内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学选修2-1课件：3.2立体几何中的向量方法(1)
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3.2 立体几何中的向量方法(1)
----直线的方向向量与平面的法向量
第一页，编辑于星期日：六点 三十六分。
立体几何中的向量方法(一)
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从这节开始,我们将进一步来体会向量这一工具 在立体几何中的应用.
第十三页，编辑于星期日：0
即
解得zx
2 0
y
取y=1,则x=2
x 2y 4z 0 2x 4 y 3z 0
所以，平面的一个法向量是 n (2,1, 0)
第十页，编辑于星期日：六点 三十六分。
练习：
在空间直角坐标系中，已知 A（3，0，0），B(0,4,0)，C(0,0,2)， 求平面ABC的一个法向量。
第四页，编辑于星期日：六点 三十六分。
例1：已知两点A（1，- 2，3），B（2，1，- 3），求A，B连线与 三坐标平面的交点。
分析： 设AB连线与yoz平面的交点为C（0，y1，z1），
由OC （1 t）OA tOB得
（0，y1，z1）（1 t）(1, -2,3) t(2,1, -3) （0，y1，z1） (1 t，- 2 3t，3 - 6t）
OP x a y b
这样，点O与向量a,b 不仅可以确定平面α的位
b O
P
置，还可以具体表示出α
a
内的任意一点。
这种表示在解决几何问题时能起到非常重要的作用。
第六页，编辑于星期日：六点 三十六分。
⑶平面
空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定。
如图，设这两条直线相交于O点，它们的方向向量分 别为a,b,点P为平面α上任意一点。
第二页，编辑于星期日：六点 三十六分。
问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的 位置？
⑴点 在空间中，我们取一定点 O 作为基点，
那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向 量.
P
O
第三页，编辑于星期日：六点 三十六分。
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
OC （0， 5，9）
同理可得
5 ,0,1, 7 , 1 ,0 3 4 4
第五页，编辑于星期日：六点 三十六分。
⑶平面
空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定。
如图，设这两条直线相交于O点，它们的方向向量分别为
a,b,点P为平面α上任意一点。
由平面向量基本定理可知， 存在有序实数对(x,y),使得
第九页，编辑于星期日：六点 三十六分。
问题:如何求平面的法向量?
⑴设平面的一个法向量为 n ( x, y, z) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量，
⑶根据法向量的定义建立方程组
并求其坐标： a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
n a 0 n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
第十一页，编辑于星期日：六点 三十六分。
思例考2：：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的
单位法向量。
1 , 2 , 2 或 - 1 , 2 ,- 2 3 3 3 3 3 3
第十二页，编辑于星期日：六点 三十六分。
小结
直线的方向向量和平面 的法向量是用空间向量解决 立体几何问题的两个重要工 具,是实现空间问题的向量 方法的媒介.
例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),试求平面 的一
个法向量.
解：设平面的一个法向量 n x, y, z.
∵ A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)
∴ AB (1, 2, 4), AC (2, 4, 3)
依题意,有
n
AB
nm 0
第八页，编辑于星期日：六点 三十六分。
问题:如何求平面的法向量?
⑴设平面的一个法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量，
并求其坐标： a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立方程组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
记作 ⊥ n，如果 ⊥ ，n 那么 向 量 叫做n平
面 的法向量.
l
给定一点A和一个向量 n,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
n
唯一确定的.
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的法向量不唯一，但
所有的法向量都互相平行;
3是.向与量平面n是平平行面或的在法平向面量内，，向则量有
m
个定点 A 以及一个定方向确定.
P
点A是直线l上一点，向量 a 表示
直线的方向（方向向量）.在直线l
a
B
上取 AB a, 那么对于直线l上任意 一点P，一定存在实数t，使得：
A
O
AP t AB OP OA t AB
OP xOA y OBx y 1
这样，点A和向量 a 不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出 直线l上的任意一点.
由平面向量基本定理可知， 存在有序实数对(x,y),使得
OP x a y b
除此之外, 还可以用 垂直于平面的直线的方 向向量(这个平面的法向
量)表示空间中平面的位 置.
b O
a
P
第七页，编辑于星期日：六点 三十六分。
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在直
线垂直于平面 ， 则称这个向量垂直于平面 ,
----直线的方向向量与平面的法向量
第一页，编辑于星期日：六点 三十六分。
立体几何中的向量方法(一)
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从这节开始,我们将进一步来体会向量这一工具 在立体几何中的应用.
第十三页，编辑于星期日：0
即
解得zx
2 0
y
取y=1,则x=2
x 2y 4z 0 2x 4 y 3z 0
所以，平面的一个法向量是 n (2,1, 0)
第十页，编辑于星期日：六点 三十六分。
练习：
在空间直角坐标系中，已知 A（3，0，0），B(0,4,0)，C(0,0,2)， 求平面ABC的一个法向量。
第四页，编辑于星期日：六点 三十六分。
例1：已知两点A（1，- 2，3），B（2，1，- 3），求A，B连线与 三坐标平面的交点。
分析： 设AB连线与yoz平面的交点为C（0，y1，z1），
由OC （1 t）OA tOB得
（0，y1，z1）（1 t）(1, -2,3) t(2,1, -3) （0，y1，z1） (1 t，- 2 3t，3 - 6t）
OP x a y b
这样，点O与向量a,b 不仅可以确定平面α的位
b O
P
置，还可以具体表示出α
a
内的任意一点。
这种表示在解决几何问题时能起到非常重要的作用。
第六页，编辑于星期日：六点 三十六分。
⑶平面
空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定。
如图，设这两条直线相交于O点，它们的方向向量分 别为a,b,点P为平面α上任意一点。
第二页，编辑于星期日：六点 三十六分。
问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的 位置？
⑴点 在空间中，我们取一定点 O 作为基点，
那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向 量.
P
O
第三页，编辑于星期日：六点 三十六分。
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
OC （0， 5，9）
同理可得
5 ,0,1, 7 , 1 ,0 3 4 4
第五页，编辑于星期日：六点 三十六分。
⑶平面
空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定。
如图，设这两条直线相交于O点，它们的方向向量分别为
a,b,点P为平面α上任意一点。
由平面向量基本定理可知， 存在有序实数对(x,y),使得
第九页，编辑于星期日：六点 三十六分。
问题:如何求平面的法向量?
⑴设平面的一个法向量为 n ( x, y, z) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量，
⑶根据法向量的定义建立方程组
并求其坐标： a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
n a 0 n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
第十一页，编辑于星期日：六点 三十六分。
思例考2：：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的
单位法向量。
1 , 2 , 2 或 - 1 , 2 ,- 2 3 3 3 3 3 3
第十二页，编辑于星期日：六点 三十六分。
小结
直线的方向向量和平面 的法向量是用空间向量解决 立体几何问题的两个重要工 具,是实现空间问题的向量 方法的媒介.
例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),试求平面 的一
个法向量.
解：设平面的一个法向量 n x, y, z.
∵ A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)
∴ AB (1, 2, 4), AC (2, 4, 3)
依题意,有
n
AB
nm 0
第八页，编辑于星期日：六点 三十六分。
问题:如何求平面的法向量?
⑴设平面的一个法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量，
并求其坐标： a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立方程组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
记作 ⊥ n，如果 ⊥ ，n 那么 向 量 叫做n平
面 的法向量.
l
给定一点A和一个向量 n,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
n
唯一确定的.
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的法向量不唯一，但
所有的法向量都互相平行;
3是.向与量平面n是平平行面或的在法平向面量内，，向则量有
m
个定点 A 以及一个定方向确定.
P
点A是直线l上一点，向量 a 表示
直线的方向（方向向量）.在直线l
a
B
上取 AB a, 那么对于直线l上任意 一点P，一定存在实数t，使得：
A
O
AP t AB OP OA t AB
OP xOA y OBx y 1
这样，点A和向量 a 不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出 直线l上的任意一点.
由平面向量基本定理可知， 存在有序实数对(x,y),使得
OP x a y b
除此之外, 还可以用 垂直于平面的直线的方 向向量(这个平面的法向
量)表示空间中平面的位 置.
b O
a
P
第七页，编辑于星期日：六点 三十六分。
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在直
线垂直于平面 ， 则称这个向量垂直于平面 ,