2022年江苏省徐州市鼓楼区树人中学中考数学一模试卷(附答案详解)

2022年江苏省徐州市鼓楼区树人中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.2022的倒数是()
A. −2022
B. 2022
C. 1
2022D. −1
2022
2.下列计算正确的是()
A. a2+a3=a5
B. 2a3b÷b=2a3
C. (2a2)4=8a8
D. (−a−b)2=a2−b2
3.下列图形中，轴对称图形的个数是()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4.如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将
上层的小正方体平移后得到图②.关于平移前后几何
体的三视图，下列说法正确的是()
A. 主视图相同
B. 左视图相同
C. 俯视图相同
D. 三种视图都不相同
5.将抛物线y=2x2−1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析
式为()
A. y=2(x−1)2+1
B. y=2(x+1)2−3
C. y=2(x−1)2−3
D. y=2(x+1)2+1
6.五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制
了两幅统计图(尚不完整)，根据图中的信息，下列结论错误的是()
A. 本次抽样调查的样本容量是5000
B. 扇形统计图中的m为10%
C. 若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人
D. 样本中选择公共交通出行的有2400人
7.如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以构成一
个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是()
A. 1
4B. 1
3
C. 3
8
D. 4
9
8.在四边形ABCD中，AD//BC，∠D=90°，AD=8，BC=6，
分别以A，C为圆心，大于1
2
AC的长为半径作弧，两弧交于点
E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，
则CD的长为()
A. 4√2
B. 2√10
C. 6
D. 8
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9.据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科
学记数法表示为______．
10.若一个数的平方等于5，则这个数等于______．
11.分解因式：3a2+12a+12=______ ．
12.式子√3+x在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
13.关于x的一元二次方程x2+x−a=0的一个根是2，则另一个根是______．
14.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB=55°，则∠D的度数是______．
15.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为______．
16.如图，与图中直线y=−x+1关于x轴对称的直线的函
数表达式是______ ．
17.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，若该圆锥的底
面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是______ 度.
(k>0)的图象交于A，B两点，点M在以18.如图，一次函数y=2x与反比例函数y=k
x
C(2,0)为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为3
，则k的
2值是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分）
19.计算：
(1)√12+4−1−(1
2
)2+|−√3|；
(2)(1
x+2+1)÷(x2+6x+9
x2−4
)．
20.(1)解方程：x(x−7)=8(7−x)；
(2)解不等式组：{4x−5>x+1 3x−4
2
<x．
21.为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：
将编号为A，B，C的3张卡片(如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同)背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．
(1)七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为______；
(2)七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随
机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．
22.某班为了从甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加学校的投篮比赛，对甲、
乙两人进行了5次投篮试投比赛，试投每人每次投球10个.两人5次试投的成绩统计图如图所示．
(1)甲同学5次试投进球个数的众数是多少？
(2)求乙同学5次试投进球个数的平均数；
(3)不需计算，请根据折线统计图判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定？
(4)学校投篮比赛的规则是每人投球10个，记录投进球的个数.由往届投篮比赛的结
果推测，投进8个球即可获奖，但要取得冠军需要投进10个球.请你根据以上信息，从甲、乙两名同学中推荐一名同学参加学校的投篮比赛，并说明推荐的理由．
23.如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED
至点G，使DG=DE，分别连接AE，AG，FG
(1)求证：△BCE≌△FDE；
(2)当∠C=90°时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
24.为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应
水龙头.已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天.该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？
25.如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半
径OA上一点(点E不与点O，A重合).连接DE交⊙O于点
C，连接CA，CB.若CA=CD，∠ABC=∠D．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若AB=13，CA=CD=5，则AD的长是______．
26.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐.一市民骑自行车由A地出发，途经B地
去往C地，如图.当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P.他由A地沿正东方向骑行4√2km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．
(1)求A地与信号发射塔P之间的距离；
(2)求C地与信号发射塔P之间的距离.(计算结果保留根号)
27.在矩形ABCD中，BC=√3CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE=CF，
连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
(1)如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE=PF；
(2)如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的
垂直平分线上；
(3)当AB=5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．
28.抛物线y=ax2+bx+3过点A(−1,0)，点B(3,0)，顶点为C．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC
为底的等腰三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A，C不重合)的动点，连接PE，
作∠PEF=∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
．
【解析】解：2022的倒数是1
2022
故选：C．
根据倒数的定义即可得出答案．
本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、a2与a3不是同类项，故A不符合题意．
B、原式=2a3，故B符合题意．
C、原式=16a8，故C不符合题意．
D、原式=a2+2ab+b2，故D不符合题意．
故选：B．
根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
3.【答案】B
【解析】解：第1个图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
第2个图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
第3个图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
第4个图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了由几何体判断三视图，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的
空间想象能力．
根据三视图解答即可．
【解答】
解：图①的三视图为：
图②的三视图为：
易得平移前后几何体的俯视图相同，
故选C．
5.【答案】B
【解析】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y将抛物线y=2x2−1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y=2(x+1)2−1−2，即y=2(x+ 1)2−3，
故选：B．
按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6.【答案】D
【解析】解：A.本次抽样调查的样本容量是2000÷40%=5000，此选项正确，不符合题意；
B.扇形统计图中的m为1−(50%+40%)=10%，此选项正确，不符合题意；
C.若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%=20(万人)，此选项正确，不符合题意；
D.样本中选择公共交通出行的约有5000×50%=2500(人)，此选项错误，符合题意；故选：D．
根据自驾人数及其对应的百分比可得样本容量，根据各部分百分比之和等于1可得其它m的值，用总人数乘以对应的百分比可得选择公共交通出行的人数，利用样本估计总体思想可得选择自驾方式出行的人数．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，熟悉样本、用样本估计总体是解题的关键，另外
注意学会分析图表．
7.【答案】D
【解析】解：将从左到右的三条竖线分别记作a、b、c，将从上到下的三条横线分别记作m、n、l，列表如下，
ab bc ac mn ab、mn bc、mn ac、mn
nl ab、nl bc、nl ac、nl
ml ab、ml bc、ml ac、ml
由表可知共有9种等可能结果，其中所选矩形含点A的有bc、mn；bc、ml；ac、mn；ac、ml这4种结果，
∴所选矩形含点A的概率为4
9
，
故选：D．
将从左到右的三条竖线分别记作a、b、c，将从上到下的三条横线分别记作m、n、l，利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况，再从中找到所选矩形含点A的的情况，继而利用概率公式可得答案．
本题主要考查列表法与树状图法，解题的关键是利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况，并从所有结果中找到符合条件的结果数．
8.【答案】A
【解析】解：如图，连接FC，
由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上，
∴EO垂直平分AC，
∴AF=FC，AO=CO，
∵AD//BC，
∴∠FAO=∠BCO，
在△FOA与△BOC中，
{∠FAO=∠BCO OA=OC
∠AOF=∠COB
，
∴△FOA≌△BOC(ASA)，
∴AF=BC=6，
∴FC=AF=6，FD=AD−AF=2．在△FDC中，∵∠D=90°，
∴CD2+DF2=FC2，
即CD2+22=62，
解得CD=4√2．
故选：A．
连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF=FC.再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF=BC=6，等量代换得到FC=AF=6，利用线段的和差关系求出FD=AD−AF=2.然后在Rt△FDC中利用勾股定理即可求出CD的长．本题考查了基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质的综合运用．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，确定EO垂直平分AC是解决问题的关键．
9.【答案】5.5×107
【解析】解：55000000=5.5×107．
故答案为：5.5×107．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
10.【答案】±√5
【解析】解：若一个数的平方等于5，则这个数等于：±√5．
故答案为：±√5．
直接利用平方根的定义分析得出答案．
此题主要考查了平方根，正确把握相关定义是解题关键．
11.【答案】3(a+2)2
【解析】解：原式=3(a2+4a+4)
=3(a+2)2．
故答案为：3(a+2)2．
直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
12.【答案】x≥−3
【解析】解：式子√3+x在实数范围内有意义，则3+x≥0，
解得：x≥−3．
故答案为：x≥−3．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
13.【答案】−3
【解析】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m+2=−1，
∴m=−3，
故答案为−3，
利用根与系数之间的关系求解．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
14.【答案】35°
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=55°，
∴∠B=90°−∠CAB=35°，
∴∠D=∠B=35°．
故答案为：35°．
根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB=90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B=90°−∠CAB=35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出∠D=∠B=35°．本题考查圆周角定理，解题的关键是结合图形根据圆周角定理推出∠ACB=90°及∠D=∠B，注意运用数形结合的思想方法．
15.【答案】2：1
【解析】解：如图，
分别过点A、点E作AM⊥BD，EN⊥BD，垂足分别为点M、N，则∠AMB=∠END=90°，
∵BM=2，DN=1，AM=4，EN=2，
∴BM
DN =AM
EN
，
∴△ABM∽△EDN，
∴∠ABM=∠EDN，AB
ED =BM
DN
=2
1
=2，
∴AB//ED，
∴∠BAC=∠EDC，
又∠ACB=∠DCE，
∴△ABC∽△CDE，
∴△ABC与△CDE的周长之比为2：1．
故答案为：2：1．
根据题意构造直角三角形并根据其各边的长度证明△ABM∽△EDN，从而推出AB//ED，再利用平行线的性质得到∠BAC=∠EDC，进而推出△ABC∽△CDE，则两三角形的周长之比就是两三角形的相似比．
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造直角三角形推出AB//ED，再利用相似三角形的性质求解．
16.【答案】y=x−1
【解析】解：∵关于x轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数，
∴直线y=−x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是−y=−x+1，即y=x−1．
故答案为y=x−1．
关于x轴对称的点的坐标特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
17.【答案】150
【解析】解：设圆锥的母线长为l cm ，扇形的圆心角为n°， ∵圆锥的底面圆周长为20πcm ，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20πcm ， 由题意得：1
2×20π×l =240π， 解得：l =24， 则
nπ×24180
=20π，
解得，n =150，即扇形的圆心角为150°， 故答案为：150．
根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
18.【答案】32
25
【解析】解：联立{y =k
x
y =2x
，
∴x 2=k
2，
∴x =±√k 2，
∴A(−√k
2,−2√k
2)，B(√k
2,2√k
2)， ∴A 与B 关于原点O 对称， ∴O 是线段AB 的中点， ∵N 是线段AM 的中点，
连接BM ，则ON//BM ，且ON =1
2BM ， ∵ON 的最大值为3
2， ∴BM 的最大值为3， ∵M 在⊙C 上运动，
∴当B ，C ，M 三点共线时，BM 最大， 此时BC =BM −CM =2，
∴((√k 2−2)2+(2√k
2
)2=4,
∴k =0或32
25， ∵k >0， ∴k =32
25， 故答案为：32
25．
由反比例函数性质可以得到，A ，B 两点关于原点O 对称，所以O 是线段AB 的中点，又N 是线段AM 的中点，所以ON 是△ABM 的中位线，当ON 取得最大值时，BM 也取得最大值，由于M 在⊙C 上运动，所以当B ，C ，M 三点共线时，BM 最大值为3，此时BC =2，根据BC =2列出方程即可求解．
此题是反比例和一次函数的交点问题，考查了点到圆上一点的最值问题，对此类模型结论要非常熟悉才可解决问题．
19.【答案】解：(1)√12+4−1−(1
2)2+|−√3|
=2√3+1
4−1
4+√3 =3√3； (2)(
1x+2
+1)÷(
x 2+6x+9x 2−4
)
=x+3x+2⋅(x−2)(x+2)
(x+3)2
=x−2x+3
．
【解析】(1)先算二次根式的化简，负整数指数幂，乘方，绝对值，再算加减即可； (2)先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
20.【答案】解：(1)x(x −7)=8(7−x)，
x(x −7)+8(x −7)=0， (x −7)(x +8)=0， x −7=0或x +8=0， 所以x 1=7，x 2=−8； (2){4x −5>x +1①
3x−42<x②，
解①得x >2， 解②得x <4，
所以不等式组的解集为2<x <4．
【解析】(1)先移项得到x(x −7)=8(7−x)，然后利用因式分解法解方程； (2)分别解两个不等式得到x >2和x <4，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解一元一次不等式组．
21.【答案】解：(1)小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C 的概率为1
3，
故答案为：1
3； (2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中两个班级恰好选择一首歌曲的有3种结果， 所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为3
9=1
3．
【解析】(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)甲同学5次试投进球的个数分别为：8，7，8，9，8，
∴众数是8；
(2)乙同学5次试投进球的个数分别为：7，10，6，7，10， ∴x 乙−
=
7+10+6+7+10
5
=8；
(3)由折线统计图可得，
乙的波动大，甲的波动小，故S 乙2>S 甲2
，
∴甲同学的投篮成绩更加稳定； (4)推荐甲同学参加学校的投篮比赛，
理由：由统计图可知，甲同学5次试投进球的个数分别为：8，7，8，9，8， 乙同学5次试投进球的个数分别为：7，10，6，7，10，
∴甲获奖的机会大，而且S 乙2>S 甲2
，甲同学的投篮成绩更加稳定，
∴推荐甲同学参加学校的投篮比赛．
【解析】(1)根据成绩统计图得出甲同学5次试投进球的个数及众数的定义即可求解； (2)根据成绩统计图得出乙同学5次试投进球的个数及平均的定义即可求解； (3)根据折线统计图的波动情况可判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定； (4)本题答案不唯一，说理符合实际即可．
本题考查折线统计图、平均数、中位数、众数和方差，解答本题的关键是明确题意，找
出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】(1)证明：∵点E为CD的中点，
∴CE=DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BCE=∠FDE，
在△BCE和△FDE中，
{∠CEB=∠DEF CE=DE
∠BCE=∠FDE
，
∴△BCE≌△FDE(SAS)；
(2)解：当∠C=90°时，四边形AEFG是菱形，
理由：由(1)△BCE≌△FDE，
∴BC=FD，∠C=∠FDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
∴FD=AD，
又∵DG=DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴∠FDE=90°，
∴GE⊥FA，
∴四边形AEFG是菱形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质和SAS可以判定：△BCE≌△FDE；
(2)根据(1)中的结论和菱形的判定方法可以解答本题．
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水2x 吨，
根据题意，得20
x −20
2x
=5．
解得x=2．
经检验：x=2是原方程的解，且符合题意．答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．
【解析】设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水2x吨，根据“20吨水可以比原来多用5天”列出方程并解答．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°．
又∵CA=CD，
∴∠D=∠CAD，
又∵∠ABC=∠D，
∴∠CAD+∠BAC=90°，
即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
(2)120
13
．
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得∠CAD+∠BAC=90°，进而得出结论；
(2)由(1)可得∠ABC+∠BAC=90°=∠D+∠DEA，
∵∠ABC=∠D，
∴∠BAC=∠DEA，
∴CE=CA=CD=5，
∴DE=10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC=√AB2−AC2=√132−52=12，
∵∠ACB=∠DAE=90°，∠ABC=∠D，
∴△ABC∽△EDA，
∴AB
ED =BC
AD
，
即13
10=12
AD
，
解得，AD=120
13
．
本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．
26.【答案】解：(1)依题意知：∠PAB=45°，∠PBG=15°，∠GBC=75°，
过点B作BD⊥AP于D点，
∵∠DAB=45°，AB=4√2，
∴AD=BD=4，
∵∠ABD=∠GBD=45°，∠GBP=15°，
∴∠PBD=60°，
∵BD=4，
∴PD=4√3，
∴PA=(4+4√3)(km)；
(2)∵∠PBD=60°，BD=4，
∴PB=8，
过点P作PE⊥BC于E，
∵∠PBG=15°，∠GBC=75°，
∴∠PBE=60°，
∵PB=8，
∴BE=4，PE=4√3，
∵BC=12，
∴CE=8，
∴PC=4√7(km)．
【解析】(1)根据题意得到∠PAB=45°，∠PBG=15°，∠GBC=75°，过点B作BD⊥AP 于D点，求得AD=BD=4，得到∠PBD=60°，由BD=4，求得PD=4√3，于是得到结论；
(2)过点P作PE⊥BC于E，根据∠PBG=15°，∠GBC=75°，求得∠PBE=60°，得到BE= 4，PE=4√3，根据BC=12，于是得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
27.【答案】(1)证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB，
由翻折变换可知，∠DEF=∠PEF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF．
(2)证明：如图2中，连接AC交EF于O，连接PM，PO．
∵AE//CF，
∴∠EAO=∠FCO，
∵AE=CF，∠AOE=∠COF，
在△AEO与△CFO中，
{∠EAO=∠FCO ∠AOE=∠COF AE=CF
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴OE=OF，
∵PE=PF，
∴PO平分∠EPF，
∵AD=BC，AE=FC，
∴ED=BF，
由折叠的性质可知ED=EH，所以BF=EH，∴PE−EH=PF−BF，
∴PB=PH，
∵∠PHM=∠PBM=90°，PM=PM，
在Rt△PMH与Rt△PMB中，
{PH=PB
PM=PM
∴Rt△PMH≌Rt△PMB(HL)，
∴PM平分∠EPF，
∴P，M，O共线，
∵PO⊥EF，OE=OF，
∴点M在线段EF的垂直平分线上．
(3)如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，OG=OC，点G运动的路径是图中弧BC．
∵AB=CD=5，
∴BC=√3CD=5√3，
∴BD=√BC2+CD2=10，
∴∠CBD=30°，
∴∠ABO=∠OAB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BOC=120°，OB=OC=5，
∴点G运动的路径的长为：1
3×5×2π=10π
3
．
【解析】(1)欲证明PE=PF，只要证明∠PEF=∠PFE．
(2)连接AC交EF于O，连接PM，PO.首先证明P，M，O共线，再利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
(3)如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC.利用弧长公式，解决问题即可．
本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，点B(3,0)代入y =ax 2+bx +3得：
{a −b +3=09a +3b +3=0
， 解得：{a =−1b =2
． ∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3．
∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，
∴顶点C(1,4)．
(2)设AC 交y 轴于点F ，连接DF ，过点C 做CG ⊥x 轴于点G ，
∵A(−1,0)，C(1,4)，
∴OA =1，OG =1，CG =4．
∴OA =OG ，AC =√AG 2+CG 2=2√5．
∵FO ⊥AB ，CG ⊥AB ，
∴FO//CG ，
∴OF =12CG =2，F 为AC 的中点．
∵△DAC 是以AC 为底的等腰三角形，
∴DF ⊥AC ．
∵FO ⊥AD ，
易得△AFO∽△FDO ．
∴AO OF =OF OD ．
∴12=2OD ．
∴OD =4．
∴D(4,0)．
设直线CD 的解析式为y =kx +m ，
∴{k +m =44k +m =0
， 解得：{k =−43m =163
． ∴直线CD 的解析式为y =−43x +163．
∴{y =−43x +163
y =−x 2+2x +3， 解得：{x 1=1y 1=4，{x 2=73y 2=209
． ∴P(73,209
). (3)过点P 作PH ⊥AB 于点H ，如下图，
则OH =73，PH =
209，
∵OD =4， ∴HD =OD −OH =53
， ∴PD =√PH 2+HD 2=25
9．
由(2)可得，CD =√CG 2+DG 2=5，
∴PC =CD −PD =5−
259=209． 由(2)知：AC =2√5．
设AF =x ，AE =y ，则CE =2√5−y ．
∵DA =DC ，
∴∠CAD =∠C ．
∵∠CAB +∠AEF +∠AFE =180°， ∠AEF +∠PEF +∠CEP =180°，
又∵∠PEF =∠CAB ， ∴∠CEP =∠AFE ．
∴△CEP∽△AFE ．
∴PC AE =EC AF ．
∴20
9y =2√5−y
x
． ∴x =−920y 2+9√5
10y =−920(y −√5)2+94．
∴当y =√5时，x ，即AF 有最大值94．
∵OA =1，
∴OF的最大值为9
4−1=5
4
．
∵点E是线段AC上(与点A，C不重合)的动点，∠PEF=∠CAB，
∴点F在线段AD上，
∴点F的横坐标m的取值范围为−1<m≤5
4
．
【解析】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，二次函数图象上点的坐标的特征，函数图象交点的坐标的特征，三角形相似的判定与性质，函数最值的确定．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
(1)利用待定系数法可以确定抛物线的解析式，利用配方法可得抛物线的顶点坐标；
(2)利用△DAC是以AC为底的等腰三角形，求出点D的坐标，利用待定系数法确定直线CD 的解析式，再与抛物线解析式联立，解方程组即可得到点P的坐标；
(3)由(2)中的条件求得线段CP，PD的长，设AF=x，AE=y，由已知判定出△CEP∽△
AFE，得出比例式PC
AE =EC
AF
，利用比例式求得AF的最大值，即可求得m的取值范围．。