高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第五节 空间向量及其运算和空间位置关系实用课件 理

得―O→P －―O→A ＝2(―O→B －―O→P )＋3(―O→C －―O→P )，
即―A→P ＝2―P→B ＋3―P→C ，
故―A→P ，―P→B ，―P→C 共面，又它们有公共点P，
12/13/2021
因此，P，A，B，C四点共面，故选B.
答案：B
第二十一页，共四十六页。
4. [考点三] 在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝ 3 ，
答案：2
12/13/2021
第九页，共四十六页。
(3)已知 a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，若 c＝3a ＋2b ，则 c ＝________. 答案：(4,5,5) (4)已知 a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则 a ，b 夹角的余弦值为 ________． 解析：cos〈a ，b 〉＝|aa|··b|b|＝－2155. 答案：－2155
第五页，共四十六页。
2.两个向量的数量积 (1)非零向量 a ，b 的数量积 a ·b ＝|a ||b |cos〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c)＝a ·b ＋a ·c.
12/13/2021
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
12/13/2021
第十四页，共四十六页。
[方法技巧]
1．证明空间三点P，A，B共线的方法 (1) ―PA→＝λ―P→B (λ∈R )； (2)对空间任一点O， ―O→P ＝―O→A ＋t―A→B (t∈R )； (3)对空间任一点O，―O→P ＝x―O→A ＋y―O→B (x＋y＝1)． 2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法 (1) ―M→P ＝x―M→A ＋y―M→B ； (2)对空间任一点O，―O→P ＝―OM→＋x―M→A ＋y―M→B ； (3)对空间任一点O，―O→P ＝x―OM→＋y―O→A ＋z―O→B (x＋y＋z＝1)； (4) ―PM→∥―A→B (或―PA→∥―M→B 或―P→B ∥―AM→)．
＝―E→B ＋―B→F ＋―EH→＝―E→F ＋―EH→，
12/13/2021
由共面向量定理知：E，F，G，H四点共面．
第十三页，共四十六页。
(2)因为
―→ EH
＝
―→ AH
－
―→ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱE
＝
1 2
―→ AD
－
1 2
―→ AB
＝
1 2
(
―→ AD
－
―A→B )＝12―B→D ，
因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.
λ＝2， 解得μ＝12
λ＝－3， 或μ＝12.
答案：A 12/13/2021
第二十页，共四十六页。
3.
[考点二]
对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6
―→ OP
＝―O→A ＋2―O→B ＋3―O→C ，则
()
A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 解析：由6―O→P ＝―O→A ＋2―O→B ＋3―O→C ，
第十九页，共四十六页。
答案：B
2. [考点二] 已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ
与μ的值可以是
()
A．2，12
B．－13，12
C．－3,2
D．2,2
解析：∵a ∥b ，∴b ＝ka ，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，
∴62＝μ－k1λ＝＋01，， 2λ＝2k，
第五节
空间 向量及其运 (kōngjiān)
算
本节主要包括 2 个和知识空点：间位置关系
1.空间向量及其运算；
2.利用空间向量证明平行与垂直问题.
第一页，共四十六页。
突破点(一) 空间(kōngjiān)向量及其运算
0213 突破点(二) 利用空间(kōngjiān)向量证明平行与垂直问 题 课时达标(dá biāo)检测
D.23a ＋23b －12c
解析：如图所示，―M→N ＝―M→A ＋―A→B ＋―B→N
＝13―O→A ＋(―O→B －―O→A )＋12―B→C
＝―O→B －23―O→A ＋12(―O→C －―O→B )
1＝2/13－/202231―O→A ＋12―O→B ＋12―O→C ＝－23a ＋12b ＋12c.
则|a |＝|b |＝|c|＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c〉＝〈c，a 〉＝60°，
∴a ·b ＝b ·c＝c·a ＝12.
|
―→ AC1
|2＝(a
＋b
＋c)2＝a
2＋b
2＋c2＋2(a
·b
＋b
·c＋c·a
)＝1＋1＋1
＋2×12/1213＋/202112＋12＝6，∴|―AC→1 |＝ 6， 即AC1的长为 6.
12/13/2021
第十七页，共四十六页。
[方法技巧]
空间向量数量积的三个应用
求夹角 设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|aa|·|bb|，进 而可求两异面直线所成的角
求长度 运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问 (距离) 题转化为向量数量积的计算问题
解决垂 利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直 直问题 问题转化为向量数量积的计算问题
共面向量 若两个向量 a 、b 不共线，则向量 p 与向量 定理 a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)， 使 p＝ xa ＋yb
空间向量 如果三个向量 a 、b 、c 不共面，那么对空
基本定理
间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z} 使得 p＝ xa ＋yb ＋zc
12/13/2021
12/13/2021
第十页，共四十六页。
讲练区 研透高(考wán(ɡāo kǎo)· 完成 chéng) 情况
[全析考法]
空间向量的线性运算
[例1] 在三棱锥O -ABC中，M，N分别是
OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量
―O→A ，
―O→B ，
―O→C 表示―O→G ，
―→ MG .
[解] ―O→G ＝―O→A ＋―A→G ＝―O→A ＋23―A→N
第七页，共四十六页。
[基本能力]
1．判断题
(1)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有―A→B ＋―B→C ＋―C→D ＋
―D→A ＝0.
( √)
(2)|a |－|b |＝|a ＋b |是 a ，b 共线的充要条件．
(× )
(3)空间中任意两非零向量 a ，b 共面．
(√ )
(4)在向量的数量积运算中(a ·b )·c＝a ·(b ·c)．
⊥1―2A/13M→/202，1 即 AM⊥PM.
答案：C
第二十二页，共四十六页。
5.[考点三]如图，在大小为45°的二面角
A-EF-D中，四边形ABFE，四边形CDEF
都是边长为1的正方形，则B，D两点间的
距离是
()
A. 3
B. 2
C．1
D. 3－ 2
解析：∵―B→D ＝―B→F ＋―F→E ＋―E→D ，∴|―B→D |2＝|―B→F |2＋|―F→E |2
第六页，共四十六页。
3．空间向量的运算及其坐标表示
设 a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).
数量积
向量表示 a ·b
坐标表示 _a_1_b_1_＋__a_2_b_2＋__a__3b__3 __
共线 a ＝λb (b ≠0)
a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3
AD＝2 2 ，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的
位置关系为
()
A．平行
B．异面
C．垂直
D．以上都不对
解析：建立如图所示空间直角坐标系可得
D(0,0,0)，P(0,1， 3)，C(0,2,0)，A(2 2，0,0)，
M( 2，2,0)．∴―PM→＝( 2，1，－ 3)， ―AM→＝
(－ 2，2,0)．∴―PM→·―AM→＝( 2，1，－ 3)·－ 2，2，0＝0.∴―PM→
12/13/2021
第十二页，共四十六页。
共线、共面向量定理的应用
[例2] 已知E，F，G，H分别是空间四
边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
用向量方法求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH. [证明] (1)如图，连接BG，则―E→G ＝
―E→B ＋―B→G ＝―E→B ＋12(―B→C ＋―B→D )
12/13/2021
第十五页，共四十六页。
空间向量数量积的应用
[例3] 如图所示，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面为平行 四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD. [解] (1)记―A→B ＝a ，―A→D ＝b ，―AA→1 ＝c，
＋|―E→D |2＋2―B→F ·―F→E ＋2―F→E ·―E→D ＋2―B→F ·―E→D ＝1＋1＋1－ 2
＝3－ 2，故|―B→D |＝ 3－ 2.
答案：D 12/13/2021
第二十三页，共四十六页。
02 突破点(二) 利用空间向量证明平行与垂直(chuízhí)问题
12/13/2021
第十八页，共四十六页。
[全练题点]
1.[考点一已] 知空间四边形 OABC 中，―O→A ＝a ，―O→B ＝b ，―O→C ＝c，
点 M 在 OA 上，且 OM＝2MA，N 为 BC 中点，则―M→N ＝ ( )
A.12a －23b ＋12c
B．－23a ＋12b ＋12c
C.12a ＋12b －12c
第十六页，共四十六页。
(2)证明：∵―AC→1 ＝a ＋b ＋c，―B→D ＝b －a ， ∴―AC→1 ·―B→D ＝(a ＋b ＋c)·(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c－|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c－a ·c ＝|b ||c|cos 60°－|a ||c|cos 60°＝0. ∴―AC→1 ⊥―B→D ，∴AC1⊥BD.
(× )
(5)对于非零向量 b ，由 a ·b ＝b ·c，则 a ＝c.
(× )
(6)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．
12/13/2021
(× )
第八页，共四十六页。
2．填空题 (1)已知正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心，若―A→E ＝―AA→1 ＋x―A→B ＋y―A→D ，则 x，y 的值分别 为________． 答案：12，12 (2)已知 a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x)，且 a ⊥b ，则 x＝________.
＝―O→A ＋23(―O→N －―O→A )＝―O→A ＋2312
―O→B ＋―O→C －―O→A
＝13―O→A ＋13―O→B ＋13―O→C ，―M→G ＝―O→G －―OM→＝―O→G －12―O→A ＝131―2O/1→3A/20＋21 13―O→B ＋13―O→C －12―O→A ＝－16―O→A ＋13―O→B ＋13―O→C .
第二页，共四十六页。
01 突破点(一) 空间(kōngjiān)向量及其运算
12/13/2021
第三页，共四十六页。
抓牢双(w基án ·自学(zìxué)区 完成 chéng) 情况
[基本知识]
1．空间向量及其有关概念
(1)空间向量的有关概念
在空间中，具有_大__小__和__方__向_的量叫做空间 空间向量
向量
相等向量 方向_相__同__且模_相 __等__的向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相 共线向量
平__行__或__重__合___的向量
共面向量 _平__行__于__同__一__个__平__面_的向量
12/13/2021
第四页，共四十六页。
(2)空间向量中的有关定理
共线向量 对空间任意两个向量 a ，b (b ≠0)，a ∥b ⇔ 定理 存在唯一一个 λ∈R ，使 a ＝ λb
垂直
a ·b ＝0(a ≠0， b ≠0)
_a_1_b_1_＋__a_2_b_2_＋__a_3_b_3＝__0__
模
|a |
__a_21_＋__a_22＋__a_23__
〈a ，b 〉(a ≠0， 夹角
12/13/2021
b ≠0)
cos〈a ，b 〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b32
第十一页，共四十六页。
[方法技巧]
用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形， 以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意 义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始 点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然 成立．