高二数学下学期直线和平面的位置关系同步测试 试题

卜人入州八九几市潮王学校高二数学下学期直线和平
面的位置关系同步测试
50分.
第一卷〔选择题，一共50分〕
一、选择题〔此题每一小题5分，一共50分〕
①一条直线在平面内的射影是一条直线；②在平面内射影是直线的图形一
定是直线；③在同一平面内的射影长相等，那么斜线长相等；④两斜线与平面所成的角
〔〕
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
〔〕
A ．假设平面M 外的两条直线在平面M 内的射影为一条直线及此直线外的一个点，那么这
两条直线互为异面直线 B ．假设平面M 外的两条直线在平面M 内的射影为两条平行直线，那么这两条直线相交 C ．假设平面M 外的两条直线在平面M 内的射影为两条平行直线，那么这两条直线平行
D ．假设平面M 外的两条直线在平面M 内的射影为两条互相垂直的直线，那么这两条直线
垂直
3．相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的 射影所成的角是 〔〕
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
4．A 、B 两点在平面α的同侧，AC ⊥α于C ，BD ⊥α于D ，并且AD ∩BC ＝E ，EF ⊥ α于F ，AC ＝a ，BD=b ，那么EF 的长等于
〔〕
A ．
b
a ab
+ B ．
ab
b
a + C ．
b
a 2
+ D ．
2
b
a + 5．PA 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是
〔〕
A ．
2
1 B ．
2
2 C ．
3
6 D ．
3
3 6．Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，D 是BC 的中点，AC ＝2，DE ⊥平面ABC ， 且DE ＝1，那么点E 到斜边AC 的间隔是
〔〕
A ．
2
5 B ．
2
11 C ．
2
7 D ．
4
19 7．如图，PA ⊥矩形ABCD ，以下结论中不正确的选项是〔〕 A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD
C ．P
D ⊥BD
D ．PA ⊥BD
8．假设α∥β，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的 两条线段，AB ⊥AC ，且AB ＝2，直线AB 与平面 α所成的角为30°，那么线段AC 的长的取值范围是〔〕
A ．2333
(
,)34
B ．[1,)+∞
C ．23
(1,
)3
D ．23
[
,)3
+∞ 9．假设a ,b 表示两条直线，α〕 A ．假设a ⊥α,a ⊥b ，那么b //α B ．假设a //α,a ⊥b ，那么b ⊥α
C ．假设a ⊥α,b ⊂
α，那么a ⊥b
D ．假设a //α,b //α，那么a //b
10．假设直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为
21θθ和，那么
〔〕
A ．1sin sin 2212≥+θθ
B ．1sin sin 2212≤+θθ
C ．1sin sin 2212>+θθ
D ．1sin sin
2212
<+θθ
第二卷〔非选择题，一共100分〕
二、填空题〔此题每一小题6分，一共24分〕
11．△ABC ，点P 是平面ABC 外一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影，〔1〕假设点P 到△ABC 的三个顶点的间隔相等，那么O 点一定是△ABC 的；〔2〕假设
点P 到△ABC 的三边所在直线的间隔相等且O 点在△ABC 内，那么O 点一定是△ABC 的．
12．△ABC 中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC 所在平面外一点P 到此三角形 三个顶点的间隔都是14，那么点P 到平面ABC 的间隔是 13．如下列图，矩形ABEF 与矩形EFDC 相交于EF ， 且BE ⊥CE ，AB ＝CD ＝4，BE ＝3，CE ＝2，
∠EAC ＝α，∠ACD ＝β，那么cos α∶cos β＝．
14．AB ∥CD ，它们都在平面内，且相距28．EF ∥，且相距15．
EF ∥AB ，且相距17．那么EF 和CD 间的间隔为．
三、解答题〔一共76分〕
15．〔12分〕如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角. 16．〔12分〕A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. 〔1〕求证：AB ⊥CD ；
〔2〕求AB 与平面BCD 所成角的余弦值.
17．〔12分〕如图，矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、
PC 的中点．
〔1〕求证：EF ∥平面PAD ； 〔2〕求证：EF ⊥CD ；
〔3〕假设PDA ＝45
，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
18．〔12分〕在ABC ∆中，︒=∠75BAC ，线段VA ⊥平面
ABC ，点A 在平面VBC 上的射
影为H.求证：H 不可能是VBC ∆的垂心.
19．〔14分〕AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点，AB ＝2，AC ＝1， P 为⊙O 所在平面外一点，且PA ⊥⊙O ，PB 与平面所成角为45
〔1〕证明：BC ⊥平面PAC ； 〔2〕求点A 到平面PBC 的间隔．
20．〔14分〕如下列图，在斜边为AB 的Rt △ABC 中，过A 作PA ⊥平面ABC ，AM ⊥PB 于M ，
AN ⊥PC 于N .
〔1〕求证：BC ⊥面PAC ； 〔2〕求证：PB ⊥面AMN .
〔3〕假设PA=A B=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN 的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？
最大面积是多少？
参考答案
一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分〕
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题6分，一共24分〕 11．外心、内心12．713．5：414．39或者25 三、解答题〔本大题一一共6题，一共76分〕 15．〔12分〕解：连结BC 1交B 1C 于O ，连结A 1O
在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中各个面为正方形，设棱长为a , ∵A 1B 1⊥B 1C 1,A 1B 1⊥B 1B,∴A 1B 1⊥BC 1.∵BC 1⊥B 1C,∴BC 1⊥平面A 1B 1CD
∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影,∴∠BA 1O 是A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角
在Rt △A 1BO 中，∴A 1B =
2a ,OB =
2
2
a,∴sin BA 1O =
2
1
1=B A OB 又∵∠BA 1O 为锐角,∴∠BA 1O =30°,即A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°
16．(12分)解〔1〕∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AC=AD=2，AB=3，∴△ABC ≌△ABD ，BC=BD.取CD 的中点M ，连
AM 、BM ，那么CD ⊥AM ，CD ⊥BM.∴CD ⊥平面ABM ，于是AB ⊥BD.
〔2〕过A 作BM AO ⊥于O ，∵CD ⊥平面ABM ，∴CD ⊥AO ，∴AO ⊥面BCD ，
∴BM 是AB 在面BCD 内的射影，这样∠ABM 是AB 与平面BCD 所成的角. 在△ABC 中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，722=⋅-+=
∴AC AB AC AB BC .
在△ACD 中，AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD 是正三角形，AM=
3.
在Rt △BCM 中，BC=
7，CM=1，6=∴BM ..3
62cos 2
22=⋅
-+=∠∴BM AB AM BM AB ABM
17．(12分)证：连AC ，设AC 中点为O ，连OF 、OE
〔1〕在△PAC 中，∵F 、O 分别为PC 、AC 的中点
∴FO ∥PA …………①
在△ABC 中，
∵E 、O 分别为AB 、AC 的中点
∴EO ∥BC ,又
∵BC ∥AD ∴EO ∥AD …………② 综合①、②可知：平面EFO ∥平面PAD
F
B
C
∵EF 平面EFO ∴EF ∥平面PAD ．
〔2〕在矩形ABCD 中，∵EO ∥BC ，BC ⊥CD
∴EO ⊥CD 又
∵FO ∥PA ，PA ⊥平面AC ∴FO ⊥平面AC
∴EO 为EF 在平面AC 内的射影 ∴CD ⊥EF ．
〔3〕假设PDA ＝45，那么PA ＝AD ＝BC
∵EOBC ，FOPA
∴FO ＝EO 又
∵FO ⊥平面AC
∴△FOE 是直角三角形∴FEO ＝45．
18．〔12分〕证明：假设H 是VBC ∆的垂心
连结BH 并延长与VC 相交 ∵
⊥AH 平面VBC
∴BH 是
AB 在平面VBC 内的射影
又∵VC BH ⊥
∴VC AB ⊥又∵⊥VA 平面ABC
∴AC 是VC 在平面ABC 内的射影 ∴
AC AB ⊥
这与︒=∠75BAC 矛盾 ∴H 不可能是VBC ∆的垂心
19．〔14分〕解：〔1〕∵PA ⊥平面ABC ∴PA ⊥BC
∵AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点∴BC ⊥AC ∴BC ⊥平面PAC
〔2〕过A 作AD ⊥PC 于D ∵BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC
∴PAC ⊥PBC ，PC 为交线∴AD ⊥平面PBC ∴AD 即为A 到平面PBC 的间隔. 依题意，∠PBA 为PB 与面ABC 所成角，即∠PBA ＝45°∴PA=AB=2，AC=1， 可得5∵AD ×PC ＝PA ×AC
∴AD 255
=
，即A 到平面PBC 25
… 20．〔14分〕〔1〕证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC .
∴PA ⊥BC ，又AB 为斜边，∴BC ⊥AC ，PA ∩AC =A ，∴BC ⊥平面PAC .
〔2〕证明：∵BC ⊥平面PAC ，AN ⊂平面PAC ∴BC ⊥AN ，又AN ⊥PC ，且BC ∩PC =C ，
∴AN ⊥面PBC ，又PB ⊂平面PBC .∴AN ⊥PB ， 又∵PB ⊥AM ，AM ∩AN =A ，∴PB ⊥平面AMN .
A
V
H
〔3〕解：在Rt △PAB 中，PA =AB =4，∴PB =4
2，
∵PM ⊥AB ，∴AM =
2
1
PB =22，∴PM =BM =22 又∵PB ⊥面AMN ，MN ⊂平面AMN .∴PB ⊥MN , ∵MN =PM ·tan θ=22tan θ,∵AN ⊥平面PBC ，MN ⊂平面PBC .∴AN ⊥MN
∵AN =
θθ22222tan 88tan 8)22(-=-=-MN AM
∴当tan 2
θ=
21
,即tan θ=
22时，S △AMN 有最大值为2，
∴当tan θ=2
2
时，S △AMN 面积最大，最大值为2．。