2019年数学人教A必修二新一线应用案巩固提升：4.1 4.1.1 圆的标准方程 Word版含解析

[学生用书P137(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知点A (3，－2)，B (－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100
解析：选B ．由题意得圆心的坐标为(－1，1)，半径r ＝|AB |＝ ＝5，
121
2（3＋5）2＋（－2－4）2所以圆的方程是(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.故选B ．
2．给定圆的方程：(x －2)2＋(y ＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为( )A ．4x －y ＝0B ．4x ＋y ＝0C ．x －4y ＝0
D ．x ＋4y ＝0
解析：选B ．由圆的标准方程，知圆心为(2，－8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y ＝－4x ，即4x ＋y ＝0.
3．(2019·武汉检测)方程(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)表示的圆( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x －y ＝0对称D ．关于直线x ＋y ＝0对称
解析：选D ．易得圆心C (－a ，a )，即圆心在直线y ＝－x 上，所以该圆关于直线x ＋y ＝0对称，故选D ．
4．若点A (a ＋1，3)在圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，5)C ．(0，5)
D ．[0，5]
解析：选C ．由题意，得(a ＋1－a )2＋(3－1)2>m ，即m <5，又易知m >0，所以0<m <5，故选C ．
5．圆心在x 轴上，半径为1，且过点(2，1)的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －2)2＝1
解析：选A ．设圆的圆心为(a ，0)，则＝1，解得a ＝2，所以圆的标
（a －2）2＋（0－1）2
准方程是(x －2)2＋y 2＝1.故选A ．
6．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________．
解析：圆心(－2，0)关于原点的对称点为(2，0)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.答案：(x －2)2＋y 2＝5
7．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________．解析：圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为＝
|1－1－2|
1＋1，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋.22答案：1＋2
8．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是__________．
解析：如图所示，满足条件的直线l ，应介于l 1和l 2之间，其斜率范围是[0，2]．
答案：[0，2]
9．已知圆过点A (1，－2)，B (－1，4)．(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．
解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB 的中点(0，1)，半径r ＝|AB |＝.
1
210则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.
(2)法一：直线AB 的斜率k ＝＝－3，
4－（－2）
－1－1则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝x ，
1
3即x －3y ＋3＝0.由
得
{
x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0){x ＝3，
y ＝2，
)
即圆心的坐标是C (3，2)．
所以r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.所以所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，
则⇒{
（1－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，（－1－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，2a －b －4＝0){a ＝3，b ＝2，
r 2＝20.
)
所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.
10．平面直角坐标系中有A (0，1)，B (2，1)，C (3，4)，D (－1，2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
解：能．设过A (0，1)，B (2，1)，C (3，4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.
将A ，B ，C 三点的坐标分别代入得
解得{
a 2＋（1－
b ）2＝r 2，
（2－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，){a ＝1，
b ＝3，r ＝5.)
所以圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.将D (－1，2)的坐标代入上式圆的方程，得(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，即D 点坐标适合此圆的方程．故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上．
[B 能力提升]
11．方程|x |－1＝所表示的曲线是( )1－（y －1）2A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆
D ．两个半圆
解析：选D ．由题意，得
{
（|x |－1）2＋（y －1）2＝1，
|x |－1≥0，
)即或
{
（x －1）2＋（y －1）2＝1，
x ≥1){
（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1.
)
故原方程表示两个半圆．
12．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：设P (x ，y )，且点P 在圆(x ＋5)2＋(y －12)2＝142上，则圆心C (－5，12)，r ＝14，x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2＝|OP |2.又|OP |的最小值是r －|OC |＝14－13＝1，所以x 2＋y 2的最小值为1.
答案：1
13．已知圆C 的圆心坐标为C (x 0，x 0)，且过定点P (4，2)．(1)求圆C 的方程；
(2)当x 0为何值时，圆C 的面积最小，并求出此时圆C 的标准方程．解：(1)由题意，设圆C 的方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝r 2(r ≠0)．因为圆C 过定点P (4，2)，所以(4－x 0)2＋(2－x 0)2＝r 2(r ≠0)．
20
所以r2＝2x－12x0＋20.
20
所以圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.
20
(2)因为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20
＝2(x0－3)2＋2，
所以当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．
此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.
14．(选做题)已知平面上两点A(－2，0)，B(2，0)，在圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4上取一点P，求使|PA|2＋|PB|2取得最小值时点P的坐标，取得最大值时点P的坐标，并求出最大、最小值．
解：设圆C上点P(x，y)，
则|PA|2＋|PB|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2x2＋2y2＋8＝2(x2＋y2)＋8，x2＋y2表示圆(x－1)2＋(y＋1)2＝4上的点P到原点距离的平方．因为(0－1)2＋(0＋1)2＝2<4，
所以原点在圆C内部．
（0－1）2＋（0＋1）22所以圆(x－1)2＋(y＋1)2＝4上的点到原点的最大距离为2＋＝2＋，最小距离为2－.2
过原点与圆心的直线方程为y＝－x，
代入圆的方程得(x－1)2＋(－x＋1)2＝4，
2
解得x＝±＋1，
22
故圆上使|PA|2＋|PB|2取得最大值的点P的坐标为(＋1，－－1)，此时最大值为20＋8 2
；
222使|PA|2＋|PB|2取得最小值的点P的坐标为(－＋1，－1)，此时最小值为20－8.。