有限网络的一个性质

“（） １ Ｏ 状态 ” 打开 （ 闭）状 态． ： 关
我们 提 出下 列 问题 ：
从 图 １我们 发现 一 个 有 趣 的 现象 ： 当研究 人 员 每 次选定 一个 房 间 ， 该 房 间 及 与 之关 联 的房 间的 让
收 稿 日期 ：０ ０— ０ ２１ ５— ０ ； 改 日期 ： ０ １ Ｏ ５修 ２ １ 一 ５— １ ． ３
（ 安徽 大 学 数 学 学 院 ，安 徽 合 肥 ２０ ３ ） ３ ０ ９
摘 要 借 助 实 例 提 出一 个 有关 有 限 网 络 研 究 的 基 本 问 题 ： 装 置 的任 意 电路 网 络 是 否 总 能 经 有 限 次 改 变 状 对 态 后 ， 全“ 闭 ”状 态 变 为 全 “ 启 ”状 态 ． 用 无 向 图作 为 网络 的数 学 模 型 ． 利 用 邻 接 矩 阵 ， 把 该 基 本 问题 归 从 关 开 利 并 可
意 性”适用 于任 何 （ 限）数 目的结 点 和这些结 点 的 有 任何 关 联特性 ． 不言 而 喻 ， 问题 的肯定 答 案 ， 是 这 将
一
个有 理论 和应 用价 值 的有 趣 结 果． 文 旨在 建 立 本
中 图 分 类 号 ０１ １ ２ Ｏ１ ７ ６ ５ ． ６； ５ ． 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ — ３ ９ ２ １ ） ４０ ２ —５ ０ ８ １ ９ （ ０ １ ０ — ０ ３０
１ 问题 的 提 出
考 虑 一 个拥 有 许 多 房 间 的大 型现 代 化 实验 室 ，
和 ５联 系 ； 间 ５仅与 房 间 １ ２和 ４联 系． 开始 时 房 、 设 各房 间 特定装 置均 处 于 关 闭 状 态． 某 研 究 人 员 首 设
先要 去房 间 １ 作 ， 需 要 改 变 房 间 １及 与 之 关联 工 他
的 房间 ２和 ５的装置 原 有 的关 闭状态 ， 即打开 房 间 １ 及与 之关 联 的房 间 ２和 ５的装置 ； 次 ， 其 他要 去房 问 ２工作 ， 这一 次他需 要 关 闭房 间 ２的装 置 ， 关 闭 与 并 房间 ２ 关联 的房 间 １ ５的装置 ， 开 与房 间 ２ 和 打 关联 的房 间 ３的装置 ； 后 ， 要 去 房 间 ５工 作 ， 他要 最 他 故
徽 省高 等 学校 省 级 教 学研 究 项 目（ ０ ８ＹＸＭ２ １ ． ２０ Ｊ ７） 作 者 简 介 ｔ 尚俊 （ ９７一）男 ， 州 贞 丰 人 ， 授 ， 要 从 事 矩 阵 分 杨 １３ ， 贵 教 主
析 及其 应 用研 究 ． Ｅｍａｌ￣ ａｇ ９ ７ ｙｎ ｏ ．ｏ ．ｎ ｉ ｙ ｎ １３ ＠ ａ ｈ ｏ ｃｒ ｃ． ： ｎ
已关 闭 （ 开启 ） 下一 步该 研究 人员 要 去 的房间 ， ； 在上
一
“ 电路 网络 经一 次 改 变 状 态 ” 选 定一 个 房 间让 ： 该 房 间及 与之关 联 的房 间 的装置 改变 开 、 状态 ， 关 与
之不关 联 的房 间装置 √
结 为 证 明 二 元 域 Ｚ 上 一 个 特 殊 的 线 性 方 程 组 是 否 有 解 的问 题 ． 于二 元 域 ２ 基 的运 算 性 质 及 此 域 上 线 性 方 程 组 的 理 论 ， 严 格 证 明 上述 线 性 方 程 组 解 的存 在性 。 而 可 证 明 基 本 问 题 存 在 肯 定 性 解 答 ． 可 进 关 键 词 有 限 网 络 ； 向 图 ； 接 矩 阵 ； 元 域 上 的 线 性 方 程 组 无 邻 二
装置 改变 状态 ， 这样 经过 三 次适 当操 作之后 ， 所有 房
间装置 的状 态从 开 始时 的全 部关 闭变 为全部 打开 ．
当研究 人员 要去 某个 房 间工 作 时 ， 要 改 变 有关 房 需
间某种 装置 的开 或关 的状 态 ． 这里 假设 ， 房 间的这 各
种 装置 已联 成特 定 的 电路 网 ， 究 人 员 可 在 任一 个 研 房 间中打 开 或 关 闭 与 之 相 关 联 房 间 中该 装 置 的 电 源． 用一个 最 简单 的例子 说 明如 下 ． 先
第 １ ４卷 第 ４期 ２ １ 年 ７月 ０１
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵＤＩ Ｎ ０ＬＬ ＥＳ Ｉ Ｃ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ１ ４， ．１ Ｎｏ． ４
Ｊ １ ，２ １ ｕ． ０ １
有 限 网络 的 一 个 性 质
杨 尚俊 ，章 权 兵 ，李 红 粉 ，王 刚 ，张 洋
例 １ 设 某 试 验 室 共拥 有 ５个 房 间 ， 次编 号 依
为 １ ２ ３ ４ ５ 各房 间 以特 定 装 置相 联 系 （ １ ： ，， ，，． 图 ） 房 间 １ 与房 间 ２和 ５ 系 ； 间 ２仅 与房 间 １ ３ ５ 仅 联 房 、和 联 系 ； 间 ３ 与房 间 ２ ４ 系 ； 间 ４ 与房 间 ３ 房 仅 和 联 房 仅
基 本 问题 对 装 置 的任 意 电路 网络是 否 总能
经 有 限 次 改 变 状 态 后 ， 全 ０状 态 变 为 全 １ 态 ？ 从 状
基 金 项 目 ； 徽大 学 国家 大 学 生 创 新 实 验 计 划 项 目 （０ ０ ５ ０ ） 安 安 １１３７１ ；
这 里装 置 电路 网络 （ 今后 简 称 为“ 网络 ” ）的“ 任
圈 １ 例 ｌ用 图
针 对 上述 现象 ， 人 自然会 问 ： 有 这个现 象是这 个
特殊 的 电路 网络特 有 的 偶 然 现 象 呢 ， 是任 何 电路 还
网络都 具 有 的普 遍 性质 ？ 为 了表述方 便 起见 ， 们使 用下 列术语 ． 我
打开 房 间 ５ 与房 间 ５ 和 关联 的房 间 １ ２和 ４的装置 ． 、 注意 ： １中有 （ ）阴影 的 房 间表 示 其 中装 置 图 无