2019-2020学年数学人教A版选修1-1作业与测评：2.3.1 抛物线及其标准方程

2．3　抛物线
课时作业18
　抛物线及其标准方程
知识点一 抛物线的定义
1.已知动点M 的坐标满足方程5＝|3x ＋4y －12|，则动点x 2＋y 2M 的轨迹是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
答案　C
解析　方程5＝|3x ＋4y －12|可化为
x 2＋y 2＝
，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直x 2＋y 2|3x ＋4y －12|
5线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M 的轨迹是抛物线．故选C.
2．给出下列命题：
①到定点F (－1,0)的距离和定直线x ＝1的距离相等的动点P 的轨迹为抛物线；
②到定点F (2,1)的距离和到定直线3x －2y －4＝0的距离相等的动点P 的轨迹为抛物线；
③抛物线的焦点一定在y 轴上．
其中假命题是________(填序号)．
答案　②③
解析　由抛物线的定义，知命题①为真命题；因为定点F (2,1)在定直线3x －2y －4＝0上，可知动点P 的轨迹为一条直线，所以命题②为假命题；因为抛物线的焦点可以随建立坐标系的方式不同而不同，因此可以在x 轴上，所以命题③为假命题．
3．平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程．
解　解法一：设点P 的坐标为(x ，y )，
则＝|x |＋1.
(x －1)2＋y 2两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |，
所以y 2＝Error!
于是动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．
解法二：由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，所以当x <0时，射线y ＝0上的点满足题意；
当x ≥0时，已知条件等价于点P 到点F (1,0)的距离与到其直线x ＝－1的距离相等，所以点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .
于是动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．
知识点二 抛物线的标准方程
4.抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是________，准线方程为________．
答案 y ＝－(0，18)18
解析　抛物线方程即x 2＝y ，可知焦点在y 轴上，且＝，所以12p 21
8焦点坐标是，准线方程为y ＝－.(0，18)
185．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y ＝－1；
(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.
解　(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .
p
2(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为，准线为x ＝－，
(p 2，0)p
2则焦点到准线的距离是p ＝3，
因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x
.
一、选择题
1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )
A.y 2＝－4x
B.x 2＝4y
C.y 2＝－4x 或x 2＝4y
D.y 2＝4x 或x 2＝－4y
答案　C
解析　设抛物线方程为y 2＝－2p 1x 或x 2＝2p 2y ，把(－4,4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2.
故抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故选C.
2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )
A. B.112
C.2
D.4答案　C
解析　由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－.
p 2由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16.
∵准线与圆相切，∴3＋＝4，∴p ＝2.故选C.
p 23．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝(k >0)与C 交于点k x P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )
A. B.112
C. D.232
答案　D
解析　易知抛物线的焦点为F (1,0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2，(－2舍去)，把P (1,2)代入曲线y ＝(k >0)得k ＝2.故选D.
k x 4．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.y 2＝8x
B.y 2＝－8x
C.y 2＝4x
D.y 2＝－4x
答案　A
解析　设动圆的半径为r ，圆心为O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义，动圆圆心的轨迹方程为y 2＝8x .故选A.
5．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝x 0，则x 0等于( )
54A.4
B.2
C.1
D.8答案　
C 解析　如图，F ，
(14，0)过A 作AA ′⊥准线l ，
∴|AF |＝|AA ′|，
∴x 0＝x 0＋＝x 0＋，
54p 214∴x 0＝1.故选C.
二、填空题
6．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．
答案　9
解析　由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9.
7．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__________．
答案　x ＝－54
解析　OA 的垂直平分线方程为y ＝－2x ＋，
52令y ＝0，得x ＝，
54∴焦点F 的坐标为.
(54，0)∴抛物线方程为y 2＝5x ，其准线方程为x ＝－.
548．下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.
答案　26
解析　以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为2 m.
6三、解答题
9．设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程．
解　当m >0时，准线方程为x ＝－，
m
4由条件知1－＝3，所以m ＝8.(－m 4)
此时抛物线方程为y 2＝8x ；
当m <0时，准线方程为x ＝－，
m
4由条件知－－1＝3，
m
4所以m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .
所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .
10．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．
(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值；
(2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．
解　(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
22＋125如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝.
12
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，
12
因为＞2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)，
由抛物线的定义，知
|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.。