高中数学第三章导数及其应用3.2.2函数的和差积商的导数学案苏教版选修1_427

类型二 导数运算法则的综合应用
命题角度 1 利用导数求函数解析式 ln x
例 2 (1)已知函数 f (x)＝ x ＋ 2xf ′ (1)，试比较 f (e)与 f (1)的大小关系；
(2)设 f(x)＝ (ax＋ b)sin x＋(cx＋ d)cos x，试确定常数 a， b， c， d，使得 f′ (x)＝xcos x.
a－ d＝0，
a－ d－cx＝ 0，
－ c＝ 0，
∴
即
ax＋ b＋ c＝x，
a＝ 1，
b＋ c＝ 0，
解得 a＝ d＝ 1，b＝ c＝ 0.
3 跟踪训练 2 1－ 2e 例 3 解 (1)因为 f (x)＝ ax2＋ bx＋ 3(a≠ 0)，
所以 f′(x)＝2ax＋ b，
又 f ′ (x)＝ 2x－ 8，所以 a＝ 1， b＝－ 8. (2)由(1)可知， g(x)＝exsin x＋ x2－ 8x＋ 3， 所以 g′(x)＝ exsin x＋ excos x＋ 2x－ 8， 所以 g′(0)＝ e0sin 0＋ e0cos 0＋ 2× 0－ 8＝－ 7，
1
1
思考 2 试求 Q(x)＝x＋x，H (x)＝ x－ x的导数．
梳理 和、差的导数
[f (x)± g(x)]′＝ f ′ (x)± g′ (x)．
知识点二 积、商的导数 已知 f(x)＝ x2，g(x)＝ sin x， φ(x)＝ 3.
思考 1 试求 f′ (x)， g′ (x)， φ′ (x)． sin x
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3．2.2 函数的和、差、积、商的导数
学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则 运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
.2.理解求导法则的证明过程，能够综合
知识点一 和、差的导数
1
已知
f(x)＝
x，
g(x)＝
. x
思考 1 f (x)， g(x)的导数分别是什么？
＝ ln x＋1＋ 2xln 2.
x－ 1
(3)方法一
f′(
x)＝
( x＋
1)′
x－ 1 ′ x＋ 1 － x－ 1
＝
x＋ 1 2
x＋ 1 ′
x＋ 1 － x－ 1
2
＝
x＋ 1 2
＝ x＋ 1 2.
x－ 1 x＋ 1－2 方法二 ∵ f(x)＝ x＋ 1＝ x＋ 1
2 ＝ 1－ x＋ 1，
2
2
∴ f ′ (x)＝ (1－x＋1)′＝ (－x＋1)′
g2 x
题型探究
1 例 1 解 (1)f′ (x)＝ (3ax3＋ bx2＋ c)′
1 ＝ ( ax3)′＋ (bx2)′＋ c′＝ ax2＋ 2bx.
3
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(2)f ′(x)＝ (xln x＋ 2x)′
＝ (xln x)′＋ (2x)′ ＝ x′ ln x＋ x(ln x)′＋ 2xln 2
1．函数 y＝ ( x＋ 1)( x－ 1)的导数等于 ________．
cos x 2．函数 y＝ 1－ x的导数是 ________________ ．
x 3．曲线 y＝ x＋ 2在点 (－1，－ 1)处的切线方程为 ______________________________ ．
π
π
4．已知函数 f(x)的导函数为 f ′ (x)，若 f (x)＝f ′ ( )sin x＋ cos x，则 f′ ( )＝ ________.
＝ (ax＋ b)′ sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋ (cx＋d)′ cos x＋ (cx＋ d)(cos x)′ ＝ asin x＋ (ax＋b)cos x＋ ccos x－ (cx＋d)sin x
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＝ (a－ cx－ d)sin x＋ (ax＋ b＋ c)cos x. 又∵ f ′(x)＝ xcos x，
思考 2 求 H(x)＝ x2sin x， M(x)＝ x2 ， Q(x)＝ 3sin x 的导数．
梳理 (1)积的导数
① [f (x)g(x)]′＝ ________________ ；
② [Cf(x)]′＝ ________.
(2)商的导数
fx [g x ]′＝ ______________( g(x)≠ 0)．
2
2
(2)方法一
y′＝
x2＋ 1 ′
x2＋ 3 － x2＋1 x2＋ 3 2
x2＋ 3 ′
2x x2＋ 3 － 2x x2＋ 1
4x
＝
x2＋ 3 2
＝ x2＋ 3 2.
方法二
x2＋ 1 x2＋ 3－ 2 y＝x2＋ 3＝ x2＋ 3
2
＝
1－
x2
＋
， 3
2
－2
y′＝
(1－
x2
＋
)′＝ 3
(x2＋
)′ 3
0－ 2 x＋ 1 ′
2
＝－
x＋ 1 2 ＝ x＋1 2.
(4)f ′(x)＝ (x2· ex)′＝ (x2)′· ex＋x2· (ex)′
＝ 2x· ex＋ x2·ex＝ex· (2x＋ x2)．
3
1
3
跟踪训练 1 解 (1)∵ y＝2x 2 － 3x 2 ＋ x－ 1＋ x 2 ，
1 33
35
∴ y′＝ 3x 2 ＋ x 2 － x－ 2－ x 2 .
fx
f′ x
(3)注意：
[f(x)g(x)]′≠
f′ (x)g′ (x)，
[ g
x
]′≠ g′
x
.
类型一 导数运算法则的应用 例 1 求下列函数的导数：
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1 (1)f (x)＝ 3ax3＋ bx2＋ c； (2)f (x)＝ xln x＋ 2x；
反思与感悟 (1)中确定函数 f (x)的解析式，需要求出 f ′ (1)，注意 f′ (1)是常数． (2)中利用待 定系数法可确定 a，b， c，d 的值．完成 (1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则． 跟踪训练 2 已知函数 f (x)的导函数为 f ′ (x)，且满足 f (x)＝ 2exf ′ (1)＋ 3ln x，则 f′ (1) ＝
即 f ′ (1)＝－ 1.
ln x 所以 f(x)＝ x －2x，
ln e
1
得 f (e)＝ － 2e＝ － 2e，
e
e
f(1)＝－ 2，
1 由 f (e)－f(1)＝ － 2e＋ 2<0 ，
e
得 f (e)<f(1)．
(2)由已知 f′ (x)＝ [(ax＋ b)sin x＋ (cx＋d)cos x]′ ＝ [(ax＋ b)sin x]′＋ [(cx＋d)cos x]′
转化为较易求导的结构形式，
再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．
提醒：完成作业 第 3 章 § 3.2 3.2.2
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答案精析
问题导学
知识点一
1 思考 1 f ′(x)＝ 1， g′ (x)＝－ x2.
1
1
思考 2
________.
命题角度 2 与切线有关的问题 例 3 已知函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ 3(a≠ 0)，其导函数 f′ (x)＝ 2x－ 8. (1)求 a，b 的值； (2)设函数 g(x)＝ exsin x＋ f(x)，求曲线 g(x)在 x＝ 0 处的切线方程． 反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条
题过程．
(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、 差，利用和、 差的求导法则求导， 尽量少用积、
商的求导法则求导．
跟踪训练 1 求下列函数的导数：
2x3－ 3x＋ x＋1
x2＋ 1
(1)y＝
xx
；(2)y＝x2＋ 3；
2
(3)y＝
(x＋
1)(x＋
3)(x＋
5)；(4)y＝xsin
x－
cos
. x
x－ 1 (3)f (x)＝ x＋ 1； (4)f(x)＝ x2·ex.
反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应
用导数公式时，应先对函数进行化简 (恒等变换 )，然后求导．这样可以减少运算量，优化解
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件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，
也是解题的关键， 务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
2－ cos x
π
跟踪训练 3 (1)设曲线 y＝ sin x 在点 (2， 2)处的切线与直线 x＋ ay＋ 1＝ 0 垂直，则 a＝
________.
(2)设函数 f(x)＝ g(x)＋ x2，曲线 y＝ g(x)在点 (1， g(1))处的切线方程为 y＝ 2x＋ 1，则曲线 y＝ f (x)
在点 (1， f (1))处切线的斜率为 ________．
φ′ (x)＝ 0.
思考 2 H′ (x)＝ 2xsin x＋x2cos x，
sin x ′ x2－sin x x2 ′
M′ (x)＝
x2 2
x2cos x－ 2xsin x xcos x－2sin x
＝
x4
＝
x3
，
Q′ (x)＝ 3cos x.
f′ x g x － f x g′ x
梳理 (1)① f′(x)g(x)＋ f (x)g′ (x) ②Cf′ (x) (2)33来自x＋ 15．设曲线
y＝
x－
在点 1
(3,2)处的切线与直线
ax＋ y＋ 1＝ 0 垂直，则 a＝ ________.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在
求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导
数公式． 对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，
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－2 ′ x2＋ 3 － － 2
＝
x2＋3 2
x2＋ 3 ′
4x ＝ x2＋ 3 2.
(3)方法一 y′＝ [(x＋ 1)(x＋ 3)]′ (x＋ 5)＋ (x＋ 1)(x＋ 3)(x＋ 5)′＝ [(x＋ 1)′ (x＋ 3)＋ (x＋ 1)(x＋ 3)′ ](x＋ 5)＋(x＋ 1)(x＋ 3)＝ (2x＋ 4)(x＋ 5)＋ (x＋ 1)(x＋ 3)＝ 3x2＋ 18x＋ 23. 方法二 ∵ y＝ (x＋ 1)(x＋ 3)(x＋ 5)＝ (x2＋ 4x＋ 3)(x＋ 5) ＝ x3＋ 9x2＋ 23x＋ 15， ∴ y′＝ (x3＋ 9x2＋ 23x＋ 15)′ ＝ 3x2＋ 18x＋23.
2
(4)y′＝
(xsin
x)′－
(cos
) x
′
2′ cos x－ 2 cos x ′
＝ x′ sin x＋ x(sin x)′－
cos x 2
2sin x ＝ sin x＋ xcos x－ cos2x .
1－ ln x 例 2 解 (1)由题意得 f′ (x)＝ x2 ＋2f ′ (1)，
1－ ln 1 令 x＝ 1，得 f ′(1)＝ 1 ＋2f ′ (1)，
∵Δy＝(x＋Δx)＋
x＋Δx－
(x＋
) x
－Δx ＝Δx＋ x x＋Δx ，
Δy
1
∴ Δx＝ 1－ x x＋Δx .
1
1
∴当Δx→0 时， 1－ x x＋Δx → 1－ x2.
1 ∴ Q′ (x)＝ 1－ x2.
1 同理， H′ (x)＝ 1＋ x2.
知识点二 思考 1 f ′(x)＝ 2x， g′ (x)＝ cos x，
又 g(0)＝ 3，
所以 g(x)在 x＝ 0 处的切线方程为 y－3＝－ 7(x－ 0)，
即 7x＋ y－3＝ 0.
跟踪训练 3 (1)1 (2)4
当堂训练
cos x－sin x＋ xsin x
1． 1 2.
1－x 2
3． y＝ 2x＋ 1 4.－ 3 5.－ 2
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