深圳市龙岗区2023年九年级上学期《数学》期中试题与参考答案

广东省深圳市龙岗区2023年九年级上学期《数学》期中试卷与参考答案
一、选择题
本题有10小题，每小题3分，共30分。

1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D. 答案：C
答案解析：A. 2x+1=0是一元一次方程，故不符合题意； B. ，分母含有未知数，故不符合题意； C.为一元二次方程，符合题意；
D. ，分母含有未知数，故不符合题意； 故选C ．
2. 已知线段a 、b 有
，则为（ ）A. B. C. D. 答案：C 答案解析：∵
∴解得∴210x +=12x x +
=210
x -=2
2
1x x
+
=-1
2x x
+
=210x -=2
2
1x x
+
=-5
2a b a b +=-:a b 5:17:2
7:3
3:7
5
2
a b a b +=-2()5()a b a b +=-37a b =:7:3
a b =
故选C.
3. 如图，矩形的顶点，分别在菱形的边和对角线上，连接，若，则的长为（ ）
A. 4
B. 5
C.
D. 答案：B
答案解析：解：连接AF ，如图所示，
∵四边形AGFE 为矩形，∴，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=CD，，在和中，
∵，∴
，
AEFG E F ABCD AB BD EG CF 5EG =
CF
5AF EG ==ADF CDF ∠=∠ADF △CDF V AD CD ADF CDF DF DF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()ADF CDF SAS ≅V V
∴CF=AF=5，故选：B ．
4. 如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC 的是（ ）
A. ∠ADC＝∠ACB
B. ∠B＝∠ACD
C. ∠ACD＝∠BCD
D.
答案：C
答案解析：（A ）∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，故A 能判定△ACD∽△ABC；（B ）∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，故B 能判定△ACD∽△ABC；
（D
）∵＝ ，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故D 能判定△ACD∽△ABC；故选C ．
5. 若，则下列比例式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：B
答案解析：解：A 、∵
，∴，故此选项不符合题意；AC AD
AB AC
=AC AB
AD
AC ()340m n mn =≠34
m n
=43m n =14m n =43m n
=34
m n
=43m n =
B
、∵
，∴，故此选项符合题意；C 、∵，∴，故此选项不符合题意；
D 、∵，∴，故此选项不符合题意；
故选：B ．
6. 下列说法正确的是（ ）A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形C. 四个角都是直角的平行四边形是正方形D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形答案：D
答案解析：解：A ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A 错误；B ．由两个全等的直角三角形拼成的四边形是矩形，故B 错误；C ．四个角都是直角的菱形是正方形，故C 错误；D ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；故选：D ．
7. 如图，菱形ABCD 中，∠D＝140°，则∠1的大小是（ ）
43
m n
=34m n =1
4m n =4m n =4
3m n =12mn =
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
答案：B
答案解析：解：∵四边形ABCD 是菱形，∴DA＝DC ，∠DAC＝∠1，∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，在△ABD 中，
∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣140°）＝20°，∴∠1＝20°，故选：B ．
8. 一种药品，原来的售价每件200元，连续两次降价后，现在每件售价162元，若每次降价的百分率相同，则平均每次降价( )A. B. C. D. 答案：B
答案解析：解：设这种衬衫平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得，
，
解得 (不合题意，舍去)；答：这种衬衫平均每次降价的百分率为．故选：B ．
9. 若整数使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组
1
21
28%10%
15%
20%
2200(1)162x ⨯-=120.1 1.9x x ==，10%a x ()2
2210a x ax a +++-=x
有解且最多有个整数解，则符合条件的整数的个数为（ ）
A. B. C. D. 答案：C
答案解析：∵整数使得关于的一元二次方程有实数根，
∴a+2≠0，≥0，
∴a≤2且a≠-2；
∵的解集为a ＜x≤3，且最多有个整数解，∴-3≤a＜3，∴-3≤a≤2，a≠-2，
∴a 的值为-3，-1，0，1，2共有5个，故选C ．
10. 如图，点E 、F 分别在正方形的边上，且垂直于，若，
，则的周长为（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
答案：
B
()01272a x x x -<⎧⎪⎨+≤+⎪⎩
6a 3456
a x ()2
2210a x ax a +++-=2
(2)4(2)(1)a a a -+-()01272a x x x -<⎧⎪
⎨+≤+⎪⎩
6ABCD CD AD 、EF BE 8AB =10BE =DEF V
答案解析：如图，连接，∵四边形是正方形，
∴，，∵，
∴，∴，
设，则，
∴，，
∴，解得
，∴，∴，
则的周长．故选：B ．
BF ABCD 8CD
AD BC AB ====90C D A ∠=∠=∠=︒10BE =6CE ==862DE CD CE =-=-=AF x =8DF AD AF x =-=-222228BF AB AF x =+=+22222EF BF BE DF DE =-=+2222
281082x x +-=
-+（）132
x =
382
DF x =-=
5
2
EF ==DEF V 35
2622
DE DF EF =++=++=
二、填空题
本题有5小题，每小题3分，共15分。

11. 不透明的纸箱里装有2张画有“A”和1张画有“B”的卡片，这些卡片除了图案不同外其他都相同，从中任意抽取一张，不放回再从中抽取一张，则两次抽到的卡片的图案不同的概率是 _____．
答案：答案解析：解：两张印有图案“A”的卡片用A 、B 表示，一张印有的“B”卡片用C 表示，根据题意画图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中两次抽到的卡片的图案不同的有4种结果，
则两次抽到的卡片的图案不同的概率是．
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△OAB 放大后得到△OCD，若，
，则△OAB 与△OCD 的面积比为______．
2
3
42
=63
2
3()0,1B ()0,3D
答案：1：9
答案解析：解答：解：∵B（0，1），D （0，3），∴OB＝1，OD ＝3，
∵△OAB 以原点O 为位似中心放大后得到△OCD，∴△OAB 与△OCD 的相似比是OB ：OD ＝1：3，∴△OAB 与△OCD 的面积的比是1：9．故答案是：1：9．
13. 已知方程的两个根是，，则_____．答案：3
答案解析：根据题意，得：故答案为：3．
14. 如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作
轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为______．
22630x x -+=1x 2x 12x x +=1263
2x x -⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭+(0,A ()2,0B P AB PM y ⊥M PN x ⊥N MN MN OMPN
答案解析：解：如图，连接OP ．
由已知可得：．∴四边形ONPM 是矩形．∴，
在中，当时OP 最短，即MN 最小．
∵即根据勾股定理可得：．
∵∴∴
即当点P 运动到使OP⊥AB 于点P 时，MN
在中，根据勾股定理可得：∴
∵90PMO
MON ONP ∠=∠=∠=︒OP MN =
Rt AOB V OP AB ⊥(()00A B ，2，，2AO BO ==，
4AB ==
=1111
242222
ABC S OA OB AB OP OP =
⨯=⨯=⨯=⨯⨯V OP =MN =Rt POB V 1BP ===11
22
S OBP OP BP OB PN
=⨯=⨯V
∴∴在中
∴ ∴
15. 如图，等腰中，，D 为中点，E 、F 分别是上的点（且E 不与B 、C 重合），且．若，则的值是_____（用含n 的式子表示）答案：答案解析：解：如图，过点D 作于点H ，
111222
PN =⨯⨯PN =Rt PON V 32
ON ===32OMPN S ON PN =⨯==矩形Rt ABC △90B Ð=°AB BC AC 、EF CD ⊥CE nBE =AF
CF 32n n
+DH AC ⊥
∵，
∴设，则，
∵等腰中，，D 为中点，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，∴，
解得：，
CE nBE =1BE =CE n =Rt ABC △90B Ð=°AB 1AB BC n
==+12n BD AD +==)1AC n =+EF CD ⊥90B Ð=°1
tan 2DB EG DCB BC GC ∠===EG =GC =CD =45DH AC A ⊥∠=︒，DH AH ===)1CH n =+-90CHD CGF DCH FCG ∠=∠=︒∠=∠，CHD CGF ∽△△CF
CG
CD CH ==CF =
∴，
∴
，故答案为：．
三、解答题
本题有7题，共55分。

16. （1）解方程：．
（2）用配方法解关于的方程：．
答案：（1）无解；（2）答案解析：（1），
∵a=2，b=-5，c=4，
∴，
∴此方程无解；
（2），
∴，
∴，
1)AF n =+3
2AF n CF n +==3
2n n +22540x x -+=x 20x qx p +-=()240q p +≥x =22540x x -+=()2542470=--⨯⨯=-<△20x qx p +-=2x qx p +=22
244q q x qx p ++=+
∴，∴
∴．17. 先化简，再求值．
÷＋，请从一元二次方程x 2－x －2＝0的两个根中选择一个你喜欢的求值．答案：，或－1答案解析：÷＋＝＝＝＝， 因x 2－x －2＝0的两根是2，－1，
把x ＝2代入得或把x ＝－1代入得－1．18. 小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有完全一样的小球，其中甲口
2
224q q x p ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭2q x +=x =11x -22221x x x x +-+12
x +1(2)x x +18
11x -22221x x x x +-+12
x +21(1)11(2)2
x x x x x -⋅+-++11(2)2
x x x x -+++1(2)
x x x x -++1(2)
x x +18
袋中的4个小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的3个小球分别标有数字2，3，4，小明先从甲袋中随意摸出一个小球，记下数字为x ，再从乙袋中随机摸出一个小球，记下数字为y ．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）若x ，y 都是方程的解时，则小明获胜；若x ，y 都不是方程的解时，则小刚获胜，它们谁获胜的概率大？请说明理由．
答案：（1）答案见解析；
（2）小明获胜的概率大；理由见解析．
答案解析：（1）所有可能出现的结果列表如下：234
1234由表可知共有12种可能出现结果，且每种结果出现的可能性相同．
（2）∵方程的两个根分别为2或3，
∴由表格可知，x ，y 都是方程的解有，，，共4种，都不是方程的解有，两种，
的2560x x -+=2560x x -+=()
1,2()1,3()1,4()2,2()
2,3()2,4()3,2()3,3()
3,4()4,2()
4,3()4,42560x x -+=()2,3()3,2()2,2()3,3()1,4()4,4
∴P 小明胜，P 小刚胜
，∴小明获胜的概率大．
19. 如图，在中，，点D 是的中点，过点D 作于点E ，延长到点F ，使得，连接．
（1）根据题意，补全图形；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，求菱形ADCF 的面积．
答案：（1）见解析
（2）见解析 （3）答案解析：（1）补全图形如图所示．
（2）证明： ∵D 是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
41123
==21126==ABC V 90ACB ∠=︒AB DE AC ⊥DE EF DE =AF CF ，ADCF 830AB BAC =∠=︒，AB 90ACB ∠=︒1
2AD CD AB ==DE AC ⊥AE CE =ED EF =ADCF
∵，
∴四边形是菱形．
（3）在中，∵，
∴，∴
由（1）得∴∴∴
20. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为6万元，经过市场调研发现，每台售价为8万元时，月销售量为120台；每台售价为9万元时，月销售量为110台．假定该设备的月销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
（1）求月销售量y 与销售单价x 的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得低于10万元，如果该公司想获得240万元的月利润．则该设备的销售单价应是多少万元？
答案：（1） （2）万元/台
答案解析：（1）设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为，
将时，时，代入，得
AC DF ⊥ADCF Rt ABC △830AB BAC =∠=︒，142
BC AB ==AC =142
AD AB ==，122
DE AD ==24DF DE ==，
12
ADCF AC S DF =⋅=菱形10200y x =-+18y kx b =+(0)k ≠8x =1209y x ==；110y =y kx b =+
，解得：，∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为；
（2）设此设备的销售单价为万元/台，
则每台设备的利润为万元，销售数量为台，
根据题意得：．
整理，得：，
解得：．
∵此设备的销售单价不得低于万元，
∴．
答：该设备的销售单价应是万元/台．
21. 在边长为1的正方形中，点E 从点A 沿向点D 运动，以为边，在的上方作正方形，连接．
（1）线段与是否相等？请说明理由；
（2）若设，当x 取何值时，y 最大？
（3）连接，当点E 运动的什么位置时，
？
81209110k b k b +=⎧⎨+=⎩
10200k b =-⎧⎨=⎩
10200y x =-+x (6)x -()10200x -+0(61020024)()x x --+=2261440x x -+=12818x x ==，1018x =18ABCD AD BE BE BEFG CG AE CG ,AE x DH y ==BH AD BEH BAE ∆∆∽
答案：（1）相等，理由见解析 （2） （3）点E 是中点
答案解析（1）；理由如下：
在正方形和正方形中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）在正方形和正方形中，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，∴，
∴，
即当时，y 有最大值为；
（3）当点E 是中点时，，理由如下：
∵E 是的中点，
1
2AD AE CG =ABCD BEFG 90,90ABE EBC CBG EBC ︒︒∠+∠=∠+∠=ABE CBG ∠=∠,AB BC BE BG ==(SAS)ABE CBG ∆∆≌AE CG =ABCD BEFG 90A D FEB ︒∠=∠=∠=90,90DEH AEB AEB ABE ︒︒∠+∠=∠+∠=DEH ABE ∠=∠.ABE DEH ∆∆∽DH DE
AE AB =11y x
x -=2211
()24y x x x =-+=--+1
2x =1
4AD BEH BAE ∆∆∽AE
∴
，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵，
∴．
22. 在正方形ABCD 中，过点B 作直线l ，点E 在直线l 上，连接CE ，DE ，其中，过点C 作于点F ，交直线l 于点H ．
（1）当直线l 在如图①的位置时
①请直接写出与之间的数量关系______．
②请直接写出线段BH ，EH ，CH 之间的数量关系______．
（2）当直线l 在如图②的位置时，请写出线段BH ，EH ，CH 之间的数量关系并证明；
（3）已知，在直线l 旋转过程中当时，请直接写出EH 的长．
12
AE =14
DH =ABE DEH ∆∆∽12
EH DH BE AE ==12AE AB =AE EH AB BE
=90DAB FEB ︒∠=∠=BEH BAE ∆∆∽CE BC =CF DE ⊥ECH ∠HCD ∠2AB =15EBC ∠=︒
答案：（1）①；②；（2）；证明见解析；（3）
．
答案解析：（1）①∵CE=BC，四边形ABCD 为正方形，
∴BC=CD=CE，
∵CF⊥DE，
∴CF
平分∠ECD，
∴∠ECH=∠HCD，
故答案为：∠ECH=∠HCD；
②，过点C 作CG⊥BE 于G ，
∵BC=EC，∴∠ECG=∠BCG=，
∵∠ECH=∠HCD=，∴∠GCH=∠ECG+∠ECF=+，
ECH HCD ∠=∠BH EH +=BH EH -=EH =ECH HCD
∠=∠BH EH +=1
2BCE ∠1
2DCE ∠1
2BCE ∠()1
11
9045222DCE BCE DCE ∠=∠+∠=⨯︒=︒
∴∠GHC=180°-∠HGC+∠GCH=180°-90°-45°=45°，∴CG=HG，
在Rt△GHC 中，
∴，
∵GE=， ∴GH=GE+EH=，
∴，
∴，
∴，
故答案是：；
（2），
证明：过点C 作交BE 于点M ，
2222+2CG GH HC GH ==()1
1
22BE BH EH =-()()
11
22BH EH EH BH EH -+=
+()2
22122
2HC GH BH EH ⎡⎤
==+⎢⎥⎣⎦()222HC BH EH =+BH EH +=BH EH +=BH EH -=CM CH ⊥
则，
∴⁰，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
（3）
，
∵，分两种情况，
当∠ABE=90°-15°=75°时，
90MCH BCD ∠=∠=︒90MCH HCD MCH BCM ∠+∠=∠+∠=︒HCD BCM ∠=∠CE BC CD ==CF DE ⊥HCD ECH ∠=∠HEC MBC ∠=∠ECH BCM ∠=∠()ECH BCM ASA ∆∆≌EH BM =CM CH =MCH △MH ==BH BM MH -=BH EH -=EH =15EBC ∠=︒
∵BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB=15°，
∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB==180°-15°-15°=150°，∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°=90°=60°，
∵CE=CD，
∴△CDE 为等边三角形，
∴DE=CD=AB=2，∠DEC=60°，
∴∠FEH=∠DEC=∠CEB=60°-15°=45°，
∵CF⊥DE，
∴DF=EF=1，∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°，∴EF=HF=1，
当∠ABE=90°+15°=105°，
∵BC=CE，∠CBE=∠CEB=15°，
∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB=150°，
∴∠DCE=360°-∠DCB-∠BCE=120°，
==
∵CE=BC=CD，CH⊥DE，
∴∠FCE=，
∴∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°，∴CF=，
，
∵∠HEF=∠CEB+∠CEF=15°+30°=45°，∴∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°=∠FEH，∴FH=FE，
，∴
．
1
602DCE ∠=︒1
1
2122CE =⨯=====EH =。