数学建模作业8牙膏销售量模型

subplot(2,1,2);plot(x2,y,'o',x3,y2,'b');title('ͼ2 y¶Ôx2µÄÉ¢µãͼ')
从图1可以发现，随着1x 的增加，y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型
011(1)y x ββε
=++
拟合的（其中ε是随机变量）。

而在图2中，当2x 增大时，y 有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型
2
01222(2)y x x βββε
=+++
拟合的。

综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型
2
0112232(3)y x x x ββββε
=++++
（3）式右端1x 和2x 称为回归变量（自变量），2
0112232x x x ββββ+++是给定价差1x ，广告费
用2x 时，牙膏销售量y 的平均值，其中的参数0123,,,ββββ称为回归系数，由表1的数据估计，影响y 的其他因素作用都包含在随机误差ε中。

如果模型选择合适，ε应该大致服从均值为0的正态分布。

五、模型求解
（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果） 2）、确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）： 建立程序如下：
x1=[ 0 0 ]'; x2=[ ]'; X=[ones(30,1) x1 x2 x2.^2]; Y=[ ]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats
结果如下： b = bint =
stats =
表2模型（3）的计算结果
参数
参数估计值
参数置信区间
0β [，] 1β
[，] 2β
[,] 3β
[,]
2R = F= p< 2s =
结果分析：表2显示，2
R =指因变量y （销售量）的%可由模型确定，F 值远远超过F 检验的临界值，p 远小于α，因而模型（3）从整体来看是可用的。

表
2
的回归系数给出了模型（3）中0123,,,ββββ的估计值，即
17.3244, 1.3070, 3.6956,0.34860312ββββ∧
∧
∧
∧
===-=。

检查他们的置信区间发现，只有
2β的置信区间包含零点（但区间右端点距零点很近），表明回归变量2x （对因变量y 的影响）
不是太显著，但由于2
2x 是显著的，我们仍将变量2x 保留在模型中。

六、模型改进
3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）：
模型（3）中回归变量1x 和2x 对因变量y 的影响是相互独立的，即牙膏销售量y 的均值与广告费用2x 的二次关系由回归系数2β和3β确定，而不依赖于价格差1x ，同样，y 的均值与1x 的线性关系由回归系数1β确定，而不依赖于2x 。

根据直觉和经验可以猜想，1x 和2x 之间的交互作用会对y 有影响，不妨简单地用1x ，2x 的乘积代表它们的相互作用，于是将模型（3）增加一项，得到
2
0112232412(5)y x x x x x βββββε
=+++++
在这个模型中，y 的均值与2x 的二次关系为2
241232()x x x βββ++，由系数234,,βββ确定，
并依赖于价格1x 。

建立程序如下：
x1=[ 0 0 ]'; x2=[ ]'; X=[ones(30,1) x1 x2 x2.^2 x1.*x2]; Y=[ ]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats
结果如下： b = bint =
stats =
表3模型（5）的计算结果
参数
参数估计值
参数置信区间
0β [,] 1β
[,] 2β
[，] 3β [，] 4β
[，]
2R =0.9209 F= p< 2s =
表3与表2的结果相比，2
R 有所提高，说明模型（5）比模型（3）有所进步。

并且，所有参数的置信区间，特别是1x ,2x 的交互作用项12x x 的系数4β的置信区间不包含零点，所以有理由相信模型（5）比模型（3）更符合实际。

4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10） 模型的进一步改进如下：
完全二次多项式模型：与1x 和2x 的完全二次多项式模型
22
0113124152(10)y x x x x x βββββε
=+++++
相比，模型（5）只少2
2x 项，我们不妨增加这一项，建立模型（10）。

这样做的好处之一是MATELAB
统计工具箱中有直接的命令rstool 求解，并且以交互式画面给出y 的估计值y
和预测区间。

建立程序如下：
x1=[ 0 0 ]'; x2=[ ]'; y=[ ]'; x=[x1,x2];
rstool(x,y,'quadratic')
结果如下：
从上表得到模型（10）的回归系数的估计值为
012345(,,,,,)(32.0984,14.7436,-8.6367,-2.1038,1.1074,0.7594)βββββββ∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
==
故回归模型为：
22
121212y=32.0984+14.7436x -8.6367x -2.1038x x +1.1074x +0.7594x ε+
剩余标准差为，说明此回归模型的显著性比较好。