2019版高考数学文一轮新题AB卷全国：课时分层作业 五

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课时分层作业五十五
用样本估计总体
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·榆林模拟)一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8,则估计样本在[40,60)内的数据个数为 ( )
A.14
B.15
C.16
D.17
【解析】选B.因为一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8,
所以样本中数据在[20,60)上的频数为:30×0.8=24,
所以估计样本在[40,60)内的数据个数为:24-4-5=15.
2.甲乙丙丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛,四人的平均成绩和方差如表:
平均成绩
从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛,最佳人选是( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【解析】选 C.乙、丙的平均成绩最好,且丙的方差小于乙的方差,所以丙的发挥较稳定,所以最佳人选是丙.
【变式备选】在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居民显示可以正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是( )
①平均数≤3;
②标准差s≤2;
③平均数≤3且标准差s≤2;
④平均数≤3且极差小于或等于2;
⑤众数等于1且极差小于或等于1.
A.①②
B.③④
C.③④⑤
D.④⑤
【解题指南】通过举反例说明命题不成立,或根据平均数和标准差的统计意义,找出符合要求的选项即可.
【解析】选D.①错.举反例:0,0,0,0,0,0,7;其平均数≤3,但不符合上述指标;
②错.举反例:7,7,7,7,7,7,7;其标准差s=0≤2,但不符合上述指标;
③错.举反例:0,3,3,3,3,3,6;其平均数≤3且标准差s≤2,但不符合上述指标;
④对.若极差小于2,显然符合上述指标;
若极差小于或等于2,有可能(a)0,1,2;
(b)1,2,3;(c)2,3,4;(d)3,4,5;(e)4,5,6.
在平均数≤3的条件下,只有(a)(b)(c)成立,符合上述指标;
⑤对.在众数等于1且极差小于或等于1的条件下,则最大数不超过5,符合指标.
3.(2018·石嘴山模拟)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.如图是根据环保部门某日早6点至晚9点在A县、B县两个地区附近的PM2.5监测点统计的数据(单位:毫克/立方米)列出的茎叶图,A县、B县两个地区浓度的方差较小的是( )
A.A县
B.B县
C.A县、B县两个地区相等
D.无法确定
【解析】选A.根据茎叶图中的数据可知,A县的数据都集中在0.05和0.08之间,数据分布比较稳定,而B县的数据分布比较分散,不如A县
数据集中,所以A县的方差较小.
4.(2018·芜湖模拟)某市中心购物商场在“双11”开展的“买三免一”促销活动异常火爆,对当日8时至22时的销售额进行统计,以组距为2小时的频率分布直方图如图所示,已知12时至16时的销售额为90万元,则10时至12时的销售额为( )
A.120万元
B.100万元
C.80万元
D.60万元
【解析】选 D.该商场11月11日8时至22时的总销售额为
=200(万元),所以10时至12时的销售额为200×0.150×2=60(万元).
5.(2018·牡丹江模拟)某学生在一门功课的22次考试中,所得分数茎叶图如图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( )
A.117
B.118
C.118.5
D.119.5
【解题指南】找出22次考试分数最大为98,最小为56,可求极差,从小到大排列,找出中间两数为76,76,可求中位数,从而可求此学生该
门功课考试分数的极差与中位数之和.
【解析】选 B.22次考试分数最大为98,最小为56,所以极差为98-56=42,从小到大排列,中间两数为76,76,所以中位数为76.
所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42+76=118. 【变式备选】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
A.46,45,56
B.46,45,53
C.47,45,56
D.45,47,53
【解析】选A.茎叶图中共有30个数据,所以中位数是第15个和第16
个数据的平均数,即×(45+47)=46,排除C,D;再计算极差,最小数据是12,最大数据是68,所以68-12=56.
【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面:(1)中位数计算时中间两数找不准.(2)极差与方差概念混淆导致错误.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·江苏高考)已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5.则该组数据的方差是________.
【解析】5个数的平均数
==5.1,所以它们的方差
s2=[(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2]=0 .1.
答案:0.1
7.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中x的值为________.
(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为________.
【解析】(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1-(0.002 4+
0.003 6+0.006 0+0.002 4+0.001 2)×50=0.22,于是x=
=0.004 4.
(2)因为数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6+0.006 0+0.004 4)×50=0.7,所以所求户数为0.7×100=70.
答案:(1)0.004 4 (2)70
【误区警示】在频率分布直方图中,小矩形的面积表示频率,纵坐标表
示,解本题时,易把频率0.22误认为x值而出错,x的值应由频率0.22除以组距50求得.
8.(2018·阳江模拟)随着智能手机的普及,网络购物越来越受到人们的青睐,某研究性学习小组对使用智能手机的利与弊随机调查了10位同学,得到的满意度打分如茎叶图所示.若这组数据的中位数、平均数分别为a,b,则a,b的大小关系是________.
【解析】已知中的茎叶图的数据分别
为:75,76,77,81,83,87,89,93,94,95.其中位数a=×(83+87)=85,
平均数b=×(75+76+77+81+83+87+89+93+94+95)=85.
答案:a=b
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·郑州模拟)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示,已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.
(1)求出m,n的值.
(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差和
,并由此分析两组技工的加工水平.
【解析】(1)根据题意可知:=(7+8+10+12+10+m)=10,
=(9+n+10+11+12)=10,
所以m=3,n=8.
(2)=[(7-10)2+(8-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(13-10)2]=5.2,
=[(8-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(12-10)2]=2,因为
=,>,
所以甲、乙两组的整体水平相当,乙组更稳定一些.
10.(2018·郑州模拟)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值.
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分.
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
【解析】(1)由频率分布直方图知(0.04+0.03+0.02+2a)×10=1,因此a=0.005.
(2)55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73.所以这100名学生语文成绩的平均分为73分.
(3)分别求出语文成绩在分数段[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数依次为0.05×100=5,0.4×100=40,0.3×100=30,0.2×100=20.
所以数学成绩分数段在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数依次为5,20,40,25.
所以数学成绩在[50,90)之外的人数有100-(5+20+40+25)=10(人). 【变式备选】(2018·六安模拟)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时,则视为合格品,否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5 000件进行检测,结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm),将所得数据分组,得到如下频率分布表:
(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置.
(2)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率.
(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品.据此估算这批产品中的合格品的件数.
【解析】(1)频率分布表如表所示.
(2)由频率分布表知,该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为
0.50+0.20=0.70.
(3)设这批产品中的合格品数为x件,依题意=,
解得x=-20=1 980.
所以该批产品的合格品件数约是1 980.
1.(5分)已知样本数据x1,x2,…,x10,其中x1,x2,x3的平均数为a;x4,x5,x6,…,x10的平均数为b,则样本数据的平均数为( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.依题意可得x1+x2+x3=3a,
x4+x5+x6+…+x10=7b,
=
=
=,
所以样本数据的平均数为.
2.(5分)(2018·南昌模拟)一次数学考试后,某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人,记录他们的考试成绩,得到如图所示的茎叶图.已知甲班6名同学成绩的平均数为82,乙班6名同学成绩的中位数为
77,则x-y= ( )
A.3
B.-3
C.4
D.-4
【解题指南】根据平均数和中位数的定义和公式进行计算,建立方程公式进行求解即可.
【解析】选 C.已知甲班6名同学成绩的平均数为82,即80+(-3-8+1+x+6+10)=82,
即(6+x)=2,则6+x=12,x=6.
乙班6名同学成绩的中位数为77,
若y=0,则中位数为=76,不满足条件.
若y>0,则中位数为(70+y+82)=77,
即152+y=154,则y=2,则x-y=6-2=4.
3.(5分)(2018·马鞍山模拟)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,若这200名学生中每周的自习时间不超过m小时的人数为164,则
m的值约为( )
A.26.25
B.26.5
C.26.75
D.27
【解题指南】根据频率分布直方图,计算出每组的频率,再求出对应的频数,求出自习时间不超过m小时的频率为0.82,即可求出答案. 【解析】选B.因为200名学生中每周的自习时间不超过m小时的人
数为164,则自习时间不超过m小时的频率为:=0.82,
第一组的频率为0.05,第二组的频率为0.25,第三组的频率为0.4,第四组的频率为0.2,第五组的频率为0.1,
其中前三组的频率之和为0.05+0.25+0.4=0.7,其中前四组的频率之
和为0.7+0.2=0.9,则0.82落在第四组,m=25+×2.5=26.5.
4.(12分)有A,B,C,D,E五位工人参加技能竞赛培训.现分别从A,B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次.用茎叶图表示这两组数据:
(1)A,B二人预赛成绩的中位数分别是多少?
(2)现要从A,B中选派一人参加技能竞赛,从平均状况和方差的角度
考虑,你认为派哪位工人参加合适?请说明理由.
(3)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛,求A,B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率.
【解析】(1)A的中位数是=84,B的中位数是=83.
(2)派B参加比较合适.理由如下:
=(78+79+81+82+84+88+93+95)=85,
=(75+80+80+83+85+90+92+95)=85,
=[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(9 3-85)2+(95-85)2]=35.5,
=[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(9 2-85)2+(95-85)2]=41,
因为=,但<,说明B稳定,派B参加比较合适.
(3)5位工人中选2人有10种:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D), (B,E),(C,D),(C,E),(D,E);A,B都不参加的有3种:(C,D),(C,E),(D,E),
A,B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率P=1-=.
5.(13分)(2018·邯郸模拟)今年西南一地区遭遇严重干旱,某乡计划向上级申请支援,为上报需水量,乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量,得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表:(月均用水量的单位:吨)
(1)请完成该频率分布表,并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图.
(2)估计样本的中位数是多少.
(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水,若该乡共有1 200户,请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨?
【解题指南】(1)由各频率之和为1,各频数之和为100求解.
(2)根据中位数前的频率之和为0.5求解.
(3)先求出样本中的月用水量的平均值,再估计上级支援该乡的月调
水量.
【解析】(1)频率分布表与相应的频率分布直方图和频率分布折线图如下:
(2)设中位数为x,因为月均用水量在[0.5,4.5)内的频率是(0.06+0.12)×2=0.36,月均用水量在[0.5,6.5)内的频率是(0.06+0.12+0.20)×2=0.76,所以x∈[4.5,6.5),则(x-4.5)×0.2=0.5-0.36,解得x=5.2.
故中位数是5.2.
(3)该乡每户月均用水量估计为 1.5×0.12+3.5×0.24+5.5×0.40+7.5×0.18+9.5×0.06=5.14,5.14×1 200=6 168.
答:上级支援该乡的月调水量是6 168吨.
【变式备选】某中学一个高三数学教师对其所教的两个文科班(每班各50名学生)的学生的一次数学成绩进行了统计,高三年级文科数学平均分是100分,两个班数学成绩的频率分布直方图如图所示(总分:150分):
(1)文1班数学平均分是否超过校平均分?
(2)从文1班中任取一人,其数学成绩达到或超过校平均分的概率是多少?
(3)文1班一个学生对文2班一个学生说:“我的数学成绩在我班是中位数,从你班任抽一人的数学成绩不低于我的成绩的概率是0.60”,则文2班数学成绩在[100,110)范围内的人数是多少?
【解析】(1)文1班数学平均分至少是
=100.4,
所以文1班数学平均分超过校平均分.
(2)文1班在[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分数段共有人数是33,从文1班中任取一人,其数学成绩达到或超过校平均分的概率是P=0.66.
(3)设文1班这个学生的数学成绩是x,则x∈[100,110),文2班数学成绩在[80,90),[90,100),[100,110)范围内的人数分别是b,c,y,
如果x=100,则=0.60,y=15,即文2班数学成绩在[100,110)范围内的人数至少是15人.
又因为
所以由②得:
所以4+12+y≤35=b+c+y≤10+y-1+y⇒13≤y≤19,则文2班数学成绩在[100,110)范围内的人数是15或16或17或18或19.
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