03对勾函数解决恒成立和实根分布问题(检测+答案)

对勾函数解决恒成立和实根分布问题
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如()b f x ax x =+
当,a b 同号时，()b f x ax x
=+的图象是由直线y ax =与双曲线b y x =构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“耐克函数”。

耐克函数的顶点：,2b ab a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和,2b ab a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 耐克函数性质探讨
有如下几种情况：(1)0,0<>b a (2)0,0><b a (3)0,0>>b a (4)0,0<<b a 设ax y =1，x b y =2，则x b ax y y y +=+=21，其定义域为{}0,|≠∈x R x x 且 (1)0,0<>b a 时，ax y =1，x
b y =2在),0(),0,(+∞-∞上分别单调递增。

故x
b ax y y y +
=+=21在),0(),0,(+∞-∞为单调递增函数。

(2)0,0><b a 时，ax y =1，x b y =
2在),0(),0,(+∞-∞上分别单调递减。

故x b ax y y y +=+=21在),0(),0,(+∞-∞为单调递减函数 (3)0,0>>b a 1当0>x 时，01>=ax y ，02>=
x b y 2y ab ≥x b ax =，即a b x =取等号。

2当0<x 时 01<=ax y ，02<=x b y 2y ab ≤-x b ax =，即a
b x -=取等号。

（4）0,0a b << 1当0>x 时，01<=ax y ，02<=x b y y ab ≤-x b ax =，即a b x =取等号。

2当0<x 时 01>=ax y ，02>=x b y 2y ab ≥x b ax =，即a b x -=取等号。

例1．若 x>1.求()11f x x x =+
-的最小值 解： ()1112131f x x x =-++≥+=-当111x x -=-，即2x =时等号成立。

例2. 若 x>1. 求()1f x x =-的最小值 解：将()y f x =向左平移一个单位，得到的新函数()1y f x =+的值域与原函数是相等的，故
()()()(){}2212121110,x x x f x x x x x x +-++++===+∈+∞当1x x =，即1x =时等号成立。

1.函数x
x y 32-
-=的最大值为 。

2、若14<<-x ，则22222-+-=x x x y 的最值是 。

3.函数()9401y x x x
=+≤≤的最小值是 。

4.函数()1027y x x x =+≤≤的最小值为__________；函数()1027y x x x
=-≤≤的最大值为_________。

5.（1）若 x>0. 求x x y 23+=的最小值（2）若x >1. 求112-+-=x x x y 的最小值
6.求函数()()11
1612>+++=x x x x x x f 的最值。

例3. 已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

解：根据题意得：21a x x
+->在[)2,x ∈+∞上恒成立，即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例4.已知函数2()10f x x ax =++≥对于一切1(0,]2x ∈成立，求a 的取值范围。

解：根据题意得：21x ax +≥在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即：1x a x +≥在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
上恒成立， 设()1g x x x =+，则()2g x ≥ 当1x =时，()2g x = ，但10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 所以()min 1522
g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，52a ≤ 例5.已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.
解：根据题意得：()231x a x +≥-在[]2,2x ∈-上恒成立，即：()2
13x ax ++≥-在[]3,1x ∈-上恒成立，即()()42104203x a x x x a x x ⎧++≥-≥>⎪⎪⎨⎪++≤->≥-⎪⎩
()()71072203a x a a x ≥-≥>⎧⎪⇒⇒-≤≤⎨-≤->≥-⎪⎩。

例6.方程240x ax -+=在区间[]0,1内有解 ，求a 的取值范围。

解：根据题意得：0x =时，无解；24x ax +=在(]0,1x ∈内有解，即：4x a x
+=在(]0,1x ∈上的取值范围，设()4g x x x
=+，则()5g x ≥ 当1x =时，()5g x = ，故5a ≥ 7.当x ＞0时，若不等式x 2+ax +1≥0恒成立，则a 的最小值为（ ） A ． ﹣2
B ． ﹣3
C ． ﹣1
D ． 8.若不等式x 2﹣ax +4≥0对任意的x ∈（0，3）都成立，则实数a 的取值范围是 ．
9.若对于一切正实数x 不等式2
42x a x
+>恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 10.若不等式x 2+ax +1≥0对一切20,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
都成立，则实数a 的取值范围是 。

秒杀秘籍：耐克函数与二次函数之间的相互转换问题
在二次函数中，涉及一些恒成立和是根分布的问题可以通过两边同除以x ，利用分离变量的方法得到b ax k x +
≥或者()b a x m k x m ++≥+在区间的最值问题，耐克函数中涉及参数的取值范围也可以转化为二次函数来解决。

关键词：参数的次数必须为一次。

11.若不等式x 2﹣kx +k ﹣1＞0对x ∈（1，2）恒成立，则实数k 的取值范围是 ．
12.若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，求实数a 的取值范围。

13.当m ∈[﹣1，1]时，不等式2x 2+mx ﹣3＜0恒成立，求实数x 的取值范围。

14.已知函数22([1,))x x a y x x ++=∈+∞（1） 求12a =，求()f x 的最小值(2)若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

15.若对于51x -≤≤，不等式260x ax a ++-> 恒成立，求实数a 的取值范围。

16.已知()2221f t t kt k =-++在[]1,1t ∈-上恒大于0，求k 的取值范围。

17.已知实数x 满足()31x a x +≤+恒成立，求实数a 的取值范围。

18.已知函数f （x ）=x 2﹣2x ﹣8，g （x ）=2x 2﹣4x ﹣16，（1）求不等式g （x ）＜0的解集；（2）若对一切x ＞2，均有f （x ）≥（m+2）x ﹣m ﹣15成立，求实数m 的取值范围．
19.已知不等式x 2﹣（a +1）x +a ＜0，（1）若不等式在（1，3）上有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式在（1，3）上恒成立，求实数a 的取值范围．
20.已知二次函数f （x ）满足f （x +1）﹣f （x ）=2x 且f （0）=1．（1）求f （x ）的解析式；
（2）当x ∈（﹣1，1）时，不等式mf （x ）＞x 恒成立，求m 取值范围．
21.已知函数f （x ）=3x 2+2（k ﹣1）x +k +5（k ∈R ）（1）对任意k ∈（﹣1，1），不等式f （x ）＜0恒成立，求x 的取值范围；（2）若函数在区间（0，2）内有零点，求k 的取值范围．
22.已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围．。