EE1⊂平面ADD1A1,所以EE1∥平面FCC1.
类型二 平面与平面平行的性质 【例2】 如图所示,在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且 PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?并证明你的结论.
解:当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC,证明如下: 取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE① 由EM=12 PE=ED,知E是MD的中点,连接BM,BD,设BD∩AC=O,则O为 BD的中点,连接OE,则BM∥OE② 由①②可知,平面BFM∥平面AEC,又BF⊂平面BFM, 所以BF∥平面AEC.
(2)求S△MNG∶S△ACD.
(2)解:由(1)可知 MG = BG = 2 ,所以 MG= 2 PH.
ห้องสมุดไป่ตู้
PH BH 3
3
又 PH= 1 AD, 2
所以 MG= 1 AD. 3
同理,NG= 1 AC,MN= 1 CD.
3
3
所以△MNG∽△DCA,其相似比为 1∶3.
所以
S ∶S △MNG
△ACD
=1∶9.