沪教版高二年级第一学期领航者期中测试卷

沪教版高二年级第一学期领航者期中测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．数列32-，54，78-，916
，⋅⋅⋅的一个通项公式为______.
2．已知数列{}n a 满足0n a >，13a =()1n *=
∈N ，则n a =______. 3．在小于100的自然数种，能被3或7整除的数共有______个.
4．已知数列{}n a 的前n 项和2231n S n n =-+，则n a =__________．
5．数列{}n a 中，3a ，10a 是方程2350x x --=的两根，若{}n a 是等差数列，则58a a +=
______.
6．在1n
与1n +之间插入n 个正数，使2n +个数依次成等比数列，则公比q =______. 7．已知2231lim 45n n cn n an bn →∞⎛⎫++-= ⎪+⎝⎭
，则常数a =______，b =______，c =______. 8．用数学归纳法证明()2511222n n -*
+++⋅⋅⋅+∈N 是31的倍数时，第一个步骤叫归纳假设，即当1n =时，原式的值为______，它是31的倍数，命题成立.
9．无穷等比数列8log x ，28log x ，38log x ，⋅⋅⋅各项之和为12
，则x =______. 10．某厂去年产值为1亿，计划在今年后五年内每年比上一年产值增加10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为______亿.（精确到0.1）
11．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：
则该数表第8行中的第5个数是______.
12．删去正整数数列中的所有奇数的完全平方数，得到一个新数列，此新数列的第2008项是______.
二、单选题
13．命题：
①若等差数列{}n a 的公差0d >，则()1n n a a n *+>∈N ；
②若等比数列{}n a 的首项10a <，公比1q >，则()
1n n a a n *+>∈N . 则下列判断正确的是（ ）
A ．①真，②假
B ．①假，②真
C ．都真
D ．都假
14．若正数a ，b ，c 成等比数列，则下列三数中成等比数列的是（ ）
A ．10a ，10b ，10c
B ．lg a ，lg b ，lg c
C ．lg 3a ，lg 3b ，lg 3c D
15．已知{}n a 是等差数列，若它的首项10a >，200720080a a +>，200720080a a ⋅<，则使这个数列的前n 项和n S 最大的自然数n 是（ ）
A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009 16．等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则各项和为（ ） A ．12 B ．1- C ．12- D ．1
三、解答题
17．设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，若()
1n n *>∈N ，比较11n a a +与2n a a 的大小. 18．若()131lim 3
31n n n n t +→∞=++，求实数t 的取值范围. 19．某市2003年共有一万辆燃油型公交车．现计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50％，试问：
该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的1?3
20．数列{}n a 中，若12a =，且122n n a a +=+.
（1）求证：数列{}2n a +是等比数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S . 21．已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：1,3,3n n n n n a c a a a a d
++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ （1）当11a =，1c =，3d =时，求数列{}n a 的通项公式：
（2）当101a <<，1c =，3d =时，试用1a 表示数列{}n a 前100项的和100S . 22．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()1q q ≠-，用符号n m S →表示这个数列的第n 项到第m 项共1m n -+项的和.
（1）计算14S →，58S →，912S →，并证明它们仍成等比数列；
（2）将第（1）题中的结论推广到一般，并予以证明.
参考答案
1．()()2112n n n n a n *+=-⋅
∈N 【解析】
【分析】
分析数列中的各项，分母为{}2n
，分子为{}21n +，又数列中奇数项为负，偶数项为正，呈()1n -变化，所以综合可得数列的通项公式.
【详解】 解：已知数列32-，54，78-，916，⋅⋅⋅，可得数列各项的分母是一个等比数列，通项公式为{}2n ，
分子为等差数列，通项公式为{}21n +，又数列中奇数项为负，偶数项为正，呈()1n -变化，所以数列的通项公式为()()2112n n n n a n *+=-⋅
∈N . 故答案为：()()2112
n n n n a n *+=-⋅
∈N . 【点睛】 本题考查由观察法求数列的通项公式，解题的关键是熟悉数字之间的变换规律，属于基础题.
2．(21n -+ 【分析】
根据题干条件，可知
1为公差的等差数列，先根据等差数列求出
的通项公式，进而求出数列{}n a 的通项公式.
【详解】
解：因为13a =()1n *=∈N ，所以1为公差的等
差数列.()11n =-⨯，所以n a =(21n -+.
故答案为：(2
1n -+. 【点睛】
本题考查数列求通项公式，解题的关键是熟悉等差数列的特点，属于基础题.
3．43
【分析】
分别求出能被3或7整除的数的个数，然后求和，再减去能被21整除的数的个数即可.
【详解】
解：能被3整除的数有100333⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
个 能被7整除的数有100147⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
个 能被21整除的数有100421⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦个， 所以能被3或7整除的数共有33+14-4=43个.
故答案为：43.
【点睛】
本题考查数的整除，解题的关键是求出能被21整除的数的个数，属于基础题.
4．0,145,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
【解析】
分析：当1n =时，求得11a S =；当2n ≥时，类比写出1n S -，由1n n n a S S -=-求出n a ，再将1n =代入n a 检验，即可求出答案.
详解：当1n =时，110a S ==
当2n ≥时，由2231n S n n =-+，得212(1)3(1)1n S n n -=---+， 两式相减，145n n n a S S n -=-=-，
将1n =代入上式，110a =-≠，
∴通项公式为0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
故答案为0,145,2
n n a n n =⎧=⎨-≥⎩. 点睛：本题主要考查已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式的方法.其求解过程分为三步：
（1）当1n =时， 11a S =求出1a ；
（2）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n S S --
(2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；
（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写． 5．3
【分析】
由根与系数的关系可知，3103a a +=，根据等差数列的性质即可求出58a a +的值.
【详解】
解：3a ，10a 是方程2350x x --=的两根，所以3103a a +=，又{}n a 是等差数列，所以58a a +=3.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查二次函数根与系数的关系，考查等差数列的性质，属于基础题.
6．()121n n n
++ 【分析】
由题意可知，所构成的等比数列中
1n 为首项，1n +为第2n +项，根据等比数列的通项公式代入求解即可求出公比q 的值.
【详解】 解：由题意可知，所构成的等比数列中1n
为首项，1n +为第2n +项，所以有 1n +=1n 1n q +⋅，又数列是正项数列，所以0q >， 解得:()1
21n q n n +=+.
故答案为：()1
21n n n ++.
【点睛】
本题考查已知等比数列首尾两项和项数求公比，属于基础题.
7．0
34
154 【分析】
根据极限的思想，2231lim 45n n cn n an bn →∞⎛⎫++-= ⎪+⎝⎭
，则最高次项对应项系数比为5，所以可以得出各个数的值.
【详解】 解：23222314(34)1lim 4lim 5n n n cn an b n cn n an bn an bn →∞→∞⎛⎫⎛⎫++-+-++-== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，所以有分子、分母最高次幂相同，403405a b c b ⎧⎪-=⎪∴-=⎨⎪⎪=⎩ 解得：034154a b c ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
. 故答案为0；
34
；154. 【点睛】
本题考查极限求值，解题的关键在于理清对应项以及对应项的系数比，属于基础题. 8．31
【分析】 1n =时，514n -=，代入计算即可求出结果. 【详解】
解：当1n =时，原式=2511222n -+++⋅⋅⋅+=23412222++++=31.
故答案为：31.
【点睛】
本题考查数学归纳法的计算，解题的关键是找出1n =时需要计算的项，属于基础题. 9．2
【分析】
因为数列为无穷等比数列，且各项之和为12
，所以80log 1x <<，则根据极限的思想88log lim 1log n n x T x
→∞=-，即可求解8log x ，进而解得x 的值. 【详解】
解：数列是以8log x 为首项，8log x 为公比的等比数列，所以数列的和
()
888log 1log 11log 2
n n x x T x -==-，则80log 1x <<， 所以()88888log 1log log 1lim lim 1log 1log 2n n n n x x x T x
x →∞→∞-===--，解得：81log 3x =，2x ∴=. 故答案为：2.
【点睛】
本题考查等比数列求和，考查极限的思想，同时考查学生分析问题的能力和计算能力，属于基础题.
10．6.7
【分析】
由题意知：该厂每年的产值为一个等比数列，以1.1为首项，以1.1为公比，所以根据等比数列求出前5项的和即可求出答案.
【详解】
解：该厂每年的产值为一个等比数列，以1.1为首项，以1.1为公比，所以通项公式为()
()11.110.1 1.11n n n a n -=⨯+=≥. 总产值为为数列的前五项求和， 所以()55 1.11 1.11 1.1T ⨯-=- 6.7≈.
故答案为6.7.
【点睛】
本题考查等比数列的实际应用，考查学生分析问题解决问题的能力以及学生的计算能力，解题的关键是正确的找出首项和公比，属于中档题.
11．132
【分析】
分析数表可知，每行的第一个数构成一个等比数列，数列的通项公式为12n -，由此可求出第8行的第1个数，进而求出结果.
【详解】
解：由图可知，每行的第一个数构成一个等比数列，数列的通项公式为12n -，所以该数表第8行的第1个数为72=128，则该数表的第8行中的第5个数是132.
故答案为：132.
【点睛】
本题主要考查求数列的通项公式，考查学生分析数据、总结、归纳数据的能力，属于基础题. 12．2031
【分析】
先求出前2008个数中包含的完全平方数有22个，所以再加上22个数，但是中间又有一项为奇数的平方项，所以再减去一个，再往后数一个即可.
【详解】
解：因为22221=1,3=944=193645=2025，，，，
所以前2008项共删去了22个数，还剩2008-22=1986个数，
只需再找出2008后的22个数，就是第2008项，
2008后的22个数有20082220302025+=>，
所以还要减去2025这一个数，再加上一个数即可，故新数列的第2008项是2031. 故答案为：2031.
【点睛】
本题考查列举法研究整数的性质，考查学生分析问题，提炼问题的能力，属于中档题. 13．A
【分析】
①等差数列{}n a 的公差0d >，所以数列{}n a 为递增数列，故满足()1n n a a n *+>∈N ； ②等比数列{}n a 的首项10a <，公比1q >，满足数列{}n a 为递减数列，则可分析命题的真假.
【详解】
解：①：等差数列{}n a 的公差0d >，则1n n n a a d a +=+>所以①是真命题.
②：等比数列{}n a 的首项10a <，公比1q >，数列{}n a 为递减数列， ()
1n n a a n *+<∈N ，所以②为假命题.
故选：A.
【点睛】
本题考查等差、等比数列的单调性，考查命题真假的判断，属于基础题.
14．C 【分析】
若正数a ，b ，c 成等比数列，则有2b ac =，根据指对幂函数的运算性质逐一推导选项，看是否符合2b ac =即可得到答案. 【详解】
解：若正数a ，b ，c 成等比数列，则有2b ac =. A ：若10a ，10b ，10c 成等比，则有()()()2
101010b a
c
=⋅，即2=b a c +，不满足2
b
ac =，
A 不正确；
B ：若lg a ，lg b ，lg c 成等比，则有()()()2
lg lg lg b a c =，也不满足2b ac =，B 不正确； C ：若lg 3a ，lg 3b ，lg 3c 成等比，则有()()lg 2
lg lg (3)33b a
c
=⋅，
即有2lg lg lg b a c =+，即2
b a
c =，
故C 正确；
D 2=
⋅，即2
1
13
24
b
a c
=⋅，不满足2
b a
c =，所以D 不正确. 故选：C. 【点睛】
本题考查等比中项的性质，考查指对幂函数的运算性质，属于基础题. 15．B 【分析】
因为{}n a 是等差数列，具有单调性，再根据条件得出20080a <，20070a >，则可求出结果. 【详解】 解：
()111()n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，具有单调性.
又10a >，200720080a a +>，200720080a a ⋅<，所以20072008,a a 异号，且20080a <，20070a >. 所以数列{}n a 是递减数列，且当[]1,2007n ∈时，0n a >，当2008n ≥时，0n a <. 所以数列的前n 项和n S 最大的自然数n 是2007. 故选：B. 【点睛】
本题考查等差数列的性质，考查数列前n 项和的性质，解题的关键是找到20080a <，
20070a >，属于基础题. 16．D 【分析】
根据等比数列前n 项和公式，可求出1a =，再根据极限的思想求出各项和即可. 【详解】
等比数列{}n a 的前n 项和为12n
n S a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，可知公比为12q =，且112a a =-，所以
()11()1221121112212
n
n n n a S a a ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-
即：21211a a a -=⎧⎨-=⎩解得：1a =. 所以各项和为1S =. 故选：D. 【点睛】
本题考查等比数列前n 项和公式的应用，考查数列极限的思想，解题的关键是熟练掌握等比数列前n 项和公式的各种书写形式，属于基础题. 17．112n n a a a a +< 【分析】
代入通项公式，做差比较大小即可得出答案. 【详解】
()2111111n a a a a nd a nda +=+=+，
()()2111n a a a d a n d =++-⎡⎤⎣⎦()22
1
11a nda n d =++- ()211210n n a a a a n d +∴-=--<，112n n a a a a +∴<
【点睛】
本题考查数列通项公式的应用，考查作差法比较大小，属于基础题. 18．()4,2- 【分析】
将题干条件化简得到11lim
3133n
n t →∞
=
+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，可知当1lim 03n
n t →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭
时满足题意，根据极限的思想，当113t +<时，1lim 03n
n t →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭
成立，解绝对值不等式即可求出t 的范围. 【详解】
由题意得：11lim
3133n
n t →∞
=
+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，则1lim 03n
n t →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭
，可得113t +<，42t ∴-<<，t ∴的范围是()4,2- 【点睛】
本题考查已知极限求参，考查绝对值不等式求解，同时考查学生的计算能力，属于基础题. 19．（1）1458（辆）．（2）到2021年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的1
3
． 【详解】
解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{}n a 其中1128, 1.5a q ==则在
2010年应该投入的电力型公交车为66
71128 1.51458a a q =⋅=⨯=（辆）．
(2)记12n n S a a a =++
+依题意，得1
100003
n n S S >+
于是(
)1281 1.550001 1.5
n
n
S -=>-，即657
1.5
32
n
>
则有7.5n ≈因此8n ≥ 答：到2021年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的
1
3
． 20．（1）详见解析（2）122n n a +=-，2
224n n S n +=--
【分析】
（1）将122n n a a +=+变形为*
122(2),()n n a a n N ++=+∈，即可证明.
（2）首先求出数列{}2n a +的通项公式，然后求出数列{}n a 的通项公式即可，对数列{}n a 分组求和则可求出n S . 【详解】
解：（1）
122n n a a +=+，*122(2),()n n a a n N +∴+=+∈，又124a +=
所以数列{}2n a +是以4为首项以2为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，112422n n n a -++=⨯=，1
22n n a +∴=-.
∴ (
)2
41222
2412
n
n n S n n +-=
-=---.
【点睛】
本题考查等差数列的证明，考查求等差数列通项公式以及分组求和，考查学生的转化能力，属于基础题.
21．（1）()
1,322,313,3n n k a n k k Z n k
+
=-⎧⎪==-∈⎨⎪
=⎩（2）131111119823a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 【分析】
（1）将123n =、、依次类推，可以发现数列{}n a 是周期数列，周期为3，从而可以写出数列{}n a 的通项公式.（2）
101a <<，所以代入求得233,3,a a <<则4133a a =+>，
1513a a =
+，依次类推发现131113k k a a --=+，13123k k a a -=+，1
31133
k k a a +-=+， 则100S 用分组求和的方法即可求出. 【详解】 （1）
11a =，1n ∴=时，2112a a =+=，当2n =时，321213a a =+=+=，
3n =时，3
413
a a =
=，所以562,3a a ==，依次类推，可得： ()
1,322,313,3n n k a n k k Z n k
+=-⎧⎪
==-∈⎨⎪
=⎩
（2）当101a <<时，211a a =+，312a a =+，413a a =+，1513a a =
+，1623
a
a =+，1733a a =
+，⋅⋅⋅，131113k k a a --=+，13123k k a a -=+，1
311
33k k a a +-=+ 故
()()()1001234567989910011311131633
33S a a a a a a a a a a a a ⎛
⎫=+++++++⋅⋅⋅+++=++++⋅⋅⋅++⨯ ⎪⎝
⎭
131111119823a ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查数列递推公式的应用，考查数列的周期性以及分组求和，考查学生的推理能力以及计算能力，属于中档题.
22．（1）(
)
23
1411S a q q q →=+++，(
)4
23
5811S a q q q q
→=+++，
()82391211S a q q q q →=+++,证明见解析（2）
n n r S →+，m m r S →+，p p r S →+（其中2m n p =+，且m ，n ，p ，r 均为正整数）也可成等比数列,证明见解析 【分析】
（1）分别写出14S →，58S →，912S →的和并作比证明即可. （2）由（1）推广，每r 项的和也是等比数列，1r S →，12r r S +→，213r r S +→，……，类比第一问，写出每一项的和，作比，则可证明结论. 【详解】
（1）(
)
23
1411S a q q q →=+++，(
)4
23
5811S a q q q q
→=+++，
()82391211S a q q q q →=+++，
91258S S →→458
14
S q S →→==为常量， 14S →∴，58S →，912S →成等比数列
（2）推广到一般：1r S →∴，12r r S +→，213r r S +→……也可成等比数列
()21111r r S a q q q -→=+++⋅⋅⋅+，()211211r r r r S a q q q q -+→=+++⋅⋅⋅+， ()22121311r r r r S a q q q q -+→=+++⋅⋅⋅+ 21312121r r r r r
r r r
S S q S S +→+→+→→∴
==，r q 为常量，1r S →∴，12r r S +→，213r r S +→成等比数列.
【点睛】
本题考查等比数列的证明，等比数列前n 项和公式，考查学生的类比推理能力以及计算能力，属于中档题.。