高等数学简单无理函数与三角函数的积分

22
22
2 tan sec 2
x
2 x
2 tan x
2
2u
1 tan2 x 1 u 2
cos
x
cos2
x sin2 2
x 2
cos2
x cos2 2
x tan2 2
x 2
2
1 tan2
x
2
sec2 x
2
1 tan2 x
2
1 tan2 x
1u2 1 u2
2
2
sin
x
1
2u u
2
,
cos
x
1 1
x)
,
sin
x
1
tan
x
,
5
4
1 sin
2
x
.
半角变换(或称万能代换）
可通过变换u tan x 2
化为有理函数的积分.
事实上,由
u
tan
x 2
可得
x
dx d(2 arctan u) (2 arctan
2 arctan u,
u
)du
1
2 u
2
du
sin x 2sin x cos x 2tan x cos2 x
t
1
1
t
1
))dt 1
2t
ln
t t
1 1
C
回代
2
1 x x
ln
x
1 x x
1
2
C
a
a
C
2 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换
化为有理函数的积分. 例如:
R(x , n ax b ) dx , 令 t n axb
R(x
,n
a xb c xd
) dx
,
t 令
n a xb c xd
R(x , n ax b , m ax b) dx ,
令 t p ax b , p为m , n的最小公倍数.
2
例4
1 x
1 x dx x
解
令
1 x t, x
x
t
2
1
1
,
dx
d
(
t
2
1
) 1
(t 2
2t 1)2
dt
原式=
(t 2
1)
t
(
2t (t 2 1)2
)dt
2
(t
2
1)
t
(t
2
t 1)2
dt
2
t
t
2
2
dt 1
2
(t
2
t
2
1) 1
1dt
2
(1
t
2
1
)dt 1
2
(1
1 2
(
u2 u2
,
dx
2 1u2
du
转化为u的有理函数
例1
求
sin
1 sin x x(1 cos
x)
dx
解:
令u
tan
x 2
,
sin
x
2u 1 u
2
,
则
cos
x
1 1
u2 u2
,
dx
2 1 u2
du
∴原式
1
1
2u u
2
1
2u u
2
(1
1 1
u u
2 2
)
2 1u2
du
1 2
u
2
1 uห้องสมุดไป่ตู้
du
1 2
1 2
例3.
求
1
dx 3x
2
解: 令 t 3 x 2 , 则 x t3 2,
原式 =
d(t 3 2)
1 t
3t 2 dt 3 t 2 dt
1 t
1 t
3
(t 2 1) 1 dt 3
1 t
(
t
1
1
1
t
)
dt
3[ 1 t 2 t ln 1 t ] C 回代
2
3 3 (x 2)2 3 3 x 2 3 ln 1 3 x 2 C
u
2
2u
ln u
C
1 tan2 x tan x 1 ln tanx C
42
22 2
说明: 通常求含 sin 2 x , cos 2 x 及 sin x cos x 的有理式
的积分时, 用代换 u tan x 往往更方便 .
例2. 求
dx a2 sin2 x b2 cos2 x
(a b 0)
4.4 简单无理函数与 三角函数的积分
（简单无理函数和三角函数）
可化为有理函数
有理函数:
R(x) P(x) Q(x)
a0 xn a1xn1 an b0 xm b1xm1 bm
1. 三角函数有理式的积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之三角有理式.
如
sin
1 sin x x(1 cos
解: 原式
1 cos2
x
dx
a2 tan2 x b2
sec2 x d x (a tan x)2 b2
d tan x (a tan x)2 b2
1 a
d a tan x (a tan x)2 b2
1 arctan( a tan x ) C
ab
b
du
a2 u2
1 arctan u