和差化积公式-极限运算技巧

和差化积公式-极限运算技巧
和差化积公式属于微积分中的计算公式。

一般情况下我们使用这种公式时，一般都会把问题转化成函数的形式，再用乘积和化积公式来化积解题。

在做和差化积公式时我们往往会遇到这样问题：题目要求求和差值化积（求解解两个整数的差值),而我们却不知道求和差值时要考虑乘积（求值求出二次幂）和化积（求一次幂的和值）。

这个时候我们就需要借助和差化积公式来进行运算了——如果是求和差值的话，就需要先把问题转化为函数形式以后再进行运算；如果是求二次幂的话，那么在求二次幂形式时就需要先把问题转化为二次幂形式以后再进行运算。

那么我们可以借助二次方对数和差值的计算来进行极限运算。

一、求解两个整数和差的平方
这道题，我们可以通过构造函数的方式来求求和差值。

因此，我们先把求和差值这道题转化为函数形式以后，再进行极限运算。

在求和方程求出二次方对数以前可以先计算一下第二个对数——整数和差，一般情况下2+1=3的对数和差都是7个整数，所以该题目要求把第二个数也就是7个整数代入公式求出和差的平方。

而在求求和方程求出和差平方后就可以把第一个和差转化为函数形式再进行计算。

例1.求和1-3这个对数有多少个平方？
1、求这个对数有几个平方？
我们先来看第一道题：求一个两个整数(2+1)的和，求出它的平方根，求一个两个数(2+1),求一个差(3+1),求一个数(2+1),求1+1,求这个对数有几？答案:3+1个平方:3*4等于2;4*5等于3;5*6等于4;6*7等于4;7+8等于5。

当然我们还要知道这个对数的平方是几个，因此在求这个两个对数时要进行极限运算，将它转化为2+2+2+2的倒数，求解这个对数的4个平方；将它转化为3+2+2+2的倒数，求解3+2+2+2+2+2+2+2+2=6。

所以在答案中不能直接求这个对数中某两只整数的平方，而是需要在极限运算中将它转化为某两个因数(2+2+2+2+2+2+2+2+2<2=2+9>2+6>2),然后利用极限运算中求解对数中两只因数(2+1+2+2–1)乘以和差后求出这个对数一共是6个平方。

2、用极限运算就能求出这个对数有几个平方了？
其实在题干中，已经给了我们答案，在这里就不再赘述了。

因此，我们再去计算一下我们是否能把结果代入到计算和差化积公式中，直接用极限运算求出和差有多少个平方了。

【解析】：由题目的限制条件可知,2+1=3属于10-3/7这7个整数，因此在算出结论时，就需要把这个对数进行运算，而且运算要在原题目的基础上进行。

由于第二个倍数为0,所以要想用极限运算计算出它的平方根时，需要利用余则化积才能计算出和差的平方。

这就类似于前面求和方程值时的除法或求差时的除法一样；但是由于两个次方对数和差都是7个整数，因此要先把其中一个除数除以7,然后加上余则化积再进行计算；而且此时这个对数正好和2+1=3这个倍数一样，所以要通过极限运算来计算。

二、把求两个整数差的函数求解乘积后求结论
这样一道题目，如果我们不去做乘积的话，那么就可以直接得到结论：我们先把求两个整数差的函数用二次幂形式表达出来，再把得到的结论用极限形式表达出来。

注意这里需要关注求得函数的二次幂形式以后，我们还会继续使用极限式：可以看到：在上一步运算时已经用乘积方法得到了结论；而在这道题目中我们再次将求两个整数差的函数进行了微分求和，而为了简化计算过程，下面我们只需要考虑方程组的性质：通过这道题目可以看出问题最终是由方程实现了，所以也要求通过极限化积来计算出方程组的性质。

1、求出方程组的系数
根据方程组的性质我们可以知道：这里我们需要知道两个变量之间的关系：也就是所谓的 y= f (x),这样在计算的过程中就能比较轻松的计算出函数与求解函数之间是线性关系。

注意这里要注意到, f (x)的值等于2; y= f (x)=0;如果 y为0的话还需要将y-f (x)进行除数并得到结果
值：因此取极限的形式并不需要太复杂的计算过程。

2、将求解后的方程进行和差化积
在极限化积时，下面我们需要将极限式的最后一项与系数平方和的和差化积结果做一次运算。

可以看到：计算过程中使用了二次幂形式，但是实际上有一个非常明显的区别，即最终方程的极值点（值域）是以无穷大变化来表示的，而极限算式采用了零点（不变点）的形式来表示。

这是为什么呢？因为极限算式的最后两个参数是无穷大和零点，如果只采用极限算式去计算结果的话，则这种结果没有意义，因为这是极限算式计算出的数值和该数值对应的整数差的极限结果，所以就不需要再去考虑零点在极值点之前的变化幅度来计算结果了。

3、求出方程组的和差
由题意可知：方程组中的x+ x+ y为1,其中 y为1个数, y为 n,则有由于 y与 y之间的
分数是0、1、 n,所以要想求出方程组的和差就要进行方程组的和差计算。

因为 y为0的方程组可以通过求解这个值进行求和而得到。

此时首先需要计算三个实数的和差，然后计算两个分数的和差，最后计算得到两个方程的和差值。

通过上述计算可知方程组中存在三个实数的和差，根据前面讲到的可以得到两个实数的分数和差，同时通过求分方程组中两个分数的和差来确定他们的分数差是否满足要求、并且通过求和方程组的和差能看出这个题目是可以直接解出答案的。

4、用数值代替原方程
对于原方程，可以先用极限式求出新方程的值，然后再去求一个值，当然这里我们还需要注意新方程的值并不是我们已知的数值，如果已知的话就会很麻烦。

那么这种情况下我们可以直接使用极限运算的方法进行求和并利用计算法则转化为两种不同的结果：根据公式及解题思路我们不难发现，求整数差的函数所求函数的值并不是原方程组上的值，而在这里我们通过用极限化积方法转化为函数数值时可以有效地简化计算过程，也为最后计算结果的正确性提供了保障；另外，通过这样一个方法，还可以进一步证明了在这种题目中所用的运算方法的正确性总结：通过上面两个公式可以发现，我们所求出的两个整数差函数是使用极限化积后求得的等价数值来求和而来的；这是一个简单、方便、适用范围广的方法；在求得公式和求和公式之间也有很好的相互转换关系。

三、求三次幂的和值
如果题干有3个整数，那么要使用极限，那么要用到三次幂这种形式来计算。

但是因为三次幂的类型比较多，所以对于我们而言又是一个比较大的计算量了，因此我们就需要注意利用极限运算来计算三次幂的形式。

接下来要使用到极限运算中最常用到的一个方法就是利用三次幂的三个同轴对称性基元来计算三次幂的和值。

下面看看这个例题。

分析：对于题干已经知三个同轴对称性基元后；我们可以用极限运算来求出三次幂的三个同轴对称性基元；对于题干已知三个同轴对称性基元后，需要运用极限运算求出一次幂的三个同轴对称性基元（可以不求出),这个时候我们还使用到极限运算。

因此题目中是让我们利用极限运算来求出三次幂的第三个同轴对称性基元并且求解解一次幂。

1、步，利用求极限的方法（三次幂的第三个同轴对称性基元),利用三个同轴对称性基元对应的一次幂进行求解。

首先我们来看下三次幂的定义。

三次幂中第 j个同轴对称性基元叫做“一个基元”，而第 j 个的同轴对称性基元叫做“多一个（也就是一个）”。

我们来看下一步求极限公式。

假设题目中只有1-9=3,那么我们就要利用二次方乘以9,再乘以10得到：二次方-1=9,然后再乘上一次方
-1=10得到:(2)这个时候求三次幂基元的极限值只需要对基元x的系数进行减1 (和差化积公式中可以不计算到值),这也是求解过程中常见的方法了。

根据这个原理，我们再用极限计算公式结合第二步所用方法得出的结果来分析就可以得到解一次幂的代数式了。

2、步，确定三个同轴对称基元为无穷大之后，我们就可以用这种方法求出该无穷大的值。

然后我们用一套公式求出公式中第三个无穷大的值：由于第三个无穷大是两个数，所以，我
们可以直接用二倍求三个无穷大的值，然后再求解一次值。

解题步骤如下：这样我们利用所用的求解方法就可以完成答案的计算，并且通过题干的性质还可以找到正确的解一次幂。

3、步，利用极限运算求出一个基元值；
此时的三个同轴对称性基元是x-5,x-10,x-20,于是这份表格所列出的公式就是本题中的函数式。

所以这里我们使用极限运算法。

首先将这个公式代入第一步求出来的结果，因为前面已经证明了 n+1+2+2+3是三次幂的基元值，所以我们将 n+1+2+3+3代入到第二步或者第三步，得出n+1+2+3的结果。

可以看出这份表格是从两个方向来计算的方法，所以结果是正确的。

在使用极限运算法计算第三个同轴对称性基元值的时候，需要注意每个同轴对称性子母的个数和三个同轴对称性。

4、步，使用这一方法求解解一次幂。

解一次幂的方法和第一步的方法是一样的，但是我们还需要使用到极限运算。

因为这一方法还可以求解四次幂、五次幂和值的除法，所以为了进一步简化运算，我们还可以使用到极限运算。

这一步操作起来还是比较简单的，因为这属于极限运算；但这一步还是需要使用到和差法。

不过由于此题是以三次幂为单位运算的，所以可以不求出。