江苏省高考数学二轮复习专题二立体几何2.1小题考法立体几何中计算达标训练含解析

立体几何中的计算
A 组——抓牢中档小题
1. 若圆锥底面半径为 1，高为 2，则圆锥的侧面积为 ________.
分析：由题意，得圆锥的母线长 l ＝ 12＋ 22＝ 5，所以 S 圆锥侧 ＝π rl ＝ π ×1× 5＝ 5
π .
答案：
5π
2．已知正六棱柱的侧面积为 72 cm 2，高为 6 cm ，那么它的体积为
________cm 3.
分析：设正六棱柱的底面边长为 x cm ，由题意得 6x × 6＝ 72，所以 x ＝2，于是其体积 V
3
2
3
＝ 4 ×2×6× 6＝ 36 3cm .
答案： 36 3
3
3．已知球 O 的半径为 R ，A ，B ，C 三点在球 O 的球面上， 球心 O 到平面 ABC 的距离为
2
R ， AB ＝ AC ＝ BC ＝ 2 3，则球 O 的表面积为 ________．
分析：设△ ABC 外接圆的圆心为 O 1 ，半径为 r ，由于 AB ＝AC ＝ BC ＝2 3，所以△ ABC 为
正三角形，其外接圆的半径
2 3
1
2 2
r ＝
2sin 60 ° ＝ 2，由于 OO ⊥平面 ABC ，所以 OA ＝ OO 12＋ r ，即
2 3 2 2 2
2
R ＝
2
R
＋2 ，解得 R ＝16，所以球 O 的表面积为 4πR ＝ 64π.
答案： 64π
4. 已知一个棱长为 6 cm 的正方体塑料盒子 ( 无上盖 ) ，上口放着一个半径为
5 cm 的钢
球，则球心到盒底的距离为
________cm.
分析：球心到正方体的塑料盒上表面
( 不存在 ) 所在平面的距离为
52－32＝4，所以球
心到盒底的距离为
4＋ 6＝ 10(cm) ．
答案： 10
2π
1
锥的体积为 ________．
12π2
分析：设圆锥的底面半径为r ，高为 h，母线为 l ，则由2·3· l＝ 3π，得l＝ 3，又
2π
＝2π，得＝ 1，进而有＝l2 － r2 ＝ 22，所以1222
由·
r h ＝· π
r
· ＝
3π.
3l r V 3h
2 2
答案：3π
6.一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如下图的暗影部分裁下，而后用余下的四个全等的等
腰三角形作侧面，以它们的公共极点 P 为极点，加工成一个如下图的正四棱锥形容
器．当 x＝6 cm时，该容器的容积为________cm3.
分析：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以 6 cm为边长的正方形，侧面高为 5 cm，
则正四棱锥的高为6123 52－ 2＝ 4 cm，所以所求容积＝×6×4＝ 48 cm .
2V 3
答案： 48
7．已知一个正方体的全部极点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ________．
分析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为3.
设该正方体外接球的半径为
3，则 2 ＝ 3，＝，
RRR 2
4 34π279π
所以这个球的体积为3π R＝3×8＝2 .
答案：
9π
2
8．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V， S，底面半径和高均为r 的圆锥的
11
体积和侧面积分别为V13S1
V ， S ，若V2＝π，则S2的值为 ________．
22
分析：由题意知， V1＝ a3， S1＝6a2， V2＝1
πr 3， S2＝2π r2，由V1＝
3 ，即a3＝3 ，3V2π1π
3π r3
S16a2632
得 a＝ r ，进而S2＝2π r2＝2π＝
π
.
32答案：π
9．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿AE，EF，AF折成一个
四周体，使 B， C， D三点重合，则这个四周体的体积
为________．
分析：设 B，C，D三点重合于点 P，获得如下图的四周体P- AEF.
由于 AP⊥ PE， AP⊥ PF， PE∩ PF＝ P，所以 AP⊥平面 PEF，所以 V 四周体P- AEF
1111
＝V 四周体A- PEF＝3· S△PEF·AP＝3×2×1×1×2＝3.
1
答案：
3
10．(2018 ·常州期末 ) 已知圆锥的高为 6，体积为 8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，
获得的圆台体积是7，则该圆台的高为 ________．
分析：设截得的小圆锥的高为h ，底面半径为 r，体积为 V ＝π r 12h ；大圆锥的高为 h
11111
3
1
＝6，底面半径为
12r1h1V13π r21h1h1 3
＝r ，体积为 V＝π r h＝8.依题意有＝，V1＝1，＝＝
h 3r h V1
3π r2h
1
，得 h1＝1
h＝3，所以圆台的高为h－ h
1＝3.
82
答案： 3
11.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ ACB＝90°，
AC＝6，BC＝ CC1＝2，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是 ________．
分析：连接A1B，沿BC1将△CBC1睁开，与△A1BC1在同一个平面内，
如下图，连接 A1C，则 A1C的长度就是所求的最小值．
由于 A1C1＝6， A1B＝210，BC1＝2，所以A1C21＋BC21＝ A1B2，所以∠
A 1C 1
B ＝90°.
又∠ BC 1C ＝ 45°，所以∠ A 1C 1C ＝135°，由余弦定理， 得 A 1C 2＝ A 1C 12＋CC 12－ 2A 1C 1· CC 1·cos
∠ 1 1 ＝ 36＋ 2－2×6×2×
2 ＝50，所以
1
＝ 5
2，即
＋1 的最小值是 5 2.
A CC
－
A C
CP PA
2
答案： 5
2
12． (2018 ·苏中三市、苏北四市三调 ) 现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的
8 倍，
将其融化铸造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件 ( 不计资料消耗 ) ．设正四棱柱与正四棱锥
的侧面积分别为
， 2，则
S1
1
的值为 ________．
S
S
S2
分析：设正四棱柱的高为 a ，所以底面边长为 8a ，依据体积相等，且底面积相等，所以
S1
正 四 棱 锥 的 高 为
3a ， 则 正 四 棱 锥 侧 面 的 高 为 ＋
＝ 5a ， 所 以 S2 ＝
4×8a2
2
＝ .
1
5 4× 2×8a ×5a
2 答案：
5
13．已知圆锥的底面半径和高相等， 侧面积为 4 2π，过圆锥的两条母线作截面，
截面
为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为
________．
分析：如图，设底面半径为
r ，由题意可得：母线长为
2r . 又侧面展
1
开图面积为 2× 2r × 2π r ＝ 4 2π ，所以 r ＝ 2. 又截面三角形 ABD 为等边三 角形，故 BD ＝ AB ＝ 2r ，又 OB ＝ OD ＝ r ，故△ BOD 为等腰直角三角形．设圆
3
2
3
锥底面中心到截面的距离为
d ，又 V O- ABD ＝ V A- BOD ，所以 d × S △ABD ＝ AO × S △ OBD . 又 S △ ABD ＝ 4 AB ＝ 4
×8＝ 2 3， S △ OBD ＝ 2， AO ＝ r ＝ 2，故 d ＝ 2×2 2
3
2 3
＝ 3 .
答案：
2
3
3
1
14. 底面半径为 1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为
2 cm 的实心铁球，四个球两两相
3
水________cm .
分析：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，此中 O1，O2为基层两球的球心，O1O2O3O4
为正四周体，棱 O1O2到棱 O3O4的距离为
222 2
，所以灌水高为1＋2 . 故应灌水体积为π 1＋2
4
π ×1
3＝
1
＋
2
π .
－4×
2
332
12
答案：＋π
B组——力求难度小题
1.(2018 ·天津高考 ) 已知正方体ABCD-A B CD的棱长为 1 ，除面
1111
ABCD外，该正方体其他各面的中心分别为
点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 M- EFGH的体积为________．
分析：如图，连接AD1， CD1， B1A， B1C，AC，由于 E， H分别为 AD1，1 的中点，所以∥，＝
CD EH AC EH
1 ，由于
，
G 分别为 1 ， 1 的中点，所以∥ ，＝1 ，
2AC F B A B C FG AC FG2AC 所以 EH∥ FG，EH＝ FG，所以四边形 EHGF为平行四边形，又 EG＝ HF，EH
＝HG，所以四边形EHGF为正方形，又点M到平面 EHGF的距离为1 2，所
122 1 1
以四棱锥 M- EFGH的体积为3×2×2＝12.
1
答案：12
2.(2018 ·苏州期末 ) 鲁班锁是中国传统的智力玩具，发源于中国
古代建筑中开创的榫卯构造，它的外观是如下图的十字立方体，其
上下、左右、前后完整对称，六根等长的正四棱柱体分红三组，经90°
榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁
班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积起码为________( 容器壁的厚度忽视不计，
结果保存π ) ．
分析：设球形容器的最小半径为R，则“十字立方体”的24 个极点均在半径为R的球面上，所以两根并排的四棱柱体构成的长方体的八个极点在这个球面上．球的直径就是长方
体的体对角线的长度，所以
2R ＝ 12＋ 22＋ 52＝ 30，得 4R 2＝ 30. 进而 S 球面 ＝ 4π R 2＝30π .
答案： 30π
3．已知三棱锥 P - ABC 的全部棱长都相等，现沿 PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展
开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为
2 6 ，则三棱锥 P - ABC 的体积为
________．
分析：由条件知，表面睁开图如下图，由正弦定理得大正三角形
的边长为 a ＝2×2 6sin
60°＝ 6 2，进而三棱锥的全部棱长均为 3 2，
3 6 ，故三棱锥的高为
18－ 6＝ 2 3，所求体积
底面三角形 ABC 的高为
2
1 3
2
为 V ＝ 3× 4 (3
2) ×2 3＝ 9.
答案： 9
4． (2018 ·渭南二模 ) 体积为 4π
3 的球与正三棱柱的全部面均相切，则该棱柱的体积为
________．
4π
3
4π
分析：设球的半径为
R ，由 3 R ＝ 3 ，得 R ＝ 1，所以正三棱柱的高 h ＝ 2. 设底面边长
1 3
＝ 2
1
为 ，则 ×
＝ 1，所以
3. 所以 ＝ ×2 3×3× 2＝ 6 3.
a
3
2
a
a
V
2
答案： 6 3
5. 如下图，在直三棱柱中， AC ⊥ BC ，AC ＝ 4，BC ＝CC 1＝ 2，若用平行于三棱柱 A 1B 1C 1- ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使获得的两个
几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为
________．
分析：用过 AB ，AC 的中点且平行于平面 BCC 1B 1 的平面截此三棱柱，能够拼接成一个边
长为 2 的正方体，其表面积为
24；
用过 AB ， BC 的中点且平行于平面 ACC 1A 1 的平面截此三棱柱，能够拼接成一个长、宽、
高分别为 4,1,2 的长方体，其表面积为
28；
用过 AA 1， BB 1， CC 1的中点且平行于平面 ABC 的平面截此三棱柱，能够拼接成一个长、宽、高分别为 4,2,1 的长方体，其表面积为 28，
所以所求的长方体表面积的最小值为24.
答案： 24
6.如图，在棱长为 4 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，D1C1上的动点，点 G为正方形 B1BCC1的中心．则空间四边形 AEFG在该
正
方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为________．分析：四边形 AEFG在前、后边的正投影如图①，当 E 与 A 重合， F
1
与 B1重合时，四边形AEFG在前、后边的正投影的面积最大值为12；
四边形在左、右边的正投影如图②，当
E 与 1 重合，四边形在左、右边的
AEFG A AEFG 正投影的面积最大值为8；
四边形 AEFG在上、下边的正投影如图③，当 F 与 D重合时，四边形AEFG在上、下边的
正投影的面积最大值为8. 综上所述，所求面积的最大值为12.
答案： 12。