2022-2021学年高二数学同步单元双基双测“AB”卷(必修2)月考02 第二章综合测试(B卷)

（测试时间：120分钟满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．下列说法不正确的是( )
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形肯定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线肯定共面
C．过直线上一点可以作很多条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
解析：选D A 若一组对边平行就打算了共面．在同一平面内，一组对边平行且相等的四边形肯定是平
2．下列说法正确的是( )
A．都与直线a相交的两条直线确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．过一条直线的平面有很多多个
D．两个相交平面的交线是一条线段
解析：选C 当这两条直线异面时不能确定平面，A错误．两条直线异面，则不能确定平面，B错误．两个相交平面的交线是一条直线，D错误．
3.如图在四周体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点肯定( )
A．在直线DB上
B．在直线AB上
C．在直线CB上
D．都不对
解析：选A ∵EF与GH相交，设EF∩GH＝M，
∴M∈EF，M∈GH.
又∵EF⊂面ABD，GH⊂面BCD，∴M∈面ABD，M∈面BCD，又∵面ABD∩面BCD＝BD，∴M∈BD，故选A.
4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
解析：选B CE⊂平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CE.
5．(2021·河南平顶山高一调研)给定下列四个命题：
①若两个平面有很多个公共点，则这两个平面重合；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同始终线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是( )
A．①和②B．②和③
C．③和④D．②和④
解析：选D ①错，两个平面相交时，也有很多个公共点．③错，比如a⊥α，b⊂α，c⊂α，明显有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故②④正确．
6．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是( )
A.
1
2
B.
3
2
C.
6
3
D.
6
2
7．在四周体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的余弦值为( )
A.1
2
B.
1
3
C.
3
3
D.
2
3
8．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B 垂直于同一平面的两个平面不肯定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．
9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四周体ABCD，则在四周体ABCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
解析：选D 易知：△BCD中，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°.
又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，
而AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.
10．已知：平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度( )
A．13 B.151
C．12 3 D．15
11.(2022河北唐山高二期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N 是A1B1上的动点,则直线NO,AM的位置关系是()
A.平行
B.相交
C.异面垂直
D.异面不垂直
解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1上的动点,连接A1O,B1O,易证AM⊥平面A1B1O,所以直线NO⊥AM,且NO,AM为异面直线.故选C.
答案:C
12.(2022山西太原五中高二月考)已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上存在点Q满足
PQ⊥DQ,则a的最小值是()
A.1 B .C.2D.4
解析:假设在BC边上存在点Q,使得PQ⊥QD.
由于PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.
答案:D
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的即可)．
答案：BM⊥PC(其他合理即可)
14．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是________．
解析：由平面BCC1B1⊥面ABCD
知MN⊥面ABCD.
∴MN⊥AB.
答案：垂直
15．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF ＝3，则异面直线AD与BC所成角的大小为________．
解析：取AC中点M，连接EM，FM，F为DC中点，M为AC中点，∴FM∥AD，且FM＝
1
2
AD＝1，同理EM∥
∴AD与BC所成角为60°.
答案：60°
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下三个结论．
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB 与平面BCD成60°的角；
说法正确的命题序号是________．
解析：如图所示，①取BD中点E，连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．
②设正方形的边长为a，
则AE＝CE ＝
2
2
a.
由①知∠AEC＝90°是直二面角A—BD—C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，
∴△ACD是等边三角形，故②正确．
③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．
答案：①②
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本小题满分12分)(2022·宁德高一检测)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA ⊥平面ABCD，CD⊥PC，
(1)证明：CD⊥平面PAC；
(2)若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB.
∴CE∥平面PAB.
18．(本小题满分12分)(2022·江西高考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.
(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；
(2)求多面体CDEFG的体积．
解：(1)证明：由已知可得AE＝3，BF＝4，则折叠完后EG＝3，GF＝4，又由于EF＝5，所以可得EG⊥GF.又由于CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥平面CFG，所以平面DEG⊥平面CFG.
(2)过点G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G－EFCD的高，所以所求体积为
1
3
S长方形DEFC·GO＝
1
3
×4×5×
12
5
＝16.
19．(本小题满分12分)如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．
解：(1)∵A′C′∥AC，
(2)如图所示，
作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC ′⊥平面ABCD ，
∴OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △OAE 中，OE ＝1
2
，
AE ＝
12
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52
，
∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝
55
. (3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O . ∴OC ⊥平面AOB . 又∵OC ⊂平面AOC ， ∴平面AOB ⊥平面AOC .
即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°.
20．(本小题满分14分)如图所示，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，
AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.
(1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD .
∴四边形A 1OCC 1为平行四边形，∴C 1C ∥A 1O ， 又A 1O ⊂平面A 1BD ，C 1C ⊄平面A 1BD ， ∴CC 1∥平面A 1BD .
21.(2021陕西高考)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=,AB=BC=AD=a ,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到图②中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1-BCDE.
(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;
(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1-BCDE 的体积为36
,求a 的值.
(1)证明:在题图①中,由于AB=BC=AD=a ,E 是AD 的中点,∠BAD=,所以BE ⊥AC.
即在题图②中,BE ⊥A 1O ,BE ⊥OC ,
从而BE⊥平面A1OC,
连接MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线.
又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.
22.在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.
(1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1;
(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.
解:(1)由于四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,
所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.
由于AB,AC为平面ABC内两条相交直线,
所以AA1⊥平面ABC.
由于直线BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.
又由已知,AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,
所以BC⊥平面ACC1A1.
(2)取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.
由已知,O为AC1的中点.。