人教新课标版数学高二选修2-1导学案 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教师版

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
【教学目标】
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；
2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；
3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》课件“新课导入”部分，通过对平面向量的基本定理和正交分解及坐标表示知识的回顾，引入本节课要学习的空间向量的正交分解及其坐标表示的知识.
二、自主学习
知识点一 空间向量基本定理
(1)如果三个向量a ，b ，c 共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．
(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的起点．
知识点二 空间向量的坐标表示
(1)设e 1，e 2，e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1，e 2，e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起
点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，
z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )，此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x ，y ，z )．
(2)向量p 的坐标是把向量p 的起点平移到坐标原点O ，则OP →的终点P 的坐标就是向量p
的坐标，这样就把空间向量坐标化了.
三、合作探究
问题1 平面向量基本定理的内容是什么？
答案 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量
a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
问题2 平面向量的坐标是如何表示的？
答案 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝x i ＋y j ，这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．
设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是点A 的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立(O 是坐标原点)．
探究点1 空间向量的基底
例1 若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底？
解 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .
∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面．
∴{
1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．
∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底．
反思与感悟 空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．
探究点2 用基底表示向量
例2 如图所示，在平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，AB →＝
a ，AD →＝
b ，AA ′→＝
c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是
C ′
D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，
b ，
c }表示以下向量．
(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.
解 连接AC ，AD ′.
(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(a ＋b ＋c )．
(2)AM →＝12(AC →＋AD →′)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12
c . (3)AN →＝12(AC →′＋AD →′)＝12[(AB →＋AD →＋AA →′)＋(AD →＋AA →′)]＝12
a ＋
b ＋
c . (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45CA →′＝AC →＋45
(AA →′－AC →) ＝15AC →＋45AA →′＝15(AB →＋AD →)＋45AA →′＝15a ＋15b ＋45
c . 反思与感悟 求解空间向量在某基底下的坐标的关键：一是运用空间向量的基本定理，二是理解空间向量的坐标表示的意义．
探究点3 应用空间向量坐标表示解题
例3 棱长为1的正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，E 、F 、G 分别为棱DD ′、
D ′C ′、BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→}为基底，求下列向量的坐标．
(1)AE →，AG →，AF →；
(2)EF →，EG →，DG →.
解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD →′＝AD →＋12
AA →′＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12
AD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0， AF →＝AA ′→＋A ′D →′＋D ′F →＝AA →′＋AD →＋12
AB →＝⎝⎛⎭⎫12，1，1. (2)EF →＝AF →－AE →＝(AA →′＋AD →＋12AB →)－(AD →＋12AA →′)＝12AA →′＋12
AB →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12， EG →＝AG →－AE →＝(AB →＋12AD →)－(AD →＋12
AA →′) ＝AB →－12AD →－12
AA →′＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12， DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12
AD → ＝(1，－12
，0)． 反思与感悟 (1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e 1，e 2，e 3}，a ＝λe 1＋μe 2＋k e 3，则a 的坐标为(λ，μ，k )．
(2)AB →的坐标等于终点B 的坐标减去起点A 的坐标．
四、当堂测试
1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，则a 、b 、c 共面；
②若两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线； ③若a 、b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 C
解析 ①正确．基底的量必须不共面；②正确；③不对，a ，b 不共线．当c ＝λa ＋μb 时，a 、b 、c 共面，故只有①②正确．
2．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25
AB →，则C 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－65
，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65
，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65
，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，85
答案 A
解析 设点C 坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )．
又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25
AB →， ∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85
. 3．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( )
A.OA →、OB →、OC →共线
B.OA →、OB →共线
C.OB →、OC →共线
D ．O 、A 、B 、C 四点共面
答案 D
解析 由OA →、OB →、OC →不能构成基底知OA →、OB →、OC →三向量共面，所以O 、A 、B 、C 四
点共面．
4．设a ，b ，c 是三个不共面向量，现从①a －b ，②a ＋b －c 中选出一个使其与a ，b 构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．
答案②
解析①∵a－b与a，b共面，
∴a－b与a，b不能构成空间的一个基底．
②∵a＋b－c与a，b不共面，∴a＋b－c与a，b构成空间的一个基底．
5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝
i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是________．
答案(12,14,10)
解析设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，
则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i
＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
(1)基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．
(2)空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．
(3)用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．。