河南省郑州市2022届高三数学毕业班第三次质量预测试题三模理

河南省郑州市2022届高三数学毕业班第三次质量预测试题（三模）理
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
4．设函数则（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是（ ）
①等边三角形②直角梯形③菱形④五边形
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
7．在中，是上一点，，是线段上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
8．位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即）约为79.5°，圭面上冬至
线与夏至线之间的距离（即的长）为14米，则表高（即的长）约为（ ）（其中，
）
A．9.27米B．9.33米C．9.45米D．9.51米
9．已知函数的一条对称轴方程为，把函数的图象上所有的点向左平移
个单位，可得到函数的图象，若函数为奇函数，则的值为（ ）A．B．C．D．
10．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（ ）
A．6B．9C．12D．15
11．如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，当的外接圆面积最小时，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．已知，，，则它们的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设变量，满足约束条件则的最大值为______．
14．函数的图象在处切线的倾斜角为______．
15．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______．
16．在中，角，，所对的边分别为，，．若，
，则面积的最小值是______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分
17．（12分）
已知数列的前项和为，．
（Ⅰ）证明数列为等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
18．（12分）
如图，四棱锥中，平面，底面为菱形，，，是
上一点，．
（Ⅰ）若平面，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，求二面角的正弦值．
19．（12分）
据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到
优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．
（Ⅰ）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
（Ⅱ）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．
20．（12分）
设、分别为椭圆的左右顶点，设是椭圆下顶点，直线与
斜率之积为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若一动圆的圆心在椭圆上运动，半径为．过原点作动圆的两条切线，分别交椭圆于、
两点，试证明为定值．
21．（12分）
设函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若存在两个极值点，，证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的方程为．为曲线上一动点，且，点的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，点为曲线上一动点，求的最大值．
23．[选修：不等式选讲]（10分）已知函数
．
（Ⅰ）若，求不等式的解集；
（Ⅱ）若时，函数的图象与直线所围成图形的面积为，求实数的值．
郑州市2022年高中毕业年级第三次质量预测
数学（理科） 评分参考
一、选择题
二、填空题
13. 12 14.3π
4 15.540 16.3√3
三、解答题：17.（12分）
解：（1）当
n =1时
，
a 1−1
2S 1=2
，
解得
a 1=4
--------------------------------------------------------------------------1分
当n
≥2时，由a n −1
2S n =2n
--------------------------------------------------------①
得a n −1−1
2S n −1=2n −1
--------------------------------------------------②
①－②得，
a n −a n −1−
1
2(S n −S n −1)=2n −2n −1，
即1
2a n −a n −1=2n −1
------------------------------------------------------------------------------------------4分
当n ≥2时，a n 2n −a n −12n −1=a n 2n −1
2a n −2n −1
2n −1=1，
数列
{a n 2n
}
是以
2为
首项，
1为
公差的等差数
列.-----------------------------------------------------------------------------6分
（2）由（1）可知a n
2
n
=2+(n −1)1=n +1
，a n =(n +1)⋅2n
，
S n =n ⋅2n +1-----------------------------------------------------------------------------------------7分T n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯⋯+(n −1)⋅2n +n ⋅2n +1，
2T n =
1⋅23+2⋅24+3⋅25+⋯⋯+(n −1)⋅2
n +1
+n ⋅2
n +2
，
−T n =22
+23
+24
+⋯⋯+2
n +1
−n ⋅2
n +2
，
−T n =
22−2⋅2
n +1
1−2
−n ⋅2n +2=2n +2−4−n ⋅2n +2
，
T n =(n −1)⋅2n +2+4----------------------------------------------------------------------------------------------12分
18.（12分）解：（1）连接
AC ，BD 相交于点O ，连接OE ，
∵
PB ⊥¿¿平面ACE ， ∴PB ⊥OE ---------------------------------------------------------------2分
又PD⊥¿¿平面ABCD，∴PD⊥BD，即∠PDB=900，
PB=2√3.
在Rt△PDB中，cos∠PBD=
BD
PB
=
√6
3，
在Rt△BEO中,cos∠EBO=cos∠PBD=
BE
OB
BE
√=
√6
3，
BE=
2√3
3，
∴PE=4√3
3,即⃗P E=2⃗E B，故λ=2---------------------------------------------------------------------6分
（2）连接AC，BD相交于点O，则OC⊥OB，
过O作OF//PD交PB于点F，∵PD⊥¿¿平面ABCD，∴OF⊥¿¿平面ABCD.即OB，OC，OF两两垂直.
以O为坐标原点，⃗O B
的方向为x轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系
O−xyz，
由题意可知，
OA=OC=√6，OB=√2，
P(−√2,0,2)，B(√2,0,0)，C(0,√6,0)，D(−√2,0,0) ---------------------------------------------------------8分
又⃗P B=(2√2，0，−2)
，
⃗P C=(√2，√6，−2)
，设平面PBC的法向量为
⃗n
1
=(x1,y1,z1)
，
即即令x
1
=1
，得
⃗n1=(1,√33,√2)，
又⃗P D=(0，0，−2)
,设平面PCD的法向量为
⃗n
2
=(x2,y2,z2)
，
即令
y
2
=1
，得
⃗n2=(−√3,1,0).
设二面角B−PC−D的平面角为θ，
则
|cosθ|=|
⃗n
1
⋅⃗n
2
|⃗n1||⃗n2|
|=|
2√3
√103⋅2=√1010---------------------------------------------------------11分
所以
sinθ=
3√10
10，即二面角B−PC−D的正弦值为
3√10
10----------------------------------12分19.（12分）
解：（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，
则；-------------------------------------------------------------3分
该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则.---6分（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为，
根据题意可知，则，
该同学报考乙大学科目优秀的个数设为，随机变量
的可能
取值为：0
，1，2，3.
，
，
，
随机变量的分布
列：
012
3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------10
分
，
因为该考生更希望进入甲大学的面试，∴，则
17+30n
30
<1
.
所以的范围为：
0<n<
13
30--------------------------------------------------------------12分
20.（12分）
解：（1）由题意可知，b=1，
A(−a,0)，B(a,0)，由k MA⋅k MB=−
1
4可得：
1
−a
⋅
1
a
=−
1
4，
即a
2=4
，又a>0，所以a=2.
椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1
----------------------------------------------------------------------4分
（2）当直线OE的斜率为0，直线OF的斜率不存在时，
|OE|2+|OF|2=5 --------------------------------5分
当直线OE的斜率存在且斜率不为0时，设直线OE的方程为
y=k
1
x
，直线OF的方程为
y=k
2
x
，
设点E (x1,y1)
，F
(x2,y2)
，则
有
(4k2+1)x2−4=0.可得：
x
1
2
=
4
4k
12
+1
，
x
2
2
=
4
4k
22
+1
，
设点
Q坐标为(x0,y0)，即
x
02
4
+y
2
=1
.
又圆
Q与直线OE、OF相切，即
|kx
−y
|
√k+1
2√5
5
，
整理得：
(x02−45)k2−2x0y0k+y02−45=0
.
k
1
⋅k
2
=
y
2
−
4
5
x
2
−
4
5
=
−
1
4
x
2
+
1
5
x
2
−
4
5
=−
1
4
---------------------------------------------------9分
综上：
|OE|2
+|OF|2
为定值5.------------------------------------------------------------------------12分
21.（12分）
解：（1）
f(x)的定义域为(0，+∞)，f
'(x)=2x−1+a
x
=
2x2−x+a
x，令2x2−x+a=0，
当Δ=1−8a≤0时，即a≥1
8时，f(x)在(0，+∞)上递增，----------------------------2分
当Δ=1−8a>0时，即0<a<
1
8时，2x2−x+a=0，
解得x
1，2
=
1±√1−8a
4，f(x)在
(1−√1−8a
4
,
1+√1+8a
4
)
上单调递减，
在(0，1−√1−8a
4
)
，
(1+√1−8a
4
，+∞)上单调递增-------------------------------5分
（2）由（1）可知，f(x)存在两个极值点x1，x2，即0<a<
1
8，
x
1，x
2为方程2x2−x+a=0的两个不等正实根，
x 1+x
2
=
1
2，
x
1
x
2
=
a
2
.
要证
成立，只需证
即证，即证，即证，
设x
1
>x
2
>0
，即证---------------------------------------------------9分
令t=
x
1
x
2
>1
，即证，
设，，
h(t)在(1，+∞)上递增，h(t)>h(1)=0，所以成立，
即----------------------------------------------------------------12分
（二）选考题：共10
分.请考生在
22
、
23
题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
解：（1）由题意可知：曲线C
1的方程为：
x2+(y−1)2=1
，
曲线C
1的极坐标方程为
ρ=2sinθ
------------------------------------------------------------------2分
设点P的极坐标为(ρ0,θ0)
，则
ρ
o
=2sinθ
0，
点Q的极坐标为(ρ,θ)，由⃗O Q=2⃗O P得
所以点Q
轨迹曲线
C
2的极坐标方程为
ρ=4sinθ
---------------------------------------------------5分
（2）曲线C3直角坐标方程为x2
2
+y2=1
，设点M(√2cosϕ,sinϕ)，
曲线C
2的直角坐标方程为
x2+(y−2)2=4
，设圆心为
N(0,2)
，
|MN|=√(√2cosϕ)2+(sinϕ−2)2=√−sin2ϕ−4sinϕ+6，
当
sinϕ=−1时，|MN|max=3，所以|MQ|max=3+2=5-----------------------------------10分
23.[选修4−5
：不等式选讲]（10分）
解：（1）当a=2
时，
或或
即x∈∅或3
8
≤x≤
2
3或
x>
2
3，
所以原不等式的解集为{x|x≥38}
-------------------------------------------------------------5分
（2）
f(x)的图象如图所示，
A(12,a)，B(a3,a3+1)，C(2a−14,a)，
所以△ABC的面积为S=
1
2(a−
a
3
−1)(2a−14−12)=12(13a2−a+34)=124.
解得：a=2---------------------------------------------------------------------------10分。