也谈基本不等式组的几何证法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
,
为 了 给 初 中各 年 级 数 学课外 活动提 供 资料
I
:
图( )
I
叫
\
—
2
,
口
气.
/
~
.
一
一 口 \—2 /
’
2 /a 一 b \
二二
犷
j 腼 千反 一
-
叼
2
—
延长 E C 交0 0 于 G
`
,
G C二 G
C=
鲤 万
’
a
b
2
C = J
千石
a
证法
了
t
见图
,
I
乙E
、
C B 二 乙 C 月 B 二 乙A D B ~
一
匕D
F B 二R
,
艺
,
A C = C君
设BC + AC “
.
(幻 即( 1)
,
成 立 由图形知 当 且 仅 当 C 与 B 重合 时 ( 习取等 号 即 当且 仅当 a = b 时 ( 1 ) 取 等号
,
.
A
H
=
塑 A
户
’
N
/巫 逐… a
Z
+ b
Z
参
考
,
文
献
,
显然 A H (
.
A G簇A B《 A E
《
.
妊F
( 4) 即 ( 1 )
〔1 1 张 君达
《 数 学 通报 》
a
,
BC 一
瓢
/
N
a Z
同 理 可得
c H
-
) 夕 旦 户
C
b
汀
C只~ b
则
,
二一宁 C A
一
-
a
豆
豆 舀 加
嚓
,
一b 2
A B=
’
召 石 C 泛二 刃亡泛
+ b
,
显然 H
一“
C
(
,
G C《 D C 《 E C《 F C
万 (孚 ) J了 甲了
E 。 裁 默B
2 二石 一 l 而干 石 平 丽 刃石
也 谈 基 本 不 等 式组 的 几 何 证法
(武 汉 市 3 7中 ) 叶 年折
[
(
1
1 〔 2 〕 文介 绍 了 基 本 不 等式 组 多决 簇 召砧 U U
个
,
、
`
Za b
F E
亘的 几 何证法 华 气库王
本 文 再 介 绍 几种 几 何 B 四 ( 2)
,
证法
“
.
,
Z
这 几种证 法 都很简单
,
月 B 是 曰 O 的 直径
,
,
BC 是0 0 的
、
A D 二 汀 刁石 几刁刃 二 斌 丽 一些
AE =
以万万 二刁刀
,
B 尸 二 矿丁刀五 A D = 吞
一
a
,
易 证召
F 均在 B
,
F 梦A
·
一、
丽、
坠 亘 十b
0 2
2
汀
,
设A C =
a
则
,
平
~ 一
刀乃 =
,
一 b
2
—
,
万厂 =
一b
,
扩万
。
过 B 二扩 灭 亡二 又 万 二 斌菇
,
,
2 文的证 1〕 【 它们与 【 」
、
法 比 较 起来
直 观 性 更好
.
,
l ] 并且 比 【
2 文还多 【 〕 证
2
Z
沪沪 , ~
了 一种 平均值
即 负二 次幂平 均 值
闪
石 亘 少 厂
a Z
、
,
+ b
下面我
是 A D B的 中点
E 是 O C 的 中垂线 与 尸 D
,
的 交 点
.
们就 来 证 明
[
2
, .
、
明知 白
.
一 组 代数 不 等 式 的几 何证 明
.
成 立 由图形 知 当且仅 当C 与 B 重 合 时 ( 4 ) 取 等号 即 当且 仅 当a 二 6 时 ( 1 ) 取等 号
,
1 98 2
,
7
〕 缪泽南
19 8 1
.
.
一 个 不等 式 的又 一 个 几何 证 法
.
. 砂 、
.
<数 学
当0 0
.
AD
( 3) 即 ( 1 )
,
由 图形 知
当且 仅
为一点 时 ( 3 ) 取 等 号
a 即 当且 仅 当 ~
b 时(
1 ) 取 等号
A
证法 5
CM = CB
Z
见图 5
,
铆
.
图( 5)
月 仔 是④ O
、
的直 径
,
,
D C I 」B ,
2刁 B
显然M 在 C
B之间
F 是过
M 垂直
,
图 ( 4)
a
B D B C B E
十b
` `
s JJ e
乙、 口 O`
,
Z
一
、
了 户攀 2
B 万
、
证法 3
产产一~ 、
、
见图 3
.
,
刁F
产
是 ④ O 的切线
、
,
,
F
是 切点 刀
, ,
、
是 B F C 的 中点
( 门 即
、
,
E 在B F C 上
、
一
显然
.
BF
(
BD
《 B 月蕊 B C 《
,
在F
D
之 间连 A 刀
,
F
难厂
一 _一 _ 一, = V 月 C 刁万 = 丫 a o
,
。 a + b 八 一 滩 。 = 岌 口 = 一下 `
」
,
,
32
·
AD
三 一 不率 司 而 不百沙 丫
`
妙
、
名
八
,
丝 少
A万
Za b
a
+b
户
左
子 汇 李 亘三 塑 AD N +b
a Z
显然 A H ( 成立
.
过G
,
( A F 镇月 E (
月B~ b
丁
·
A E
且 A E “ A O 易证万 设与 ④ O 分 别 交 于 H G
.
( 1 ) 成 立 由图形 知
当且 仅 当 A
C
E 重合时( l )
.
设月 C 二 a
一
,
则
J
取等 号
,
即 当且 仅 当 = b 时 ( 1 ) 取 等 号
。
证法 2
·
见图 2
,
月 刀是 曰 O 的 直径
,
C D 土A B
乙G
C D 二乙E C D
乙H
CD~
,
乙尸 C D
A C 十CB
2
’
了
a > 0 (
,
漂
b>
、
黑 、 、 宁 幻全产
a
(` ,
设
月C =
一
a
C B~ b
则
,
D C =
万 ~ 召砧 斌 万亡丁 己
E C = 五O 二
) 此式 当且 仅 当 0
= b
时 取 等号
.
一
宁
`
,
F c
一“
产
, f /a + b \
一
“
,
“” -
塑 刀C
,
立
,
由 图形 知
当 且 仅 当 C 与 O 重 合时 (2 ) 取等 号
( 2) 即 ( I )成 即
a 当 且 仅 当 = b 时 ( I ) 取等 号 二
一
一
,
一
亡
’
~
犷 f j +2 门
= 习
犷落一 2
.
甲
又了 2
2
一
~ 心
一
ù2 n 一 a乙
,
BF
图(3)
.
些乡 旦 士些
十b ,
`
A C 刁召 Za b , 月G 二 = 云 AE 干石 A C 汉B _
。
月乙 ,
以 月方
_ 一
2
十 廿万 公
Z
才
留一 育 _
。 人r ,
J
,
刁月 二
/
V
/沙 + b 留司 1一
~
,
。 月 乎 _ Za b 点 甘 ~ 习万 ~ 百 千石
一
刀 廿汤 十 刀户 活
,
`
月F
一叼
.
显 然过 H ( A G 《 A 刀 《 泥 E 《 月 F
于 A B 的 直 线与 A D B 的 交 点
沪尸自、
、
N 是 C M 的 中点
、
,
,
E
、
是
、
过 N 垂 直 于 A B 的 直线 与刁 D B 的 交点 连 接月 E 效 F
设分 别 与 C D 交 于 G
~
、
H
设A B
,
~
一
A C 二6
,
则
证法 』
切 线 刀百 =
C 之间
.
见图 4
DC
2
a
。
.
通讯》
明* . , 户 、 砂 、
口 .
2
翻、 沪、 尸、
.
砂内 场 沪峨 、 护呜 、 碑卢、
.
产、 . -
.
、
.
尹、
.
产、 “
`
、 . 户、
.
尸 ,、 产、
.
沪门 、
户 、 J 门`
闷
产、
.
户、
` .
、
. 口
尸 峨、 浏户 、 , 产 、 . 尹崎 、 户 、 场 产
《
初 中 数学 课 外 活 动 辅 导 资 料 专辑 》 征 订 启事
为 了 给 初 中各 年 级 数 学课外 活动提 供 资料
I
:
图( )
I
叫
\
—
2
,
口
气.
/
~
.
一
一 口 \—2 /
’
2 /a 一 b \
二二
犷
j 腼 千反 一
-
叼
2
—
延长 E C 交0 0 于 G
`
,
G C二 G
C=
鲤 万
’
a
b
2
C = J
千石
a
证法
了
t
见图
,
I
乙E
、
C B 二 乙 C 月 B 二 乙A D B ~
一
匕D
F B 二R
,
艺
,
A C = C君
设BC + AC “
.
(幻 即( 1)
,
成 立 由图形知 当 且 仅 当 C 与 B 重合 时 ( 习取等 号 即 当且 仅当 a = b 时 ( 1 ) 取 等号
,
.
A
H
=
塑 A
户
’
N
/巫 逐… a
Z
+ b
Z
参
考
,
文
献
,
显然 A H (
.
A G簇A B《 A E
《
.
妊F
( 4) 即 ( 1 )
〔1 1 张 君达
《 数 学 通报 》
a
,
BC 一
瓢
/
N
a Z
同 理 可得
c H
-
) 夕 旦 户
C
b
汀
C只~ b
则
,
二一宁 C A
一
-
a
豆
豆 舀 加
嚓
,
一b 2
A B=
’
召 石 C 泛二 刃亡泛
+ b
,
显然 H
一“
C
(
,
G C《 D C 《 E C《 F C
万 (孚 ) J了 甲了
E 。 裁 默B
2 二石 一 l 而干 石 平 丽 刃石
也 谈 基 本 不 等 式组 的 几 何 证法
(武 汉 市 3 7中 ) 叶 年折
[
(
1
1 〔 2 〕 文介 绍 了 基 本 不 等式 组 多决 簇 召砧 U U
个
,
、
`
Za b
F E
亘的 几 何证法 华 气库王
本 文 再 介 绍 几种 几 何 B 四 ( 2)
,
证法
“
.
,
Z
这 几种证 法 都很简单
,
月 B 是 曰 O 的 直径
,
,
BC 是0 0 的
、
A D 二 汀 刁石 几刁刃 二 斌 丽 一些
AE =
以万万 二刁刀
,
B 尸 二 矿丁刀五 A D = 吞
一
a
,
易 证召
F 均在 B
,
F 梦A
·
一、
丽、
坠 亘 十b
0 2
2
汀
,
设A C =
a
则
,
平
~ 一
刀乃 =
,
一 b
2
—
,
万厂 =
一b
,
扩万
。
过 B 二扩 灭 亡二 又 万 二 斌菇
,
,
2 文的证 1〕 【 它们与 【 」
、
法 比 较 起来
直 观 性 更好
.
,
l ] 并且 比 【
2 文还多 【 〕 证
2
Z
沪沪 , ~
了 一种 平均值
即 负二 次幂平 均 值
闪
石 亘 少 厂
a Z
、
,
+ b
下面我
是 A D B的 中点
E 是 O C 的 中垂线 与 尸 D
,
的 交 点
.
们就 来 证 明
[
2
, .
、
明知 白
.
一 组 代数 不 等 式 的几 何证 明
.
成 立 由图形 知 当且仅 当C 与 B 重 合 时 ( 4 ) 取 等号 即 当且 仅 当a 二 6 时 ( 1 ) 取等 号
,
1 98 2
,
7
〕 缪泽南
19 8 1
.
.
一 个 不等 式 的又 一 个 几何 证 法
.
. 砂 、
.
<数 学
当0 0
.
AD
( 3) 即 ( 1 )
,
由 图形 知
当且 仅
为一点 时 ( 3 ) 取 等 号
a 即 当且 仅 当 ~
b 时(
1 ) 取 等号
A
证法 5
CM = CB
Z
见图 5
,
铆
.
图( 5)
月 仔 是④ O
、
的直 径
,
,
D C I 」B ,
2刁 B
显然M 在 C
B之间
F 是过
M 垂直
,
图 ( 4)
a
B D B C B E
十b
` `
s JJ e
乙、 口 O`
,
Z
一
、
了 户攀 2
B 万
、
证法 3
产产一~ 、
、
见图 3
.
,
刁F
产
是 ④ O 的切线
、
,
,
F
是 切点 刀
, ,
、
是 B F C 的 中点
( 门 即
、
,
E 在B F C 上
、
一
显然
.
BF
(
BD
《 B 月蕊 B C 《
,
在F
D
之 间连 A 刀
,
F
难厂
一 _一 _ 一, = V 月 C 刁万 = 丫 a o
,
。 a + b 八 一 滩 。 = 岌 口 = 一下 `
」
,
,
32
·
AD
三 一 不率 司 而 不百沙 丫
`
妙
、
名
八
,
丝 少
A万
Za b
a
+b
户
左
子 汇 李 亘三 塑 AD N +b
a Z
显然 A H ( 成立
.
过G
,
( A F 镇月 E (
月B~ b
丁
·
A E
且 A E “ A O 易证万 设与 ④ O 分 别 交 于 H G
.
( 1 ) 成 立 由图形 知
当且 仅 当 A
C
E 重合时( l )
.
设月 C 二 a
一
,
则
J
取等 号
,
即 当且 仅 当 = b 时 ( 1 ) 取 等 号
。
证法 2
·
见图 2
,
月 刀是 曰 O 的 直径
,
C D 土A B
乙G
C D 二乙E C D
乙H
CD~
,
乙尸 C D
A C 十CB
2
’
了
a > 0 (
,
漂
b>
、
黑 、 、 宁 幻全产
a
(` ,
设
月C =
一
a
C B~ b
则
,
D C =
万 ~ 召砧 斌 万亡丁 己
E C = 五O 二
) 此式 当且 仅 当 0
= b
时 取 等号
.
一
宁
`
,
F c
一“
产
, f /a + b \
一
“
,
“” -
塑 刀C
,
立
,
由 图形 知
当 且 仅 当 C 与 O 重 合时 (2 ) 取等 号
( 2) 即 ( I )成 即
a 当 且 仅 当 = b 时 ( I ) 取等 号 二
一
一
,
一
亡
’
~
犷 f j +2 门
= 习
犷落一 2
.
甲
又了 2
2
一
~ 心
一
ù2 n 一 a乙
,
BF
图(3)
.
些乡 旦 士些
十b ,
`
A C 刁召 Za b , 月G 二 = 云 AE 干石 A C 汉B _
。
月乙 ,
以 月方
_ 一
2
十 廿万 公
Z
才
留一 育 _
。 人r ,
J
,
刁月 二
/
V
/沙 + b 留司 1一
~
,
。 月 乎 _ Za b 点 甘 ~ 习万 ~ 百 千石
一
刀 廿汤 十 刀户 活
,
`
月F
一叼
.
显 然过 H ( A G 《 A 刀 《 泥 E 《 月 F
于 A B 的 直 线与 A D B 的 交 点
沪尸自、
、
N 是 C M 的 中点
、
,
,
E
、
是
、
过 N 垂 直 于 A B 的 直线 与刁 D B 的 交点 连 接月 E 效 F
设分 别 与 C D 交 于 G
~
、
H
设A B
,
~
一
A C 二6
,
则
证法 』
切 线 刀百 =
C 之间
.
见图 4
DC
2
a
。
.
通讯》
明* . , 户 、 砂 、
口 .
2
翻、 沪、 尸、
.
砂内 场 沪峨 、 护呜 、 碑卢、
.
产、 . -
.
、
.
尹、
.
产、 “
`
、 . 户、
.
尸 ,、 产、
.
沪门 、
户 、 J 门`
闷
产、
.
户、
` .
、
. 口
尸 峨、 浏户 、 , 产 、 . 尹崎 、 户 、 场 产
《
初 中 数学 课 外 活 动 辅 导 资 料 专辑 》 征 订 启事