2年中考1年模拟备战2018年中考数学 第四篇 图形的性质 专题18 等腰三角形与直角三角形(含解析)

第四篇图形的性质
专题18 等腰三角形与直角三角形
☞解读考点
知识点名师点晴
等腰三
角形
等腰三角形的性质理解等腰三角形的性质，并能解决等腰三角形的有关计算
等腰三角形的判定
掌握等腰三角形的判定方法，会证明一个三角形是等腰三角
形
等边三角形等边三角形的性质理解等边三角形的性质
等边三角形的判定
掌握等边三角形的判定方法，会证明一个三角形是等边三角
形
直角三角形直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质
直角三角形的判定
掌握直角三角形的判定方法，会证明一个三角形是直角三角
形
勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理
☞2年中考
【2017年题组】
一、选择题
1．（2017内蒙古包头市）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】A．
【解析】
试题分析：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故选A．
考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．
2．（2017天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）
A．BC B．CE C．AD D．AC
【答案】B．
【解析】
考点：1．轴对称﹣最短路线问题；2．等腰三角形的性质；3．最值问题．
3．（2017山东省淄博市）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）
A．5
2
B．
8
3
C．
10
3
D．
15
4
【答案】C．【解析】
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．等腰三角形的判定与性质；4．综合题．4．（2017湖北省武汉市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D．
【解析】
试题分析：如图：
故选D．
考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．分类讨论；3．综合题；4．操作型．
5．（2017湖北省荆州市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD 的度数为（）
A．30°B．45°C．50°D．75°
【答案】B．
【解析】
考点：1．等腰三角形的性质；2．线段垂直平分线的性质．
6．（2017湖北省鄂州市）如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】D．
【解析】
考点：1．平行线的性质；2．等腰三角形的性质．
7．（2017贵州省毕节市）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（）
A．△AEE′是等腰直角三角形B．AF垂直平分EE'
C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，∴AE′=AE，∠E′AE=90°，∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正确；
∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，∴∠E′AD=∠BAE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠E′AD+∠FAD=45°，∴∠E′AF=∠EAF，∵AE′=AE，∴AF垂直平分EE'，故B正确；
∵AF⊥E′E，∠ADF=90°，∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF，∴∠FE′E=∠DAF，∴△E′EC∽△AFD，故C 正确；
∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误；
故选D．
考点：1．旋转的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．等腰三角形的判定；4．等腰直角三角形；5．正方
形的性质；6．相似三角形的判定．
8．（2017辽宁省营口市）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）
A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30°D．AB=2CD
【答案】C．
【解析】
∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；
∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，∴AC2CD，∵AB=AC，∴AB2CD，故D正确，不符合题意．
故选C．
考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的性质．
9．（2017广西河池市）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF ⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（）
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】B．
【解析】
试题分析：设AD=x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG ⊥AB，∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，∴AF=2x，∴CF=12﹣2x，∴CE=2CF=24﹣4x，∴BE=12﹣CE=4x﹣12，∴
BD=2BE=8x﹣24，∵AD+BD=AB，∴x+8x﹣24=12，∴x=4，∴AD=4．故选B．
考点：1．等边三角形的性质；2．含30度角的直角三角形；3．动点型．
10．（2017广西玉林崇左市）如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（）
A．240°B．360°C．480°D．540°
【答案】C．
【解析】
考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等边三角形的性质；3．旋转的性质．
11．（2017天门）如图，P（m，m）是反比例函数
9
y
x
=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△
PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（）
A．9
2
B．33C．
93
4
+
D．
933
2
+
【答案】D．
【解析】
考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．等边三角形的性质．12．（2017内蒙古包头市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）
A．3
2
B．
4
3
C．
5
3
D．
8
5
【答案】A．【解析】
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．角平分线的性质；4．综合题．
13．（2017山东省泰安市）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）
A．18 B．109
5
C．
96
5
D．
25
3
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，∴MC=12﹣5=7．∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴
AB BM
MC CG
=，即
125
7CG
=，解得CG=
35
12
，∴DG=12﹣
35
12
=
109
12
．∵AE∥BC，∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴
MC CG
DE DG
=，即
35
712
109
12
DE
=，解得DE=
109
5
．故选B．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质．
14．（2017山东省聊城市）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 【答案】B ． 【解析】
考点：等腰直角三角形．
15．（2017江苏省无锡市）如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）
A ．2
B ．54
C ．53
D ．7
5
【答案】D ． 【解析】
试题分析：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．
在Rt △ABC 中，∵AC =4，AB =3，∴BC =2234+=5，∵CD =DB ，∴AD =DC =DB =52，∵12•BC •AH =1
2
•AB •AC ，∴AH =125，∵AE =AB ，DE =DB =DC ，∴AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形，∵12•AD •BO =12•BD •AH ，∴OB =125
，
∴BE =2OB =
245，在Rt △BCE 中，EC 22BC BE -2
2245()5-75
，故选D ．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．
16．（2017浙江省绍兴市）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A ．0.7米
B ．1.5米
C ．2.2米
D ．2.4米 【答案】C ． 【解析】
考点：勾股定理的应用．
17．（2017湖北省襄阳市）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若()2
21a b +=，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C ． 【解析】
试题分析：如图所示，∵()2
21a b +=，∴2
2
2a ab b ++=21，∵大正方形的面积为13，2ab =21﹣13=8，
∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选C ． 考点：勾股定理的证明．
18．（2017辽宁省大连市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD =DE =a ，则AB 的长为（ ）
A ．a 2
B ．a 22
C ． a 3
D ．a 3
3
4 【答案】B ． 【解析】
考点：直角三角形斜边上的中线．
19．（2017辽宁省营口市）如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】B ． 【解析】
考点：1．轴对称﹣最短路线问题；2．等腰直角三角形；3．最值问题．
20．（2017辽宁省葫芦岛市）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）
A．10
3
B．4 C．4.5 D．5
【答案】D．
【解析】
试题分析：设FC′=x，则FD=9﹣x，∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD=BC=6，C′D=3．在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5．故选D．
考点：1．矩形的性质；2．勾股定理．
21．（2017四川省雅安市）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积是（）
A．33
B．3 C．23D．4
【答案】A．
【解析】
考点：1．勾股定理；2．含30度角的直角三角形；3．解直角三角形．
二、填空题
22．（2017吉林省长春市）如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为．
【答案】10．
【解析】
考点：勾股定理的证明．
23．（2017吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为．
【答案】（﹣2，﹣3）．
【解析】
试题分析：如图，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得：B C=4．由∠BAC=90°，AB=AC，得AB=22，∠
ABD=45°，∴BD=AD=2，A（4，3），设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得：
21
32
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解
得：
1
1
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，AB的解析式为y=x﹣1，当y=1时，x=1，即P（1，0），由中点坐标公式，得
x A′=2x P﹣x A=2﹣4=﹣2，y A′=2y A′﹣y A=0﹣3=﹣3，A′（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．
考点：1．坐标与图形变化﹣旋转；2．等腰直角三角形．
24．（2017四川省乐山市）点A、B、C在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是．
【答案】35
5
．
【解析】
考点：勾股定理．
25．（2017山东省东营市）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．
【答案】25．
【解析】
考点：1．平面展开﹣最短路径问题；2．勾股定理的应用；3．压轴题；4．转化思想．
26．（2017山东省青岛市）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为度．
【答案】32．
【解析】
试题分析：∵∠ABC=∠ADC=90°，∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，∵∠BAD=58°，
∴∠DEB=116°，∵DE=BE=1
2
AC，∴∠EBD=∠EDB=32°，故答案为：32．
考点：直角三角形斜边上的中线．
27．（2017江苏省徐州市）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OA n的长度为．
【答案】2n．
【解析】
考点：1．等腰直角三角形；2．规律型；3．综合题．
28．（2017河南省）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=2+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为．
【答案】21
2
或1．
【解析】
试题分析：①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，∴BM=1
2
BC=
21
2
；
②如图2，当∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM2MB′，
∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B ′，∴BM =B ′M ，∴CM =2BM ，∵BC =2+1，∴
CM +BM =2BM +BM =2+1，∴BM =1，综上所述，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为
21
2
+或1，故答案为：
21
2
+或1．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．等腰直角三角形；3．分类讨论．
29．（2017湖北省武汉市）如图，在△ABC 中，AB =AC =23，∠BAC =120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE =60°．若
BD =2CE ，则DE 的长为 ．
【答案】333-． 【解析】
∵∠BAC =120°，∠DAE =60°，∴∠BAD +∠CAE =60°，∴∠FAE =∠FAC +∠CAE =∠BAD +∠CAE =60°． 在△ADE 和△AFE 中，∵AD =AF ，∠DAE =∠FAE =60°，AE =AE ，∴△ADE ≌△AFE （SAS ），∴DE =FE ． ∵BD =2CE ，BD =CF ，∠ACF =∠B =30°，∴设CE =2x ，则CM =x ，EM 3，FM =4x ﹣x =3x ，EF =ED =6﹣6x ．
在Rt △EFM 中，FE =6﹣6x ，FM =3x ，EM 3，∴EF 2=FM 2+EM 2，即222(66)(3)3)x x x -=+，解得：x 1=
33
2
，
x 2=
33
2
+（不合题意，舍去），∴DE =6﹣6x =333-．故答案为：333-．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．翻折变换（折叠问题）；4．旋转的性质． 30．（2017宁夏）在△ABC 中，AB =6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME =
1
3
DM ．当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 ．
【答案】8． 【解析】
考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．
31．（2017浙江省绍兴市）如图，∠AOB =45°，点M 、N 在边OA 上，OM =x ，ON =x +4，点P 是边OB 上的点．若使点P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是 ．
【答案】x =0或x =424 或442x <<． 【解析】
试题分析：以MN 为底边时，可作MN 的垂直平分线，与OB 的必有一个交点P 1 ， 且MN =4，以M 为圆心MN 为半径画圆，以N 为圆心MN 为半径画圆，①如下图，当M 与点O 重合时，即x =0时，除了P 1 ， 当MN =MP ，即为P 3；当NP =MN 时，即为P 2；
只有3个点P；
②当0＜x＜4时，如下图，圆N与OB相切时，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此时MP3=4，则OM=ON-MN= 2NP2-4=
．
424
③因为MN=4，所以当x＞0时，MN＜ON，则MN=NP不存在，除了P1外，当MP=MN=4时，过点M作MD⊥OB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3；
当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM2MD=424≤x＜42
与OB有两个交点P2和P3，故答案为：x=0或x=424
或4≤x＜42．
考点：1．等腰三角形的判定；2．相交两圆的性质；3．分类讨论；4．综合题．
32．（2017黑龙江省绥化市）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1
2
BC，则△ABC的顶角的度
数为．
【答案】30°或150°或90°．
【解析】
考点：1．含30度角的直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．分类讨论．
33．（2017黑龙江省龙东地区）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．
【答案】43或47或4． 【解析】
如图3，当∠ABM =90°时，∵∠BOM =∠AOC =60°，∴∠BMO =30°，∴MO =2BO =2×4=8，∴Rt △BOM 中，
BM =22MO OB -=43，∴Rt △ABM 中，AM =22
AB BM +=47．
综上所述，当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为43或47或4．故答案为：43或47或4．
考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质；3．分类讨论；4．动点型；5．综合题．
34．（2017辽宁省抚顺市）如图，等边△A 1C 1C 2的周长为1，作C 1D 1⊥A 1C 2于D 1，在C 1C 2的延长线上取点C 3，使D 1C 3=D 1C 1，连接D 1C 3，以C 2C 3为边作等边△A 2C 2C 3；作C 2D 2⊥A 2C 3于D 2，在C 2C 3的延长线上取点C 4，使D 2C 4=D 2C 2，连接D 2C 4，以C 3C 4为边作等边△A 3C 3C 4；…且点A 1，A 2，A 3，…都在直线C 1C 2同侧，如此下去，则△A 1C 1C 2，△
A 2C 2C 3，△A 3C 3C 4，…，△A n C n C n +1的周长和为 ．（n ≥2，且n 为整数）
【答案】121
2
n n --．
【解析】
考点：1．等边三角形的性质；2．规律型；3．综合题．
35．（2017辽宁省营口市）如图，点A 1（1，3）在直线l 1：y =3x 上，过点A 1作A 1B 1⊥l 1交直线l 2：y =
3
x 于点B 1，A 1B 1为边在△OA 1B 1外侧作等边三角形A 1B 1C 1，再过点C 1作A 2B 2⊥l 1，分别交直线l 1和l 2于A 2，B 2两点，以A 2B 2为边在△OA 2B 2外侧作等边三角形A 2B 2C 2，…按此规律进行下去，则第n 个等边三角形A n B n C n 的面积为 ．（用含n 的代数式表示）
23
33()2
n -． 【解析】
试题分析：∵点A 1（13，∴OA 1=2．
∵直线l1：y=3x，直线l2：y=
3
3
x，∴∠A1OB1=30°．
在Rt△OA1B1中，OA1=2，∠A1OB1=30°，∠OA1B1=90°，∴A1B1=1
2
OB1，∴A1B1=
23
3
．
∵△A1B1C1为等边三角形，∴A1A2=
3
2
A1B1=1，∴OA2=3，A2B2=3．
同理，可得出：A3B3=33
2
，A4B4=
93
4
，…，A n B n=2
3
3()
2
n-
⋅，∴第n个等边三角形A n B n C n的面积为
1
2
×
3 2A n B n2=23
33
()
22
n-
⋅．故答案为：23
33
()
22
n-
⋅．
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．规律型；4．综合题．
三、解答题
36．（2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．
（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是33
．
【解析】
（2）设BP=x，则CP=2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=1
2
x，PM=
3
2
x，
CN=1
2
（2﹣x），PN=
3
2
（2﹣x），根据二次函数的性质即可得到结论．
试题解析：（1）连接AP ，过C 作CD ⊥AB 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵S △ABC =S △ABP +S △ACP ，∴1
2
A B •CD =
12AB •PM +1
2
AC •PN ，∴PM +PN =CD ，即不论点P 在BC 边的何处时都有PM +PN 的长恰好等于三角形ABC 一边上的高；
（2）设BP =x ，则CP =2﹣x ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°，∵PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，∴BM =
1
2
x ，PM =32x ，
CN =
12（2﹣x ），PN =32（2﹣x ），∴四边形AMPN 的面积=12×（2﹣12x ）•32x +12×[2﹣1
2（2﹣x ）]•
3
（2﹣x ）=2333x x -++ =2333(1)x --+，∴当BP =1时，四边形AMPN 的面积最大，最大值是
33．
考点：1．等边三角形的性质；2．二次函数的最值；3．定值问题；4．动点型；5．最值问题． 37．（2017内蒙古呼和浩特市）如图，等腰三角形ABC 中，BD ，CE 分别是两腰上的中线． （1）求证：B D =CE ；
（2）设BD 与CE 相交于点O ，点M ，N 分别为线段BO 和CO 的中点，当△ABC 的重心到顶点A 的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN 的形状，无需说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形DEMN 是正方形． 【解析】
试题解析：（1）解：由题意得，AB=AC，∵BD，CE分别是两腰上的中线，∴AD=1
2
AC，AE=
1
2
AB，∴AD=AE，
在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=CE；
（2）四边形DEMN是正方形，证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=1
2
AB，AD=
1
2
AC，ED是△ABC的
中位线，∴ED∥BC，ED=1
2
BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位
线，∴MN∥BC，MN=1
2
BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，
OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，∵BE=CD，CE=BD，BC=CB，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的
距离=1
2
BC，∴BD⊥CE，∴四边形DEMN是正方形．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．等腰三角形的性质．
38．（2017江苏省连云港市）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB．AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
【答案】（1）∠ABE=∠ACD；（2）证明见解析．
【解析】
（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．
考点：1．等腰三角形的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．探究型．
39．（2017北京市）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．
（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠AMQ=45°+α；（2）PQ2．
【解析】
试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△AEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．
试题解析：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：
∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；
（2）PQ=2MB；理由如下：
连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：
∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，∵∠MQE=∠PAC，∠ACP=∠QEM，AP=QM，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△AEB是等腰直角三角形，∴
1 2PQ=
2
2
MB，∴PQ=2MB．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．探究型；4．动点型．
40．（2017四川省阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）求证：B D=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；
【答案】（1）证明见解析；（2）PB的长为25
或
65
．
【解析】
试题解析：（1）∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，∴AB =AC ，AD =AE ，∠DAB =∠CAE ，∴△ADB ≌△AEC ，∴BD =CE ．
（2）解：①当点E 在AB 上时，BE =AB ﹣AE =1．
∵∠EAC =90°，∴CE =
22AE AC +=5．
同（1）可证△ADB ≌△AEC ，∴∠DBA =∠ECA ． ∵∠PEB =∠AEC ，∴△PEB ∽△AEC ，∴PB BE
AC CE =
，∴125
PB =，∴PB =255． ②当点E 在BA 延长线上时，BE =3．
∵∠EAC =90°，∴CE =
22AE AC +=5．
同（1）可证△ADB ≌△AEC ，∴∠DBA =∠ECA ． ∵∠BEP =∠CEA ，∴△PEB ∽△AEC ，∴
PB BE
AC CE =
，∴25
PB =，∴PB =655． 综上所述，PB 2565
． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．旋转的性质；5．分类讨论．
41．（2017山西省）综合与实践
背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形．例如：三边长分别为
9，12，15或32,42,52的三角形就是（3，4，5）型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．
实践操作如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．
第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．
第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF 交于点N，然后展平．
问题解决
（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．
（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明．
（3）请在图4中证明△AEN是（3，4，5）型三角形．
探索发现
（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．
【答案】（1）证明见解析；（2）NF=ND′，证明见解析；（3）证明见解析；（4）△MFN，△MD′H，△MDA．【解析】
试题分析：（1）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可；
（2）NF=ND′，证明Rt△HNF≌Rt△HND′即可；
（3）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可；
（4）由△AEN是（3，4，5）型三角形，凡是与△AEN相似的△都是（3，4，5）型三角形．
∵四边形AEFD 是正方形，∴∠EFD =90°． ∵∠AD ′H =90°，∴∠HD ′N =90°．
在Rt △HNF 和Rt △HND ′中，∵HN =HN ，HF =HD ′，∴Rt △HNF ≌Rt △HND ′，∴NF =ND ′．
（3）∵四边形AEFD 是正方形，∴AE =EF =AD =8cm ，由折叠知：A D ′=AD =8cm ，EN =EF -NF =（8-x ）㎝．
在Rt △AEN 中，由勾股定理得：222
AN AE EN =+ ，即2
2
2
(8)8(8)x x +=+-，解得：x =2，∴AN =8+x =10
（㎝），EN =6（㎝），∴AN =6：8：10=3：4：5，∴△AEN 是（3，4，5）型三角形．
（4）∵△AEN 是（3，4，5）型三角形，凡是与△AEN 相似的△都是（3，4，5）型三角形，故答案为：△
MFN ，△MD ′H ，△MDA ．
考点：1．勾股定理的应用；2．新定义；3．阅读型；4．探究型；5．翻折变换（折叠问题）；6．压轴题． 42．（2017甘肃省天水市）△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ；
（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP =2，CQ =9时BC 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，62． 【解析】
试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵BE=CE，∠B=∠C，BP=CQ，∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）解：连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BP BE
，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=32，∴BC=62．
CE CQ
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．旋转的性质．43．（2017重庆）在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB=32，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．
【答案】（113（2）证明见解析．
【解析】
试题解析：（1）∵∠ABM =45°，AM ⊥BM ，∴AM =BM =ABcos 45°=32×
2
2
=3，则CM =BC ﹣BM =5﹣2=2，∴AC =22AM CM + =2223+ =13；
（2）延长EF 到点G ，使得FG =EF ，连接BG ．
由DM =MC ，∠BMD =∠AMC ，BM =AM ，∴△BMD ≌△AMC （SAS ），∴AC =BD ，又CE =AC ，因此BD =CE ，由BF =FC ，∠
BFG =∠EFC ，FG =FE ，∴△BFG ≌△CFE ，故BG =CE ，∠G =∠E ，所以BD =BG =CE ，因此∠BDG =∠G =∠E ．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理．
44．（2017黑龙江省哈尔滨市）已知：△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，连接AE ，
BD 交于点O ，AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N ．
（1）如图1，求证：A E =BD ；
（2）如图2，若AC =DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ACB≌△DCE，△EMC≌△BCN，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE．
【解析】
（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；
由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．
45．（2017黑龙江省龙东地区）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，易证：OH=1
2
AD且OH⊥AD（不需证明）
（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）图2，图3的结论都相同：OH=1
2
AD，OH⊥AD．
【解析】
试题解析：（1）证明：如图1中，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，
在△AOD与△BOC中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，∵点H为线段BC的中点，∴OH=HB，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠ADO+∠BOH=90°，∴OH⊥AD；
（2）解：①结论：OH=1
2
AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，易证△BEO≌△ODA，
∴OE=AD，∴OH=1
2
OE=
1
2
AD．由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH
⊥AD．
②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．
易证△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=1
2
OE=
1
2
AD．
由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°，∴OH⊥AD．
考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．和差倍分；5．探究型；6．变式探究；7．压轴题．
46．（2017山东省莱芜市）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．
（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；
（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．
【答案】（1）AE=DB，AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．
【解析】
试题解析：（1）AE=DB，AE⊥DB．证明如下：
∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC，在Rt△BCD和Rt△ACE中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，∵∠BCD=90°，∴∠DHE=90°，∴AE⊥DB；
（2）DE=AF，DE⊥AF．证明如下：
设DE与AF交于N，由题意得，BE=AD，∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC，∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC，∴∠EBD=∠ADF，在△EBD和△ADF中，∵BE=AD，∠EBD=∠ADF，DE=DF，∴△EBD≌△ADF，∴DE=AF，∠E=∠FAD，∵∠E=45°，∠EDC=45°，∴∠FAD=45°，∴∠AND=90°，即DE⊥AF．
考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．探究型；5．变式探究．
【2016年题组】
一、选择题
1．（2016内蒙古赤峰市）等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）
A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°
【答案】B．
【解析】
考点：等腰三角形的性质．
2．（2016四川省乐山市）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（）
A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】B．
【解析】
试题分析：∵∠ACD=40°，CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=1
2
（180°﹣40°）=70°，∴∠ABC=∠ADC=70°，∵AB
是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠B=20°，故选B．
考点：1．圆周角定理；2．等腰三角形的性质．
3．（2016四川省甘孜州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C．
【解析】
考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．平行线的性质．
4．（2016四川省雅安市）如图所示，底边BC为23A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）
A ．223+
B ．23+
C ．4
D ．33 【答案】A ． 【解析】
试题分析：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵AB =AC ，∠A =120°，∴∠B =∠C =30°，∴AB =AC =2，∵DE 垂直平分AB ，∴BE =AE ，∴AE +CE =BC =23，∴△ACE 的周长=AC +AE +CE =AC +BC =223+，故选A ．
考点：1．等腰三角形的性质；2．线段垂直平分线的性质．
5．（2016陕西省）如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =6．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 【答案】B ． 【解析】
考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．勾股定理．
6．（2016贵州省六盘水市）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n的度数为（）
A．70
2n
B．
1
70
2n+
C．
1
70
2n-
D．
2
70
2n+
【答案】C．
【解析】
考点：1．等腰三角形的性质；2．规律型．
7．（2016湖南省怀化市）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）
A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm
【答案】C．
【解析】
试题分析：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．
故选C．
考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．
8．（2016四川省内江市）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）
A．
3
2
B．
33
2
C．
3
2
D．不能确定
【答案】B．【解析】
试题分析：如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×
3
2
=
33
2
，
S△ABC=1
2
BC•AH=
1
2
AB•PD+
1
2
BC•PE+
1
2
AC•PF，∴
1
2
×3AH=
1
2
×3PD+
1
2
×3PE+
1
2
×3PF，∴PD+PE+PF=AH=
33
2
，
即点P到三角形三边距离之和为33
．故选B．
考点：1．等边三角形的性质；2．定值问题．
9．（2016山东省临沂市）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：
①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．
其中正确的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D．
【解析】。