数学物理方法期末考试答案.

天津工业大学（2009—2010学年第一学期）
《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院)
特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。

本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。

一
填空题(每题3分,共10小题)
1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ；
三角形式为：)1sin 1(cos i e + .
2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 .
3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？).
4. 给出矢量场旋度的散度值，即=⨯∇⋅∇f
0 .
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学院
专业班
学号
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5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属
于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 .
6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 .
7. δ函数的挑选性为
⎰
∞
∞
-=-)()()(00t f d t f ττδτ.
8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和
初始条件 .
9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、
输运方程 和 稳定场方程 .
10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222
=Θ++Θ
-Θ-l l dx d x dx
d x .
二
计算题(每小题7分，共6小题)
1. 已知解析函数)(z f 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数(0)0(=f ).
解： y x u x +=2，x y u y +-=2，2=xx u ，2-=yy u . 0xx yy u u +=, (,)u x y 是调和函数. 2分 利用柯西-黎曼条件
x y u v =,x y v u =-, 即，x y v x -=2,y x v y +=2， 2分 于是，
⎰+++-=
)
,()2()2(y x C
dy y x dx x y v
⎰
⎰+++-+
++-=
)
0,()
0,0()
,()
0,()2()2()2()2(x y x x C dy y x dx x y dy y x dx x y
C x y xy +-+=2222
2. 2分
所以，)2
1()(2i
z z f -=. 1分
2. 给出如图所示弦振动问题在0x 点处的衔接条件. 解：
),0(),0(00t x u t x u +=-, 2分 0sin sin )(21=--ααT T t F , 2分 又因为
),0(sin 011t x u tg x -=≈αα, ),0(sin 022t x u tg x +-=≈αα, 2分 所以，
)(),0(),0(00t F t x Tu t x Tu x x -=--+. 1分
3. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程.
解：三维输运方程为
02=∆-u a u t (1分)
分离时间变数t 和空间变数r
,以
)()(),(r v t T t r u
= (2分) 上式代入方程,得
v v
T
a T ∆='2 (1分)
令上式等于同一常数2k -, 22
k v v
T
a T -=∆=' (2分) 则得骇姆霍兹方程为
02=+∆v k v (1分)
4. 在00=z 邻域把m z z f )1()(+=展开(m 不是整数).
解：先计算展开系数：
m z z f )1()(+=， m f 1)0(=；
)(1)1()(1z f z
m
z m z f m +=
+='-； m m f 1)0(='； 2)1)(1()(-+-=''m z m m z f m m m f 1)1()0(-=''； 5分 )()
1()
1(2
z f z m m +-=
, 所以，m z )1(+在00=z 邻域上的泰勒级数为
+-++
=+21!
2)1(1!11)1(z m m z m z m m m m ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+-++= 2!2)1(!111z m m z m m . 2分
5. 计算⎰
=-22sin 21z z
zdz
.
解： 因为4
π
π±→n z (n 为整数，包括零)，有0)sin 21(2→-z ，因
此，40π
π±
=n z 是极点.但是，在2=z 圆内的极点只有4
π
±
.又由于
1分
4
]sin 21)4[(lim 24π
ππ-=--→z z z z ， 2分 4]sin 21)
4[(lim 2π
π
π-
=-+
-→z z z z ， 2分 所以， i sf sf i z zdz z 2
22)]4
(Re )4([Re 2sin 21ππππ-=-+=-⎰=. 2分
6. 求拉氏变换][cos t L ω,ω为常数. 解: )(21cos t i t i e e t ωωω-+=
, s
p e L st -=1][ 2分 ∴ ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=-)(21][cos t i t i e e L t L ωωω
][2
1
][21t i t i e L e L ωω-+= 2分 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-=
ωωi p i p 1121 2分 2
2ω
+=p p
0Re >p 1分
三
计算题
求解两端固定均匀弦的定解问题 02=-xx tt u a u 00
==x u
，0==l
x u
，
)(0x u t ϕ==，)(0
x u t t ψ==.
解: 设此问题的解为
)()(),(t T x X t x u = 代入方程和初始条件，得 02=''-''T X a T X ，
0)()0(=t T X ，0)()(=t T l X ， 可得，
X X T
a T '
'=''2，
0)0(=X ，0)(=l X ， 令，
λ-=''=''X X T
a T 2 所以，
⎩⎨⎧===+''0)(,0)0(0
l X X X X λ ，(本征值问题)
02=+''T a T λ 下面先求解本征值问题：
当0<λ时， x
x
e c e c x X λλ--
-+=21)(，
由初始条件，得 021==c c ， 因此，0),(≡t x u ，解无意义.
当0=λ时， 21)(c x c x X +=， 同样由初始条件，得 021==c c ， 因此，0),(≡t x u ，解无意义.
当0>λ时， x c x c x X λλs i n c o s )(21+=， 由初始条件，得 01=c ，0sin 2=l c λ， 所以，0sin =l λ，即，πλn l = (n 为正整数)，
因此本征值为：22
2l
n πλ= ,3,2,1=n
本征函数为：l
x
n c x X πsin
)(2=， 2c 为任意常数. 10分 方程02=+''T a T λ的解为：l
at
n B l at n A t T ππsin cos )(+=， 因此，
l x n l at n B l at n A t x u n n n πππsin
sin cos ),(⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=， 此问题的通解为：
l x n l at n B l at n A t x u t x u n n n n n πππsin
sin cos ),(),(11⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+==∑∑∞
=∞
=， 代入初始条件得
∑∞
==1
)(sin n n x l x
n A ϕπ，
∑∞
==1
)(s i n n n
x l
x
n l a n B ψππ， 所以，
⎰=
l n d l n l A 0s i n )(2ξπξξϕ， ⎰=l n d l
n a n B 0s i n )(2ξπξ
ξψπ. 10分
四
简答题
给出泊松方程，并说明求解此方程的方法、步骤.
解：泊松方程为：)
,
,
(z
y
x
f
u=
∆ 3分令w
v
u+
=，取v唯一特解， 2分则0
=
-
=
∆
-
∆
=
∆f
u
v
u
w 2分然后求解拉氏方程0
=
∆w得w。

1分。