函数单调性 基础学生版

函数单调性
模块一：函数单调性
1． 一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，区间I D ⊆：
⑴ 增函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x <，
那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数；
⑵ 减函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x >，
那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；
2．单调性：如果函数()y f x =在某个区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在
这个区间上具有单调性，区间I 叫做()y f x =的单调区间．
3．判断函数单调性的基本方法：
⑴ 定义法：任取12x x ，，12x x <，判断12()()f x f x -的正负；
⑵ 图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数； ⑶ 复合函数的单调性——同增异减．
考点1：具体函数单调性判断与证明
例1.（1）（2018秋•凯里市校级月考）下列函数中，在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．()3f x x =- B ．2()3f x x x =-
C ．1()f x x
=-
D ．()||f x x =-
（2）（2018秋•苏州期中）已知函数2()1
x f x x =
-． （1）求()f x 的定义域、值域利单调区间；
（2）判断并证明函数()()g x xf x =在区间(0,1)上的单调性．
考点2：抽象函数单调性判断与证明
例 2.1）（2018秋•龙凤区校级月考）定义在(0,)+∞的函数()y f x =满足对于任意的x ，
(0,)y ∈+∞，()()()2f x f y f x y +=++，当0x >时，()2f x >，其中f （3）3=． （1）判断函数()f x 的单调性并证明； （2）解不等式2(43)5f a a --<．
2）（2018秋•青云谱区校级月考）已知函数()f x 满足对任意的x ，y R ∈，有
()()()f xy f x f y =+． （1）求f （1），(1)f -的值；
（2）若函数()f x 在其定义域(0,)+∞上是增函数，f （2）1=，()(2)3f x f x +-，求x 的取值范围．
3）（2018秋•南关区校级月考）设定义在(0,)+∞上的函数()f x ，对于任意正实数a 、b ，都有()f a b f =（a ）f +（b ）1-，f （2）0=，且当1x >时，()1f x <． （1）求f （1）及1
()2
f 的值；
（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是减函数．
考点3：已知单调性反求参
例3.（1）（2018秋•启东市校级月考）函数2()(21)1f x x a x =+++在区间[1，2]上是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．3[2-，)(+∞-∞⋃，5]2-
B ．3(2-，)(+∞-∞⋃，5)2-
C ．(-∞，3]2
-
D ．5[2-，3]2
-
（2）（2019春•江阴市期中）已知2()(2)2f x x m x =-++在[1，3]上是单调函数，则实数m 的取值范围为 ．
例4.（1）（2017秋•东阳市校级月考）设函数1
()1
ax f x x -=
+，其中a 为常数，若函数()f x 在区间(0,)+∞上是单调递减函数，求a 的取值范围．
（2）已知函数23,0
()1,0x a x f x x ax x --⎧=⎨-+<⎩
是(,)-∞+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是(
)
A ．[0，1
]3
B ．1
(0,)3
C ．(0，1
]3
D ．[0，1
)3
（3）（2015秋•武汉校级月考）已知函数234,1
(),1ax a x f x x ax x +-<⎧=⎨-⎩
．若函数()f x 在R 上单调
递增，求实数a 的取值范围．
例 5.（1）（2019春•广陵区校级月考）若函数()f x 是定义在[2-，2]上的减函数，且
(1)(31)f a f a +<+，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞
B ．[1-，0)
C ．(0，1]3
D ．(0,)+∞
（2）（2012秋•旌德县校级月考）已知函数224,0
()4,0
x x x f x x x x ⎧-<=⎨+⎩，若2(2)f a f ->（a ），则
实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞ B ．(1,2)- C ．(-∞，2)(1-⋃，)+∞ D ．(2,1)-
模块二：复合函数单调性
对于复合函数[()]y f g x =的单调性，必须考虑函数()y f u =与函数()u g x =的单调性， 函数[()]y f g x =的单调性如下表：
小结：同增异减．
考点4：复合函数单调性判断
例6.（2018秋•望花区校级月考）函数y =( ) A ．3
(,]2
-∞-
B ．3
[,)2
-+∞
C ．[0，)+∞
D ．(-∞，3]-
（2）（2017秋•宜昌期中）已知函数()f x =则该函数的单调递增区间为( ) A ．(-∞，1] B ．[1-，1)
C ．(1，3]
D ．[1，)+∞
课后作业：
1.（2017秋•宁阳县校级月考）试讨论函数2()1
ax
f x x =-，(1,1)x ∈-的单调性（其中0)a >．
2.（2018秋•龙凤区校级月考）定义在(0,)+∞的函数()y f x =满足对于任意的x ，(0,)y ∈+∞，
()()()2f x f y f x y +=++，当0x >时，()2f x >，其中f （3）3=． （1）判断函数()f x 的单调性并证明； （2）解不等式2(43)5f a a --<．
3.（2018秋•启东市校级月考）函数2()(21)1f x x a x =+++在区间[1，2]上是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．3[2-，)(+∞-∞⋃，5]2-
B ．3(2-，)(+∞-∞⋃，5)2-
C ．(-∞，3]2
-
D ．5[2-，3]2
-
4.已知函数23,0
()1,0x a x f x x ax x --⎧=⎨-+<⎩
是(,)-∞+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．[0，1
]3
B ．1
(0,)3
C ．(0，1
]3
D ．[0，1
)3
5.（2019春•广陵区校级月考）若函数()
f x是定义在[2-，2]上的减函数，且
(1)(31)
f a f a
+<+，则实数a的取值范围是()
A．(,0)
-∞B．[1-，0)C．(0，1
]
3
D．(0,)
+∞。