全国高二高中数学同步测试带答案解析

全国高二高中数学同步测试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.如果已知“若p ，则q”为真，即p ⇒q ，那么我们说p 是q 的____________，q 是p 的____________．
2.如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作________．这时p 是q 的______________条件，简称________条件，实际上p 与q 互为________条件．如果p q 且q p ，则p 是q 的________________________条件．
3.用符号“⇒”或“”填空.
(1)a>b________ac 2>bc 2；
(2)ab≠0________a≠0.
4.不等式(a ＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a 的取值范围是________．
5.函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．
二、选择题
1.“x>0”是“x≠0”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2.设p ：x<－1或x>1；q ：x<－2或x>1，则
p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.设集合M ＝{x|0<x≤3}，N ＝{x|0<x≤2}，那么“a ∈M”是“a ∈N”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6.“a<0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7.记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max
，最小数为 min
.已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为 l ＝max ·min ，
则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( )
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
三、解答题
1.下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件：
(1)p ：|x|＝|y|，q ：x ＝y.
(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；
(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．
2.已知P ＝{x|a －4<x<a ＋4}，Q ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．
3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．
全国高二高中数学同步测试答案及解析
一、填空题
1.如果已知“若p ，则q”为真，即p ⇒q ，那么我们说p 是q 的____________，q 是p 的____________．
【答案】充分条件 必要条件
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

解：充分条件、必要条件的定义“若p ，则q”为真，即p ⇒q ，p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件。

2.如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作________．这时p 是q 的______________条件，简称________条件，实际上p 与q 互为________条件．如果p q 且q p ，则p 是q 的________________________条件．
【答案】p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

解：既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，p 是q 的充要条件。

充分条件、必要条件的定义“若p ，则q”为真，即p ⇒q ，p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件。

3.用符号“⇒”或“”填空.
(1)a>b________ac 2>bc 2；
(2)ab≠0________a≠0.
【答案】(1) (2)⇒
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

解：（1）中c 20，即a>b ac 2>bc 2；（2）中由ab≠0，可知a,b 均不为零，即ab≠0⇒a≠0。

4.不等式(a ＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a 的取值范围是________．
【答案】a>2
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

解：不等式变形为(x ＋1)(x ＋a)<0，因当－2<x<－1时不等式成立，所以不等式的解为－a<x<－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，∴－2>－a ，即a>2.
5.函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．
【答案】b≥－2a
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

解：由二次函数的图象可知当－
≤1，即b≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在
[1，＋∞)上单调递增．
二、选择题
1.“x>0”是“x≠0”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

解：对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．故选A 。

2.设p ：x<－1或x>1；q ：x<－2或x>1，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

∵q ⇒p ，∴p ⇒q ，反之不一定成立，因此p 是
q 的充分不必要条件．故选A 。

3.设集合M ＝{x|0<x≤3}，N ＝{x|0<x≤2}，那么“a ∈M”是“a ∈N”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

解：因为N M.所以“a ∈M”是“a ∈N”的必要而不充分条件．故选B 。

4.“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

解：把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．
5.设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

解：l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.故选A 。

6.“a<0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

当a<0时，由韦达定理知x 1x 2＝<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a<0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．故选B 。

7.记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max
，最小数为 min .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为
l ＝max ·min ，
则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( )
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

解：当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，
∴l ＝max ·min ＝1×1＝1.
∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c ，∴max ＝.
又∵l ＝1，∴min ＝，
即＝或＝，
得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形．
∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．故选A 。

三、解答题
1.下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件：
(1)p ：|x|＝|y|，q ：x ＝y.
(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；
(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．
【答案】（1）p 是q 的必要条件，但不是充分条件；（2）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件；（3）p 是q 的必要条件，但不是充分条件.
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

解：(1)∵|x|＝|y|x ＝y ，
但x ＝y ⇒|x|＝|y|，
∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC 是直角三角形△ABC 是等腰三角形．
△ABC 是等腰三角形△ABC 是直角三角形．
∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．
∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．
2.已知P ＝{x|a －4<x<a ＋4}，Q ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．
【答案】[－1,5]
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

解 由题意知，Q ＝{x|1<x<3}，Q ⇒P ，
∴，解得－1≤a≤5.
∴实数a 的取值范围是[－1,5]．
3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．
【答案】{a n }为等差数列的充要条件是c ＝－1
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

解 当{a
n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2
＋c ，
∴当n≥2时，S n －1＝n 2＋c ，
∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，
∴a n ＋1－a n ＝2为常数．
又a 1＝S 1＝4＋c ，
∴a 2－a 1＝5－(4＋c)＝1－c ， ∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2. ∴c ＝－1，反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ， 可得an ＝2n ＋1 (n≥1)为等差数列， ∴{a n }为等差数列的充要条件是c ＝－1.。