线性代数第四章第一节 Rn的基与向量关于基的坐标(2014版)

1 1 1 1
1
0
1
2
0 0 1 1
0
0
0
0
故所求向量为： (k, k, k, k)
K为任意实数。
由上述例题可见，R4 中同一个向量关于不同 基下的坐标一般是不同的，那么这两个坐标之 间有什么关系呢？注意到坐标由基决定，所以 两个坐标间的关系取决于两个基之间的关系， 下面我们先讨论两个基之间的关系，再进一步 得到两个坐标间的关系。即我们讨论一般基变 换与坐标变换。
关的充要条件是方程：
n
n
n
nn
x j j x j ( aiji ) ( aij x j )i 0 ( j 1, 2, , n)
j1
j1
i 1
i1 j1
n
只有零解。由于 1 ,2 , ,n 线性无关，故( aij x j ) 0 (i 1, 2, , n)
j1
n
而 ( aij x j ) 0 (i 1, 2, , n) 有零解的充要条件是 | A | 0 ，所以 j1
（3）过渡矩阵中的第j列 (a1j ,a2 j , ,anj )T 是 j 在基
1,2,,n 下的坐标。
例5 已知 B2 {1 , 2 , 3 } 为 R3 的一个基，其中1 (1, 2,1)T , 2 (1, 1, 0)T , 3 (1, 0, 1)T ，求从自然基B1 {1 ,2 , 3 }
下的坐标。
解：方法一：由 1 2 2 3 4 (1 , 2 , 3 , 4 )(1, 2,1,1)T
故 在 B1 : 1 ,2 ,3 ,4 下的坐标向量为：B1 (1, 2,1,1)T 又 在 B2 : 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标向量为：B2 ( x1 , x2 , x3 , x4 )T
为此我们先给出以下定理：
定理1：设 B {1 ,2 , ,n } 是 Rn 的一组基，且
1 a111 a212 2 a121 a222
an1n an2n
（1）
n a1n1 a2n2 annn
则 1 ,2 , ,n 也是 Rn 的一组基的充要条件是：
a11 a12 | A | a21 a22
n a1n1 a2n2
an1n an2n ,
annn
1 a11 a21
2
a12
a22
n
a1n
a2n
an1 1
an2
2
1
AT
2
.
ann
n
n
1,2, ,n 1,2, ,n A
基变换公式
1,在2基,变,换n 过公渡式（变1换,2,）,到n 基 11,,22,, ,,n nA的中过，渡矩（阵变换A ）为矩由阵基。 注意：（（12））过从渡定矩 理阵1可A知是若可逆1,的2,． ,n 线性相关| A | 0
x2 x3
x1
2x2 3 x1 x2
x3 x3
6x4 0 x4 0
x1 x3 3x4 x4
x1 x3 2x4 0
对上述方程组的系数矩阵进行初等行变换：
1
A
1
0 2
5 3
6 1
6
~
0
0 1
0 0
1
1
取 x4 k 得方程组通解：
( x1 , x2 , x3 , x4 ) (k, k, k, k)
r2r3~(
3) 3
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
r2r3~(
3) 3
~ r1 r3
r3 r2
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
1 0 0 2 4
0
1
0
3 2
3 1
3
0
0
1
1
2 3
1 0 0 2 4
3 3
~ ( A B)初等行变换 0
1）1 ,2 , ,n 线性无关；
2） Rn存在一组数 k1 , k2 , , kn，使得： k1
k11 k22
knn (1 ,2 ,
,n
)
k2
kn
就称向量组 B {1 ,2 , ,n } 是 Rn 的一个基（或
基底），有序数组 (k1 , k2 , , kn ) 称为 在基底 B 下的
1
0
1 1
0 102 Nhomakorabea1
1
0
0
2
3
0 1 1 1 1 01 4
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
5
方法二：
1 0 0 01
1
(1，2，1，1)T
0
0
1 0
0 1
0
2
01
即
(
1
,
2
,
3
,
4
)
2 1
0
0
0
1
1
1
1 0 0 0
x1
又
(1
,
2
,
3
,
4
说明 1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指
若 V , V , 则 V ; 若 V , R, 则 V .
2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作Rn.
例1 n维向量的全体 Rn 是一个向量空间。
而 Rn 中的n个单位向量：
1 (1, 0, , 0, 0),2 (0,1, , 0, 0), ,n (1, 0, , 0,1)
是线性无关的，且任意一n维向量 (a1 ,a2 , ,an ) 都可由它线 性表出，即 a11 a22 ann 又Rn 中任意n个线性无关 的向量1 ,2 , ,n 构成Rn 的一个极大线性无关组，
Rn 存在一组数 k1 , k2 , ,，kn 使得： k11 k22 knn
1
0
2 3
1
0
0
1
1
2 3
因有A ~ E，故a1 ,a2 ,a3为R3的一个基，且
2 4
3 3
b1
, b2
(a1
,a2
,a3
)
2 3
1 .
1
2 3
例4 在 R4 中找一个向量 ，使它在自然基和基 B {1, 2 , 3 , 4 }
下有相同的坐标，其中
1 (2,1, 1,1)T , 2 (0, 3,1, 0)T , 3 (5, 3, 2,1)T , 4 (6, 6,1, 3)T
)
(
1
,
2
,
3
,
4
)
1 0
1 1
0 1
0
0
(
1
,
2
,
3
,
4
)
x2 x3
0 0 1 1
x4
1
x1
1 0 0 0 x1
所以
(1
,
2
,
3
,
4
)
2 1 1
(1
,
2
,
3
,
4
)
x2 x3 x4
(
1
,
2
,
3
,
4
)
1 0
0
1 1 0
0 1 1
0
x2
0 1
结论成立。
由定理1知，若有 Rn 的两组基 B1 {1 ,2 , ,n } 与 B2 {1,2 , ,n } (分别称为旧基底与新基底）则有：
1 a111 a212 即 2 a121 a222
n a1n1 a2n2
an1n an2n ,
annn
由于
1 a111 a212 2 a121 a222
解 要证a1 , a2 , a3是R3的一个基，只要证a1 , a2 , a3 线性无关，即只要证A ~ E.
设
b1 x11a1 x21a2 x31a3 ,
b2 x12a1 x22a2 x32a3，
即
x11 (b1 ,b2 ) (a1 ,a2 ,a3 ) x21
x31 记作B AX .
则 x11 x2 2 x3 3 x4 4 (1 , 2 , 3 , 4 )( x1 , x2 , x3 , x4 )T 又 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，故 | 1 , 2 , 3 , 4 | 0
所以
1 0 0 01 1 1 0 0 0 1 1
( x1 , x2 , x3 , x4 )T
个基，则 Rn 可表示为：
Rn x 11 22 rr 1 , ,r R
（4）基是有序的向量组，即若 {1 ,2 , ,n }是Rn 的一组基，则 {2 ,1 , ,n } 是 Rn 的另一组基；
（5）给定 Rn 中的一组基，任意n维向量在此基下的
坐标是惟一确定的。要求向量 在基 {1 ,2 , ,n } 下
3 3 2
1
3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
且表示式惟一。即：n维数组 (k1 , k2 , , kn ) 在 1 ,2 , ,n 确定 下也是惟一确定的，为此我们称数组(k1 , k2 , , kn ) 是向量
在 1 ,2 , ,n 下的坐标，一般地，我们引入：
二、向量空间的基、维数与坐标
定义2 设有序向量组 B {1 ,2 , ,n } Rn 如果 B向量组满足：
B1 : 1 (1, 0, 0, 0)T , 2 (0,1, 0, 0)T , 3 (0, 0,1, 0)T , 4 (0, 0, 0,1)T
和 B2 : 1 (1, 1, 0, 0)T , 2 (0,1, 1, 0)T , 3 (0, 0,1, 1)T , 4 (0, 0, 0,1)T
Rn 的基与向量关于基的坐标 Rn 中向量的内积 标准正交基和正交矩阵 线性空间的定义及简单性质 线性子空间
线性空间的基 维数 向量的坐标 向量空间的线性变换
第一节 Rn 的基与向量关于基的坐标
一、向量空间的概念
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空，
且集合V 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间．
解：设所求向量 在两个基下的坐标均为 ( x1 , x2 , x3 , x4 )
则有：B ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x11 x2 2 x3 3 x4 4
即： 2x1 5x3 6x4 x1
x1 5x3 6x4 0
x1 x1
3x2 3x3 6x4 x2 2x3 x4
x3 x4
1 1 0 0 0 x1
即
2
1
1
0
0
x2
1
0
1
1
0
x3
1 0 0 1 1 x4
x1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
x2 x3 x4
1 0 0
1 1 0
0 1 1
0
0
1
2 1
的坐标，就是解线性方程组：
x11 x22 xnn
（6）Rn 中的基不是惟一的，任何n个线性无关的n维向量 都构成 Rn 的一组基，我们将 1 ,2 , ,n 称为 Rn 的一组标准 基或自然基。一般我们将n个n维单位向量称为 Rn 的自然基 或标准基。
例2 设 (1, 2,1,1)T 分别求 在：
x12 x22 , x32
对矩阵( AB)施行初等行变换，若A能变为E，
则a1 ,a2 ,a3为R3的一个基，且当A变为E时，B变为
X A1B.
(
A
B)
2 2
2 1 1 2
1 0
4 3
1 2 2 4 2
1 3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
坐标，记为：B (k1 , k2 , 或 , kn ) B (k1 , k2 , , kn )T 并称 B 为 的坐标向量。
说明 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量
空间，因此它没有基． （2）若把向量空间 Rn 看作向量组，那末 Rn 的
基就是向量组的最大无关组 （3）若向量组 1 ,2 , ,n 是向量空间 Rn 的一
1 1
1
1
1 1 1
0 1 1
0 0
2 1
3 4
1
1
5
例3 设矩阵
2 2 1
A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 ,
1 2 2
1 4 B (b1 ,b2 ) 0 3,
4 2
验证 a1 , a2 , a3 是 R3 的一个基，并求 b1 , b2 在 基 a1 , a2 , a3 下的坐标。
故 | A | 0
充分性，若 | A | 0 ，则 r(A) n ，又 1 ,2 , ,n 是 Rn 的一组基，
则 r(1 ,2 , ,n ) n ，故 r[(1 ,2 , ,n )A] n ， 所以 r(1 ,2 , ,n ) n ，故 1 ,2 , ,n 是 Rn 中的一组基。
n
方法二：由（1）式得： j aiji ( j 1, 2, , n) ，1 ,2 , ,n 线性无 i 1
a1n a2n 0
（2）
an1 an2
ann
证明：法一：必要性，由 (1 ,2 , ,n ) (1 ,2 , ,n )A 若1 ,2 , ,n 是 Rn 的一组基，则 r(1 ,2 , ,n ) n ，又 1 ,2 , ,n 是 Rn 的一 组基，所以 r(1 ,2 , ,n ) n ，且 n r(1 ,2 , ,n ) r[(1 ,2 , ,n )A] r( A)