立体几何中求角度、距离类型(原卷版)

第23讲 立体几何求角度、距离9类
【题型一】 求异面直线所成的角
【典例分析】
如图，已知P ，Q 分别是正四面体ABCD 的侧面ABC 与侧面ABD 上动点（不包含侧面边界），则异面直线CP ，BQ 所成角不可能的是
A ．45︒
B ．65︒
C ．75︒
D ．90︒
【变式演练】
1.从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a ，b ，且a ，b 是异面直线，则a ，b 所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（ ） A ．1320,2⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭； B ．13260,2⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭
C ．1260,2⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭
； D ．1320,2⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭
．
2.如图，已知正三棱锥A BCD -，3BC CD BD ===2AB AC AD ===P ，Q 分别棱BC ，CD 上（不包含端点），则直线AP ，BQ 所成的角的取值范围是______.
3.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，3PA AB ==，点M 为正方形ABCD 内部的一点，且2MD MA =，则直线PM 与AD 所成角的余弦值的取值范围为 A ．10⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
B ．10⎫
⎪⎪⎝⎭
C ．10⎛ ⎝⎦
D ．10⎛ ⎝⎭
【题型二】 求直线和平面所成角
【典例分析】
如图，在四棱锥P−ABCD 中，
PA⊥平面ABCD ，AB⊥CD ，AD ＝CD 10
AB 10PA 6DA⊥AB ，点Q 在PB 上，且满足PQ⊥QB=1⊥3，求直线CQ 与平面PAC 所成角的正弦值．
【变式演练】
1.如图，已知AB ，CD 分别是圆柱上､下底面圆的直径，且AB CD ⊥，若该圆柱的侧面积是其上底面面积的23AB 与平面BCD 所成的角为（ ）
A ．6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
512
π
2.设正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，平面α经过顶点A ，且与棱AB ､AD ､1AA 所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面α共有（ ）个.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.如图，在四面体VABC 中，已知VA ⊥平面VBC ，VA 与平面ABC 所成的角为45°，D 是BC 上一动点，设直线VD 与平面ABC 所成的角为θ，则（ ）
A ．θ≤60°
B ．θ≥30°
C ．θ≤45°
D ．θ≤75°
【题型三】 求二面角的平面角
【典例分析】
已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O （О为球心）的球面上，ABC 为等边三角形，2AB BD ==，2AD =且AC BD ⊥，则二面角A CD O --的正切值为（ ）
A 6
B 6
C 5
D 10
【变式演练】
1.设1l ，2l 是平面α内所成角为6
π
的两条直线，过1l ，2l 分别作平面β，γ，且锐二面角1l αβ--的大小为
4
π，锐二面角2l αγ--的大小为
3
π
，则平面β，γ所成的锐二面角的平面角的余弦值可能是（ ） A 3B 2 C ．14
D ．13
2.过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若AB PA =，则平面ABP 与平面CDP 所成的锐二面角
的余弦值为（ ） A ．13
B 2
C 3
D 3
3.如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为β，则（ ）
A ．cos cos αβ=
B ．sin sin αβ=
C ．cos cos t αβ>
D ．sin sin αβ<
【题型四】 翻折中的角度
【典例分析】
如图，矩形ABCD 中，3AB BC =，1
2
CE AF DE BF =
=，EF BD O ⋂=．将梯形ADEF 沿着EF 翻折成梯形A D EF ''，则A C '与平面BOD 所成角可以是（ ）
A ．90°
B ．75°
C ．45°
D ．30°
【变式演练】
1.如图，矩形ABCD 中，已知2AB =，4BC =，E 为AD 的中点． 将ABE △沿着BE 向上翻折至A BE '，记锐二面角A BE C '--的平面角为α，A B '与平面BCDE 所成的角为β，则下列结论不可能成立的是（ ）
A ．sin α2β=
B 2cos αcos β=
C ．α2β<
D ．π
α4
β->
2.已知ABC ，30B C ∠=∠=︒，D 是BC 的中点，将ABD △沿AD 翻折，得到AB D '，设B A '与平面ADC 所成的角为1θ，B C '与平面ADC 所成的角为2θ，B D '与平面ADC 所成的角为3θ，则（ ） A ．322θθ≥ B ．312θθ≤
C ．122θθ≤
D ．212θθ≥
3.如图，矩形ABCD 中，已知2,4,AB BC E ==为BC 的中点．将ABE △沿着AE 向上翻折至MAE 得到四棱锥M AECD -．平面AEM 与平面AECD 所成锐二面角为α，直线ME 与平面AECD 所成角为β，则下列说法错误的是（ ）
A ．若F 为AD 中点，则ABE △无论翻折到哪个位置都有平面AEM ⊥平面MBF
B ．若Q 为MD 中点，则ABE △无论翻折到哪个位置都有//CQ 平面AEM
C 2sin sin αβ=
D 2cos cos αβ=
【题型五】 三种角度之间的相互关系
【典例分析】
过正方体1111
ABCD A B C D -棱1DD 的中点与直线1BD 所成角为40︒，且与平面11ACC A 所成角为50︒的直线条数为（ ） 【变式演练】
1.如图，二面角l αβ--的大小是60︒，线段AB α⊂．B l ∈，AB 与l 所成的角为30．直线AB 与平面β所成的角的正弦值是（ ）
A 3
B 3
C 3
D ．
22
2.已知正方体1111ABCD A B C D -和空间任意直线l ，若直线l 与直线AB 所成的角为1α，与直线1CC 所成的角为
2α，与平面ABCD 所成的角为1β，与平面11ACC A 所成的角为2β，则（ ）
A ．122
π
αα+=
B ．122
π
αα+≥
C ．122
π
ββ+=
D ．122
π
ββ+≥
3.已知平面α内的60APB ︒∠=，射线PC 与,PA PB 所成的角均为135°，则PC 与平面α所成的角θ的余弦值是（ ）
A ．6
B 6
C 3
D ．3
【题型六】 三种角度比大小
【典例分析】
如图，在三棱锥A BCD -中，AB BC ⊥，BC CD ⊥，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，记平面ABC 与平面BCD 所成的角为1θ，直线AC ，EF 与平面BCD 所成的角分别为2θ，3θ，若AB BC CD >>，则（ ）
A ．12θθ>， 132θθ<
B ．12θθ>，132θθ>
C ．12θθ<，132θθ<
D ．12θθ<，132θθ>
【变式演练】
1.如图，在等边三角形ABC 中，,D E 分别是线段,AB AC 上异于端点的动点，且BD CE =，现将三角形ADE 沿直线DE 折起，使平面ADE ⊥平面BCED ，当D 从B 滑动到A 的过程中，则下列选项中错误的是（ ）
A ．AD
B ∠的大小不会发生变化 B ．二面角A BD
C --的平面角的大小不会发生变化 C ．B
D 与平面ABC 所成的角变大
D ．AB 与D
E 所成的角先变小后变大
2.如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP =，D 是棱BC 上一点（不含端点）且PD BD =，记DAB
∠
为α，直线AB 与平面PAC 所成角为β，直线PA 与平面ABC 所成角为γ，则（ ）
A ．,γβγα≤≤
B ．,βαβγ≤≤
C ．,βαγα≤≤
D ．,αβγβ≤≤
3.已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（ ）
A ．1θθ≥
B ．1θθ≤
C ．2θθ≥
D ．2θθ≤
【题型七】 球中的角度
【典例分析】
已知AB 、CD 是圆O 的两条直径，且60AOC ∠=︒，如图1，沿AB 折起，使两个半圆面所在的平面垂直，折到点D 位置，如图2．设直线BD '与直线OC 所成的角为θ，则（ ）
A ．90BD C '∠=︒且60θ>︒
B ．90BD
C '∠=︒且60θ≤︒ C ．90B
D C '∠≠︒且60θ>︒ D ．90BD C '∠≠︒且60θ≤︒
【变式演练】
1.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA AB BC ===，PB 与平面PAC 所
成的角为30，则球O 的表面积为（ ） A ．6π B ．12π
C ．16π
D ．48π
2.一圆柱形容器，底面半径为1，高为3，里面装有一个小球，小球的表面和圆柱侧面、下底面均相切.过圆柱上底面圆周上一点作一个平面α，使得α与小球恰好相切，则α与圆柱下底面所成最小的锐二面角的正弦值为（ ）
3.一球O 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC ，过C 作与球O 相切的平面α，则直线AC 与平面α所成的角为（ ） A ．30°
B ．45°
C ．15°
D ．60°
【题型八】 压轴小题中的角度题型
【典例分析】
如图，在等边三角形ABC 中，,D E 分别是线段,AB AC 上异于端点的动点，且BD CE =，现将三角形ADE 沿直线DE 折起，使平面ADE ⊥平面BCED ，当D 从B 滑动到A 的过程中，则下列选项中错误的是（ ）
A ．AD
B ∠的大小不会发生变化 B ．二面角A BD
C --的平面角的大小不会发生变化 C ．B
D 与平面ABC 所成的角变大 D ．AB 与D
E 所成的角先变小后变大
【变式演练】
1.在正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱AB 上，满足2AE EB =，点F 为线段AC 上的动点.设直线DE 与平面DBF 所成的角为α，则（ ） A ．存在某个位置，使得DE BF ⊥
B ．存在某个位置，使得4
FDB π
∠=
C ．存在某个位置，使得平面DEF ⊥平面DAC
D ．存在某个位置，使得6
π
α=
2.如图，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将ABC 沿DE ，EF ，DF 折成正四面体P DEF -，则在此正四面体中，下列说法正确的是______．
①异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值为23；
DF PE ⊥②；
GH ③与PD 所成的角为45；
PG ④与EF 所成角为60
3.斜线OA 与平面α成15°角，斜足为O ，A '为A 在α内的射影，B 为OA 的中点，l 是α内过点O 的动直线，
若l 上存在点1P ，2P 使1230APB AP B ︒∠=∠=，则12
||
P P AB 则的最大值是_______，此时二面角12A PP A '--平面
角的正弦值是_______
【题型九】 距离
【典例分析】
已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为11A D 中点，点P ､M 在四边形ABCD 内（包括边界），点P 到平面11ABB A 的距离等于它到点D 的距离，直线1//MB 平面1EC D ，则PM 的最小值为___________.
【变式演练】
1.已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 满足2AB =，90ACB ∠=︒，PA 为球O 的直径且4PA =，则点P 到底面ABC 的距离为（ ） A 2B ．22C 3D ．3
2.空间给定不共面的A ，B ，C ，D 四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A ，B ，C ，D 中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个
3.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E ､F 分别是侧棱1AA ､1CC 上的动点，4AE CF +=，点P 在棱1AA 上，且1AP =，若//EF 平面PBD ，则CF =___________.
【课后练习】
1.已知三棱锥B ACD -中，棱AB ，CD ，AC 的中点分别是M ，N ，O ，ABC ，ACD △，BOD 都是正三角形，则异面直线MN 与AD 所成角的余弦值为___________.
2.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，过点C 做直线l ，使得直线l 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70，则这样的直线l （ ）
A ．不存在
B ．2条
C ．4条
D ．无数条
3.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角是γ则三个角α，β，γ中
最小的角是（ ）
A ．α
B ．β
C ．γ
D ．不能确定
4.如图，四边形ABCD 中90A CBD ∠=∠=︒，30CDB ∠=︒，AB AC =，沿直线BC 将ABC 折成A BC '，使点A '在平面BCD 上的射影在BCD △内（不含边界），记二面角A BC D '--的平面角大小为α，直线A B '､A D '与平面BCD 所成角分别为β､γ，则（ ） A ．αβγ>> B ．βαγ>> C ．αγβ>> D ．γβα>>
5.已知直角梯形ABCD 满足://, AD BC CD DA ⊥，且⊥ABC 为正三角形.将⊥ADC 沿着直线AC 翻折至⊥AD C '，且AD BD CD '''<<，二面角 , , D AB C D BC A D AC B '''------的平面角大小分别为,,αβγ，直线, , D A D B D C '''与平面ABC 所成角分别是123,,θθθ，则（ ）
A ．123,θθθαγβ>>>>
B ．123,θθθαβγ<<>>
C ．123,θθθαβγ>><<
D ．123,θθθαβγ<<<<
6.a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：⊥当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角；⊥当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30角；⊥直线AB 与a 所成角的最大值为60︒；⊥直线AB 与a 所成角的最小值为30；其中正确的是___________（填写所有正确结论的编号）
7.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AC AA ==，点M 是线段1BC 的中点，点N 是线段AB 的中点，记直线1A M 与CN 所成角为α，二面角1A BC A --的平面角为β，则（ ）
A ．αβ=
B ．αβ>
C ．αβ<
D ．2αβ=
8.已知平面α与β所成锐二面角的平面角为80︒，P 为α，β外一定点，过点P 的一条直线与α和β所成的角都是30，则这样的直线有且仅有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
9.如图，梯形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠=︒，将ABD △沿BD 折起，使点A 到点P 的位置，得到三棱锥P BCD -，其中点P 在底面BCD 上的射影H 在BCD △的内部.记直线PD 与直线AB 所成的角为α，直线PD 与平面BCD 所成的角为β，二面角P BD C --的平面角为γ，则（ ）
A ．βγα<<
B ．βαγ<<
C ．αγβ<<
D ．αβγ<<
10.如图，在四棱锥P ABCD -中，APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠，平面ADP ⊥平面DCP ，若APC α∠=，BPD β∠=，AP 与平面DCP 所成的角为γ，则以下结论正确的是（ ）
A ．γβα<<
B ．βαγ<<
C ．βγα<<
D ．γαβ<<
11.如图 ，边长为2的正方形ABCD 和正方形 ABEF 所在的面成60︒角 ，M 、N 分 别 是线段 AC 、BF 上 的 点，且AM =FN ．则 线 段 MN 的 长 的 取 值范围 是（ ）.
A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[]1,2
C ．2,2⎡⎤⎣⎦
D ．3,2⎤⎦。