高二数学选修第一册2020(B版)【学案】2.3.2 圆的一般方程

2.3.2 圆的一般方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点)
2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点) 3．灵活选取恰当的方法求圆的方程．(难点)
1．通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助圆的一般方程的求解及其应用，培养数学运算的数学核心素养．
在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确定一条直线，那么什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个方程表示吗？这就是本节课我们要探讨的问题．
1．圆的一般方程的概念
当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎪⎫－D
2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F ．
3．对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的说明 方程
条件 图形
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0
D 2＋
E 2－4
F ＜0
不表示任何图形 D 2＋E 2－4F ＝0
表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D
2，－E 2
D 2＋
E 2－4
F ＞0 表示以⎝ ⎛⎭
⎪⎫－D
2，－E 2
为圆心， 以1
2D 2＋E 2－4F 为半径的圆
思考1：圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？
[提示] 圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显．
思考2：求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？ [提示] 只要求出一般方程中的D 、E 、F 圆的方程就确定了． 思考3：所有二元二次方程均表示圆吗？
[提示] 不是，Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，只有在A ＝C ≠0，B ＝0且D 2＋E 2－4AF ＞0时才表示圆．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程． ( ) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化．
( )
(3)方程x 2
＋y 2
＋ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－a 2
，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．
( )
(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 2
0＋Dx 0＋Ey 0＋F >0．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
[提示] (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的．
(3)错误．当a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即－2<a <2
3时才表示圆．
(4)正确．因为点M (x 0，y 0)在圆外，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋E 22>D 2＋E 2－4F
4，
即x 2
0＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0．
2．(教材P 104练习A ①改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)
D ．(2，－3)
D [圆的方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆心为(2，－3)．]
3．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝ ．
4 [以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝16．即x 2＋y 2－4x ＋8y ＋4＝0，故F ＝4．]
4．过O (0,0)，A (3,0)，B (0,4)三点的圆的一般方程为 ．
x 2＋y 2－3x －4y ＝0 [该圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，半径为52，故其标准方程为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
x －322
＋(y －2)2＝25
4．
化成一般方程为x 2＋y 2－3x －4y ＝0．]
圆的一般方程的概念
【例1】2224t ∈R )所表示的图形是圆．
(1)求t 的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．
[解] (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4
－9＝－7t 2＋6t ＋1，
由r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0得－1
7＜t ＜1． (2)∵r ＝
－7t 2＋6t ＋1＝
－7⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －372
＋167， ∵37∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－17，1，
∴当t ＝37时，圆的面积最大，r max ＝4
77．
所对应的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2472
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋13492
＝16
7．
(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)×4t 2＋16t 4＋9＜0，点P 恒在圆内，∴8t 2－6t ＜0，∴0＜t ＜3
4．
形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义令D 2＋E 2－4F >0，成立则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.
[跟进训练]
1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0； (2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)； (3)2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)． [解] (1)∵D ＝1，E ＝0，F ＝1， ∴D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3＜0，
∴方程不表示任何图形． (2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2， ∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0， ∴方程表示点(－a,0)．
(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，
D ＝a ，
E ＝－a ，
F ＝0，∵a ≠0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2＞0， ∴方程表示圆，它的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－a 2，a 2，
半径r ＝1
2D 2＋E 2－4F ＝2
2|a |．
求圆的一般方程
【例2】 2)，C (－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．
[思路探究] 用待定系数法设出圆的一般方程，然后将A 、B 、C 三点坐标代入，求出D 、E 、F 即可．
[解] 设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0． 将A 、B 、C 三点坐标代入上式得⎩⎪⎨⎪
⎧
5E ＋F ＋25＝0，D －2E ＋F ＋5＝0，
3D ＋4E －F －25＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝6，
E ＝－2，
F ＝－15.
∴△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋6x －2y －15＝0，
即(x ＋3)2＋(y －1)2＝25，
∴△ABC 的外接圆圆心为(－3,1)．
应用待定系数法求圆的方程
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r ；
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F ．
[跟进训练]
2．已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程． [解] 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，
3D －E ＋F ＋10＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－8，
E ＝－2，
F ＝12，
即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0．
求动点的轨迹方程
[探究问题1．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M 的轨迹方程吗？
[提示] 设M (x ，y )，则(x －8)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理可得点M 的轨
迹方程为x 2＋y 2＝16．
2．已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，请求出直角顶点C
的轨迹方程．
[提示]设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性
质知，|CD|＝1
2|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．【例3】已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()
A．x2＋y2＝4B．x2－y2＝4
C．x2＋y2＝4(x≠±2) D．x2－y2＝4(x≠±2)
[思路探究]直角边垂直⇒斜率相乘等于－1⇒转化为方程⇒检验．
C[设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故k MP·k NP ＝－1．即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．]
过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程为．
(x－4)2＋y2＝1[设点P的坐标为(x，y)，点B为(x1，y1)，由题意，结合中点坐标公式可得x1＝2x－8，y1＝2y，故(2x－8)2＋(2y)2＝4，
化简得(x－4)2＋y2＝1，则AB中点P的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝1．]
求与圆有关的轨迹的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法：若动点P (x ，y )依赖于某圆上的一个动点Q (x 1，y 1)而运动，把x 1，y 1用x ，y 表示，再将点Q 的坐标代入到已知圆的方程中得点P 的轨迹方程．
1．本节课要重点掌握的规律方法 (1)二元二次方程表示圆的判定方法． (2)应用待定系数法求圆的方程的方法． (3)代入法求轨迹方程的一般步骤．
2．本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件．
1．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，＋∞
A [方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2＞0，即k ＜－1时才能表示圆．]
2．若直线2x ＋y ＋m ＝0过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心，则m 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－2
D ．0
D [圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，则圆心坐标为(1，－2)， ∵直线2x ＋y ＋m ＝0过x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心． ∴2－2＋m ＝0得m ＝0．]
3．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程为 ．
x 2＋y 2＝4
[设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 02，
y ＝y 0
2，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x ，
y 0＝2y .
又(x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4．]
4．方程x 2＋y 2－ax ＋by ＋c ＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a ＋b ＋c ＝ ．
2 [根据题意，方程x 2＋y 2－ax ＋by ＋c ＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a
2＝1，
－b
2＝2，
14(a 2
＋b 2
－4c )＝1，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，
b ＝－4，
c ＝4.
∴a ＋b ＋c ＝2．]
5．求经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的一般方程．
[解] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点的坐标代入方程整理可得
⎩⎪⎨⎪
⎧
D －
E ＋
F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－7，
E ＝－3，
F ＝2.
故所求圆的一般方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0．。