42 空间中的垂直关系(押题专练)-2018年高考数学(理)一轮复习资料含解析

1．设a,b是两条直线,α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是(）
A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α,b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α,b∥β，α⊥β
解析：选C.∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a。

故选C。

2．如图所示，O为正方体ABCD.A1B1C1D1的底面ABCD 的中点，则下列直线中与B1O垂直的是( )
A．A1D B．AA1
C．A1D1D．A1C1
解析：选D。

由题意知,A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1⊂面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1。

3．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）
解析：选A。

A选项中，∵CD⊥平面AMB,∴CD⊥AB，B选项中,AB与CD成60°角；C选项中，AB与CD成45°角；D选项中，AB与CD夹角的正切值为错误!。

4．已知m,n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。

直线l满足l⊥m，l⊥n,l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析:选D.根据所给的已知条件作图，如图所示。

由图可知α与β相交,且交线平行于l.
5．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线
折起得到空间四面体ABCD（如图2）,则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是( ）
A．相交且垂直B．相交但不垂直
C．异面且垂直D．异面但不垂直
6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β,则α∥β D.若α⊥β，l∥α，则l ⊥β
解析：选B。

对于选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；对于选项B，若l⊥α，l ⊥β,则α∥β,故B正确；对于选项C，若l⊥α,l∥β，则α⊥β,故C错误；
对于选项D,若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β,l∥β，l⊂β，故D错误．故选B.
7．设m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）
A．m∥α，n∥β,且α∥β，则m∥n
B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β,则m⊥n
C．m⊥α，m⊥n，n⊂β,则α⊥β
D．m⊂α，n⊂α，m∥β,n∥β，则α∥β
解析：选B。

m与n的位置关系为平行，异面或相交，∴A错误；根据面面垂直的性质可知B正确;由题中的条件无法推出α⊥β，∴C错误；只有当m与n相交时，结论才成立,∴D错误．故选B。

8．设m,n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题:
①若m⊂α，n∥α，则m∥n;
②若α∥β,β∥γ，m⊥α，则m⊥γ;
③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β;
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β。

其中真命题的个数为（）
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B。

①m∥n或m，n异面，故①错误;②根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知②正确；③m ∥α或m⊂α，m∥β或m⊂β，故③错误；④根据面面垂直的性质以及面面平行的判定可知④错误,所以真命题的个数为1,故选B。

9．如图，在三棱锥P。

ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( ）
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
解析：选B。

A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC
＝P,所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC ⊥PC，所以BC⊥平面APC，又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确;B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.
10．如图所示，在直角梯形ABCD中,BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE 沿AE折起，下列说法正确的是________(填上所有正确的序号）．
①不论D折至何位置（不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.
解析：取AE的中点F，连接MF，NF，则MF∥DE，
NF∥AB∥CE，
从而平面MFN∥平面DEC,故MN∥平面DEC，①正确;又AE⊥MF，AE⊥NF,所以AE⊥平面MFN，从而AE ⊥MN，②正确;
又MN与AB是异面直线，则③错误．
答案:①②
11．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：
①AC⊥α；②AC与α,β所成的角相等；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF。

其中能成为增加条件的是________．（把你认为正确的条件序号都填上）
解析：如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BD⊥EF，故要证BD⊥EF，只需AB，CD在一个平面内即可,只有①③能保证这一条件．
答案:①③
12．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题:①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．
13．如图，四棱锥P。

ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（1）求证：AD⊥平面PBE；
（2）若Q是PC的中点，求证:PA∥平面BDQ;
（3）若V P.BCDE＝2V Q­ABCD，试求错误!的值．
解:(1)证明：由E是AD的中点，PA＝PD可得AD⊥PE。

又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°,
所以AB ＝BD ,又E 是AD 的中点,所以AD ⊥BE ， 又PE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥平面PBE 。

(2)证明：连接AC ,交BD 于点O ，连接OQ 。

(图略)， 因为O 是AC 的中点，
Q 是PC 的中点，所以OQ ∥PA ，
又PA ⊄平面BDQ ,OQ ⊂平面BDQ ,所以PA ∥平面BDQ 。

(3)设四棱锥P 。

BCDE ，Q .ABCD 的高分别为h 1,h 2。

所以V P 。

BCDE ＝错误!S 四边形BCDE h 1，
V Q 。

ABCD ＝错误!S 四边形ABCD h 2。

又V P 。

BCDE ＝2V Q 。

ABCD ，且S 四边形BCDE ＝34
S 四边形ABCD , ∴错误!＝错误!＝错误!.
14．如图,在四棱锥P 。

ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形,PA ⊥BD .
（1)求证：PB＝PD；
（2）若E,F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求三棱锥D.ACE的体积．
解:（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD且O为BD的中点．
又PA⊥BD，PA∩AC＝A,所以BD⊥平面PAC，
由于PO⊂平面PAC，故BD⊥PO。

又BO＝DO，所以PB＝PD。

（2)如图,设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，EO，因为EQ綊错误!CD＝AF，
所以AFEQ为平行四边形，所以EF∥AQ，因为EF⊥平面PCD，
所以AQ⊥平面PCD，所以AQ⊥PD，PD的中点为Q，
所以AP＝AD＝错误!.
由AQ⊥平面PCD,可得AQ⊥CD,又AD⊥CD,AQ∩AD ＝A，
所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PA,又BD⊥PA，BD∩CD＝D，
所以PA⊥平面ABCD.
故V D­ACE＝V E。

ACD＝错误!×错误!PA×S△ACD＝错误!×错误!×
错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!，
故三棱锥D。

ACE的体积为错误!.
15．如图,四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB,AB＝4，AE＝2,EF＝1。

(1)求证：BC⊥AF；
(2)若点M在线段AC上，且满足CM＝错误!CA,求证：EM∥平面FBC；
(3）试判断直线AF与平面EBC是否垂直?若垂直，请
给出证明；若不垂直，请说明理由．
解:（1）证明：因为EF∥AB，所以EF与AB确定平面EABF,
因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BC.
由已知得AB⊥BC且EA∩AB＝A，所以BC⊥平面EABF.
又AF⊂平面EABF，所以BC⊥AF.
(3）直线AF垂直于平面EBC。

证明如下：由（1)可知，AF⊥BC。

在四边形ABFE中，AB＝4，AE＝2,EF＝1，∠BAE＝∠AEF＝90°，
所以tan∠EBA＝tan∠FAE＝错误!,则∠EBA＝∠FAE.
设AF∩BE＝P,因为∠PAE＋∠PAB＝90°，所以∠PBA ＋∠PAB＝90°，则∠APB＝90°，即EB⊥AF.又EB∩BC＝B，所以AF⊥平面EBC.。