哈工大第十四章动能定理

分析：起动阶段（加速）：
即 P输入> P有用 + P无用
制动阶段（减速）： 稳定阶段（匀速）：
即 P输入< P有用 + P无用 即 P输入= P有用 + P无用
3．机械效率
在工程中，把有效功率(包括克服有用阻力的功率和使系统 动能改变的功率)与输入功率的比值称为机器的机械效率， 即
输入功率
其中
有效功率 = P有用 +
作用，则
计算质点系的动能不必考虑速度的方向。
三．刚体的动能 (1)平动刚体的动能
(2)定轴转动刚体的动能
绕定轴转动的刚体的动能．等于刚体对于 转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。
(3)平面运动刚体的动能 设图形中的点P是某瞬时的瞬心，刚体 质心C。平面运动的刚体的动能为
作平面运动的刚体的动能，等于随 质心平动的动能与绕质心转动的动 能的和。 车轮在地面只滚不滑，质量分布在轮缘， 轮辐的质量不计。
设系统静止时弹簧拉长量为δ0 以平衡位置为参考点，物体下降 s时弹簧伸长量为 s =δ0 + x
对坐标 x 的运动微分方程 弹簧倾斜角度θ与系统运动微分方程无关。
§14—5 势力场·势能·机械能守恒定律
一．势力场 1．力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和 方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。
例14—1 质量为m的质点，自高处自由落下，落到下面有弹 簧支持的板上，设板和弹簧的质量都可忽略不计，弹簧的刚 性系数为k。求弹簧的最大压缩量。
解：取质点为研究对象 ①质点从位置I落到板上
根据动能定理，得
质点从落到板上到弹簧被压缩到最大值
根据动能定理，得
②质点从位置I到板上到弹 簧被压缩到最大值
当刚体绕定轴转动时，
力F 的元功为
作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。
如果作用力偶 M , 且力偶的作用面垂直 转轴
若 M = 常量, 则
注意：功的符号的确定。
4．平面运动刚体上力系的功 取刚体的质心C为基点， 当
刚体有无限小位移时，任一力 Fi 作用点 Mi 的位移为
力 Fi 在点 Mi 的位移上所作元功为
③ 质点系内力的功
只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。 刚体的内力功之和等于零。 不可伸长的绳索内力功之和等于零。
[例1] 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心 线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问 下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长， 盘B作纯滚动，初始时系统静止)
例14—2 卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿 斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1 ，质量为ml ，质量分布在轮 缘上；圆柱的半径为R2 ，质量为m2 ，质量均匀分布。设斜坡 的倾角为θ，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中 心C经过路程 s 时的速度。 解：圆柱和鼓轮一起组成质点系。
质点系动能定理的微分形式 质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。 质点系动能定理的积分形式 质点系在某段运动过程中，起点和终点的动能的改变量．等于 作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
3. 理想约束 ① 理想约束反力的功
约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 1．光滑固定面约束
∵ 转动位移 大小 方向
力系全部力所作元功之和为
其中F R’为力系主矢，Mc为力系对质心的主矩。 刚体质心C由C1移到C2，同时刚体又
由 1转到 2角度时，力系作功
平面运动刚体上力系的功就等于力系 向质心简化所得的力和力偶作功之和。 基点也可以是刚体上任意一点。
§14—2 质点和质点系的动能
一．质点的动能
一般情况下，滑动摩擦力与物体的相对位移反向，摩擦 力作负功，不是理想约束，应用动能定理时要计入摩擦 力的功。
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力FN ，摩擦力 FS 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
(3) 滚动摩擦阻力偶 M 的功 若M = 常量 则 不计滚动摩阻时，纯滚动的接触点也是理想约束。
1、瞬时量,与速度方向无关的正标量。 2、动能具有与功相同的量纲 dim F =ML2 T –2
单位也是J。 3、动能和动量都是表征机械运动的量。
动能与质点速度的平方成正比，是一个标量； 动量与质点速度的一次方成正比，是一个矢量。
二．质点系的动能 m1 = 2 m2 = 4 m3 绳的质量和变形忽略不计
2. 功率方程 取质点系动能定理的微分形式
两端除以dt，得功率方程
即质点系动能对时间的一阶导数．等于作用于质点系的所有力 的功率的代数和。
输入功率 无用功率（损耗功率） 有用功率（输出功率）
功率方程
P输入- P有用 - P无用 P输入= P有用 + P无用+
系统的输入功率等于有用功率、无用功率和系统动能的变化 率的和。
解：选取绞车和重物为研究的质 点系。
重物的静止位置和升高了A的位 置作为质点系运动的始点和终点。
根据动能定理，得
(a) 解得 将式(a)两端对时间间取一阶导数
应用动能定理解题的步骤：
(1)选取某质点系(或质点)作为研究对象 (2)选定应用动能定理的一段过程； (3)分析质点系的运动，计算在选定的过程起点和终 点的动能；
其中鼓轮对于中心轴O的转动惯量 圆柱对于过质心C的轴的转动惯量
根据动能定理，得 其中
例14—3 在绞车的主动轴I上作用一恒力偶M以提升重物。如 图所示。已知重物的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在 轴上的齿轮等附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比i12 = ω1 / ω2 ；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均可不计。绞 车开始静止，求当重物上升的距离为h时的速度。
(4)分析作用于质点系的力，计算各力在选定过程中 所作的功，并求它们的代数和；
(5)应用动能定理建立方程，求解未知量。
§14—4 功率·功率方程·机械效率
1．功率 力在单位时间内所作的功
作用力的功率 力矩的功率
衡量机器工作能力的一个重要指标 功率是代数量，并有瞬时性。 功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s 。
F与ro的反向 F与ro的同向
点A由Al到A2时，弹性力作功为 计算弹性力作功的普遍公式
弹性力作的功只与弹簧在初始和 末了位置的变形量δ有关，与力 作用点A的轨迹形状无关。
δ1 ＞ δ2 δ1 < δ2
正功 负功
弹性力功的大小可由图所示的阴 影面积表示
两段相同位移内，弹性力作功也 是不相等的。
3．定轴转动刚体上作用力的功 设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力 F
取弹簧的自然位置为零势能点
3. 万有引力场中的势能 取A0为零势能点，则质点的势能为
取零势能点在无穷远处，即r1＝∞， 得
三．有势力的功 在M1位置：
M2位置：
M1→M2： 有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。
四．机械能守恒定律 机械能：系统的动能与势能的代数和。பைடு நூலகம்设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力)
§14—3 动能定理
1．质点的动能定理
∴质点动能定理的微分形式 质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
质点动能定理的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于 质点的力作的功。
力作正功 W>0 力作负功 W<0
质点动能增加； 质点动能减小。
2．质点系的动能定理 对质点系中的一质点 mi ： 对整个质点系，有
是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下 ＜１。
机器传动部分的机械效率 I—II、II—III、III—IV各级 的效率分别为η1 、 η2 、 η3 ， 则I—IV的总效率为
对于有n级传动的系统，总效率等于各级效率的连乘积，即
例14—7 车床的电动机功率Pλ＝5.4 kW。由于传动零件之间的 摩擦，损耗功率占输入功率的30％。如工件的直径 d＝100 mm， 转速 n＝42 r／min ，问允许切削力的最大值为多少?若工件的转 速改为 n’ ＝112 r／min 。问允许切削力的最大值为多少?
静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加
速度。
解：取整个系统为研究对象
根据动能定理，得 将上式对t 求导数，得
[例4]两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB 杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放， 求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。 解：取整个系统为研究对象
M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。 势能具有相对性。
几种常见的势能 1.重力场中的势能
取M0为零势能点，则质点的势 能为
对质点系，取各质点的z坐标为z10 ， z20 ， … zn0时为零势 能位置，则质点系各质点z坐标为z1 ， z2 ， … zn时的势能
2. 弹性力场中的势能 取M0为零势能点，则质点的势 能为
即 力的方向总是指向自然位置(即弹簧未变形时端点的位置A0)。
k—弹簧的刚度系数，表示使弹 簧发生单位变形时所需的力
单位为N/m , N/mm
以点O为原点，设点A的矢径为r，其长度为r。令沿矢径方向 的单位矢量为ro，弹簧的自然长度为l0 ，则弹性力
当弹簧伸长时 当弹簧压缩时
r＞ l0 r < l0
解：设电动机的功率为P，它是运送机的输人功率。 运送机的总效率 有效的功率
例14—9 在绞车的主动轴I上作用一恒力偶M以提升重物。如 图所示。已知重物的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在 轴上的齿轮等附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比i12 = ω1 / ω2 ；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均可不计。绞 车开始静止，求当重物上升的距离为h时的加速度。 解：选取绞车和重物为研究的质点系。 系统动能
2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承
3．联接刚体的光滑铰链（中间铰）
4．柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒 等于零。
5．刚性二力杆 在理想约束条件，质点系动能 的改变只与主动力作功有关
② 摩擦力的功 (1) 动滑动摩擦力的功
FN = 常量时, W= –f FN S , 与质点的路径有关。
解：车床的输入功率 P入= 5.4 kW 无用功率 P无用= P入×30% = 1.62 kW
当工件匀速转动时，有用功率为
P有用 = P入- P无用 = 3.78 kW 设切削力为F，切削速度为v，则
P有用 =Fv
即
例14—8 带式运送机如图所示。胶带的速度为 v ＝1 m/s， 输送量为qm＝2000 kg/min，输送高度为h＝5m。胶带传动 的机械效率为η1 ＝0.6，减速箱的机械效率为η2 ＝0.4。求 电动机的功率。
系统总功率
功率方程
例14—10 物块质量为m，用不计质量的细绳跨过滑轮与弹簧 相联。弹簧原长为l0，刚度系数为k，质量不计。滑轮半径为R， 转动惯量为J。不计轴承摩擦，试建立此系统的运动微分方程。 解：设弹簧由自然位置拉长 任一长度 s
系统的动能
重力功率 功率方程
弹性力功率
对坐标 s 的运动微分方程
解：取系统为研究对象
上式求导得：
[例2]图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于 自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到 水平位置OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？
解：研究OA杆 由
[例3]行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视 为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由
2．势力场： 在力场中, 如果作用于质点的场力作功只决定于 质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。
重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。
质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力), 如重力、弹力等。
二．势能 在势力场中, 质点从位置M 运动到任选位置M0, 有势力所作
的功称为质点在位置M 相对于位置M0的势能，用V 表示。
三．合力的功 质点M 受n个力
合力 FR 的功
作用合力为
，则
即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
四．常见力的功 1．重力的功 质点：重力在三轴上的投影：
质点系： 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重
心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。
2．弹性力的功 在弹性极限内，弹性力的大小与其变形量δ成正比，