高中数学 第四章综合素质检测 北师大版选修1-1

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第四章综合素质检测 北
师大版选修1-1
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4 D.5
[答案] D
[解析] f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5.
2．设M ，m 分别是函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．小于0 C ．等于1 D ．不确定
[答案] A
[解析] ∵M ＝m ，∴f (x )在[a ，b ]上为常数，∴f ′(x )＝0.
3．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( ) A ．f (x )＝－x 3
B ．f (x )＝－cos x
C ．f (x )＝sin x －x
D ．f (x )＝1
x
[答案] B
[解析] 对于A ，f ′(x )＝－3x 2
≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，
f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )
＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D ，f (x )＝1
x
在x ＝0没有定义，所以x ＝0不可能成为极值点，综上可知，
答案选B.
4．(2013·北师大附中高二期中)已知函数f (x )＝－x 3
＋ax 2
－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
B ．(－3，3)
C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
D ．[－3，3] [答案] D
[解析] f ′(x )＝－3x 2
＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图像是开口向下的抛物线，∴f ′(x )≤0恒成立，∴Δ＝4a 2
－12≤0，∴－3≤a ≤3，故选D.
5．(2014·辽宁省协作校联考)若点P (a ，b )在函数y ＝－x 2＋3ln x 的图像上，点Q (c ，
d )在函数y ＝x ＋2的图像上，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为( )
A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．8
[答案] D
[解析] 设与直线y ＝x ＋2平行且与函数y ＝－x 2
＋3ln x 的图像相切的直线为y ＝x ＋m ，且切点为(x 0，y 0)，
∵y ＝－x 2
＋3ln x ，
∴y ′|x ＝x 0＝－2x ＋32|x ＝x 0＝－2x 0＋3
x 0＝1，
∵x 0>0，∴x 0＝1，∴y 0＝－1，∴m ＝－2.
∴切线方程为x －y －2＝0，两平行线间距离d ＝22， ∴(a －c )2
＋(b －d )2
＝d 2
＝8.
6．(2014·天门市调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π
4时取得极值，则函数y
＝f (3π
4
－x )是( )
A ．偶函数且图像关于点(π，0)对称
B ．偶函数且图像关于点(3π
2，0)对称
C ．奇函数且图像关于点(3π
2，0)对称
D ．奇函数且图像关于点(π，0)对称 [答案] D
[解析] ∵f (x )的图像关于x ＝π
4对称，
∴f (0)＝f (π
2
)，∴－b ＝a ，
∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π
4
)，
∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π
4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .
显然f (3π
4
－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.
7．(2014·银川九中二模)已知f (x )＝14x 2＋sin(π
2
＋x )，f ′(x )为f (x )的导函数，则
f ′(x )的图像是( )
[答案] A
[解析] f (x )＝14x 2＋cos x ，f ′(x )＝1
2x －sin x ，
∵－1≤sin x ≤1，且f ′(－x )＝－f ′(x )， ∴f ′(x )为奇函数，排除B 、D ；
令g (x )＝12x －sin x ，则g ′(x )＝1
2－cos x ，
当x ∈(0，π
3)时，g ′(x )<0，
∴g (x )在(0，π
3
)上为减函数，
即f ′(x )在(0，π
3
)上为减函数，排除C ，故选A.
8．(2014·北京西城区期末)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是( )
①f (x )＝x 2
，②f (x )＝e －x
，③f (x )＝ln x ，④f (x )＝tan x ， ⑤f (x )＝x ＋1
x
A ．2
B ．3
C ．4 D.5
[答案] B
[解析] ①中的函数f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，要使f (x )＝f ′(x )，则x 2
＝2x ，解得x ＝0或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使f (x )＝f ′(x )，则e －x
＝－e －x
，由对任意的x ，有e －x
>0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f (x )＝
f ′(x )，则ln x ＝1x ，由函数f (x )＝ln x 与y ＝1
x
的图像有交点知方程有解，所以原函数有巧
值点；对于④中的函数，要使f (x )＝f ′(x )，则tan x ＝
1
cos 2x
，
即sin x cos x ＝1，显然无解，所以原函数没有巧值点；对于⑤中的函数，要使f (x )＝f ′(x )，则x ＋1x ＝1－1x
2，即x 3
－
x 2＋x ＋1＝0，设函数g (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，g ′(x )＝3x 2－2x ＋1>0且g (－1)<0，g (0)>0，
显然函数g (x )在(－1,0)上有零点，原函数有巧值点，故①③⑤正确，选C.
9．(2013·华池一中高二期中)若关于x 的方程x 3
－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．[0,2]
C ．[－2,0]
D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[答案] A
[解析] 令f (x )＝x 3
－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或
x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝
－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.
∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
f 1 <0，f 2 >0，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m －2≤0，
2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2.
10．(2014·秦安县西川中学高二期中)函数f (x )＝－x 3
＋3x 的单调增区间为( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(－1,1) D ．(－∞，0)
[答案] C
[解析] f ′(x )＝－3x 2
＋3＝－3(x ＋1)(x －1)， 由f ′(x )>0得－1<x <1，故选C.
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．(2014·宁夏三市联考)经过点P (2,1)且与曲线f (x )＝x 3
－2x 2
＋1相切的直线l 的方程是________．
[答案] 4x －y －7＝0或y ＝1 [解析] 设切点为(x 0，x 3
0－2x 2
0＋1)， 由k ＝f ′(x 0)＝3x 2
0－4x 0，可得切线方程为
y －(x 30－2x 20＋1)＝(3x 20－4x 0)(x －x 0)，
代入点P (2,1)解得：x 0＝0或x 0＝2. 当x 0＝0时切线方程为y ＝1； 当x 0＝2时切线方程为4x －y －7＝0.
综上得直线l 的方程是：4x －y －7＝0或y ＝1.
12．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2
＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为________．
[答案] c <1
4
[解析] ∵f ′(x )＝x 2
－x ＋c 且f (x )有极值， ∴f ′(x )＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c >0. 解得c <1
4
.
13．函数y ＝f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为________． [答案] －1
[解析] f ′(x )＝1
x
－1，令f ′(x )＝0，即x ＝1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
由于f (e)＝1max 14．(2014·沈阳质检)已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＝4，则a 2
＋2b 2
的最小值为________．
[答案] 8 2
[解析] ∵f (x )＝x (x －a )(x －b )，∴f ′(x )＝(x －a )(x －b )＋x [(x －a )(x －b )]′， ∴f ′(0)＝ab ＝4，∴a 2
＋2b 2
≥22ab ＝8 2.
15．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2
－2ax ＋2a ＋1的图
像经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．
[答案] (－65，－3
16
)
[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图像经过四个象限知，若a >0，则
⎩
⎪⎨
⎪⎧
f －2 >0，
f 1 <0，此时无解；若a <0，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
f －2 <0，
f 1 >0，
∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－3
16
.
三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋b (a ∈R ，b ∈R )．若a >0，且f (x )的极大值为5，极小值
为1，求f (x )的解析式．
[答案] f (x )＝x 3
＋3x 2
＋1
[解析] ∵f (x )＝x 3
＋ax 2
＋b ，∴f ′(x )＝3x 2
＋2ax . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2a
3.
又∵a >0，∴－2a
3
<0.
∴当x <－2a
3或x >0时，f ′(x )>0；
当－2a
3
<x <0时，f ′(x )<0.
∴f (x )在(－∞，－2a 3)和(0，＋∞)上是增函数，在(0，2a
3)上是减函数．
∴f (－2a
3
)是f (x )的极大值，f (0)是f (x )的极小值，
即f (－2a 3)＝(－2a 3)3＋a (－2a 3)2
＋b ＝5；f (0)＝b ＝1，解得a ＝3，b ＝1.
∴所求的函数解析式是f (x )＝x 3
＋3x 2
＋1.
17．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．
(1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围． [答案] (1)0 (2)－6≤a ≤－3
[解析] (1)由导数公式表和求导法则得，f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ， 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即得b ＝0.
(2)令f ′(x )＝0，即3x 2
＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－23a .依题意有－23a >0.
因为函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性， 所以应有2≤－2
3
a ≤4，解得－6≤a ≤－3.
18．用总长为14.8m 的钢条制成长方体容器的框架，如果容器的底面的长比宽多0.5m 那么高为多少时容器的容积最大？并求最大容积．
[答案] 高1.2m 最大容积1.8m 3
[解析] 设容器面宽为x m ， 则长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x )m .
由⎩
⎪⎨⎪⎧
3.2－2x >0x >0，解得0<x <1.6.
设容器的容积为f (x )m 3
，则有
f (x )＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， f ′(x )＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.
令f ′(x )＝0，即－6x 2
＋4.4x ＋1.6＝0， 解得x ＝1或x ＝－4
15
(舍去)．
∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x ＝1使f ′(x )＝0，且x ＝1是极大值点， ∴当x ＝1时，f (x )取得最大值为1.8. 此时容器的高为3.2－2＝1.2m.
因此，容器高为1.2m 时，容器的容器最大，最大容积为1.8m 3
. 19．已知函数f (x )＝－x 3
＋3x 2
＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；
(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． [答案] (1)(－∞，－1)和(3，＋∞) (2)最小值－7 [解析] (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x )<0，解得x <－1，或x >3，
∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)． (2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，
f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，∴f (2)>f (－2)．
∵在(－1,3)上f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1,2]上单调递增．
又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值．
于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2， ∴f (x )＝－x 3
＋3x 2
＋9x －2.
∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7. 20．(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3
＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；
(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．
[答案] (1)f (x )＝x 3
－3x (2)增区间(－∞，－1)，(1，＋∞)；减区间(－1,1) 极
大值2 (3)略
[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，
即－ax 3
－cx ＋d ＝－ax 3
－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3
＋cx ，f ′(x )＝3ax 2
＋c ， 又当x ＝1时，f (x )取得极值－2， ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
f 1 ＝－2，
f ′ 1 ＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋c ＝－2，
3a ＋c ＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
c ＝－3.
∴f (x )＝x 3
－3x .
(2)f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；
∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)． 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.
(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，
|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．
即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．
21．在边长为60cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子如图，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
[答案] 箱底的边长是40cm 时，容积最大，最大容积16000cm 3
[解析] 设箱底边长为x cm ，则箱高h ＝60－x 2cm ，得箱子容积V (x )＝x 2
h ＝
60x 2
－x 3
2(0<x <60)，
V ′(x )＝60x －3x
2
2
(0<x <60)．
令V ′(x )＝60x －3x
22＝0，解得x ＝0(舍去)，x ＝40，
并求得V (40)＝16000.
由题意可知，当x 过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，
故当x ＝40cm 时，箱子的容积最大，最大容积是16000cm 3
.
反馈练习
1．设函数f (x )＝g (x )＋x 2
，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则
曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )
A ．4
B ．－14
C ．2
D ．－12
[答案] A
[解析] 由条件知g ′(1)＝2，而f ′(x )＝g ′(x )＋2， ∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.
2．若曲线f (x )＝x 4
－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,0) D ．(－1,0)
[答案] C
[解析] 设P (x 0，y 0)，f ′(x )＝4x 3
－1， 由题意得f ′(x 0)＝3， ∴4x 3
0－1＝3，∴x 0＝1. ∴y 0＝x 40－x 0＝0，故选C.
3．函数f (x )＝x －ln x 的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)
[答案] C
[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1x ，令f ′(x )>0，即1－1
x
>0，
∴1
x
<1，∴x >1，故选C.
4．f (x )＝x 3
－3x ＋1在[－2,3]上的最大值为( ) A ．3 B ．－1 C ．24 D ．19
[答案] D
[解析] f ′(x )＝3x 2
－3，由f ′(x )＝0得x ＝±1，当x ∈[－2，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,3]时，f ′(x )>0，∴f (x )在[－2，－1)和(1,3]上单调递增，在(－1,1)上单调递减，∴x ＝－1时，f (x )取到极大值f (－1)＝3，x ＝1时，
f (x )取到极小值为f (1)＝－1，又f (－2)＝－1，f (3)＝19，∴f (x )的最大值为19.
5．(2014·浙江调研)如图，过函数y ＝x sin x ＋cos x 图像上点(x ，y )的切线的斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图像大致为( )
[答案] A
[解析] ∵y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴k ＝g (x )＝x cos x ，显然g (x )为奇函数，排除B 、C. 当0<x 0<π
2
时，g (x 0)＝x 0cos x 0>0，排除D ，故选A.
6．(2013·河南安阳中学高二期末)f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足
xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )
A ．af (b )≤bf (a )
B ．bf (a )≤af (b )
C ．af (a )≤f (b )
D ．bf (b )≤f (a )
[答案] A
[解析] 令F (x )＝xf (x )，(x >0)，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数，
∵0<a <b ，∴F (a )>f (b )，即af (a )>bf (b )，与选项不符； 由于xf ′(x )＋f (x )≤0且x >0，f (x )≥0，∴f ′(x )≤－f x
x
≤0，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数，
∵0<a <b ，∴f (a )>f (b )， ∴bf (a )>af (b )，结合选项知选A.
7．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2
－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m 的
取值范围是( )
A ．m <2或m >4
B ．－4<m <－2
C ．2<m <4
D ．以上皆不正确
[答案] D
[解析] f ′(x )＝x 2
－2(4m －1)x ＋15m 2
－2m －7，
由题意得x 2
－2(4m －1)x ＋15m 2
－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2
－4(15m 2
－2m －7) ＝64m 2
－32m ＋4－60m 2
＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0，
∴2≤m ≤4，故选D.
8．函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能为( )
[答案] D
[解析] x <0时，f (x )为增函数，所以导函数在x <0时大于零；x >0时，原函数先增后减再增，所以导函数先大于零再小于零之后又大于零．故D 符合．
9．(2014·甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
[答案] B
[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－1
2＝ln2－ln e>0，∴
选B.
10．如图所示是函数f (x )＝x 3
＋bx 2
＋cx ＋d 的大致图像，则x 2
1＋x 2
2等于( )
A.2
3 B.4
3 C.8
3 D ．4
[答案] C
[解析] 由图像可知，函数f (x )过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，所以f (x )＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x .则f ′(x )＝3x 2
－6x ＋2.因为x 1，x 2是极值点，所以x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝23
.
所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝83.
二、填空题
11．(2014·杭州七校联考)若函数f (x )＝x 3
－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极值，则实数b 的取值范围是________．
[答案] (0,1)
[解析] f ′(x )＝3x 2
－3b ，∵f (x )在(0,1)内有极值， ∴f ′(x )＝0在(0,1)内有解，∴0<b <1.
12．(2013·泰州二中高二期中)函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________.
[答案] 5
[解析] f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是f ′(x )＝0的根，即f ′(－3)＝0，
∴27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.
13．对正整数n ，设曲线y ＝x n
(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
a n n ＋1的前n 项和是________． [答案] 2
n ＋1
－2
[解析] ∵y ＝x n
(1－x )，∴y ′＝(x n
)′(1－x )＋(1－x )′·x n
＝n ·x n －1
(1－x )－x n
.
f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1.
在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n
. ∴切线方程为y ＋2n
＝(－n －2)·2n －1(x －2)．
令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n
， ∴a n ＝(n ＋1)·2n
，
∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为2 2n
－1 2－1＝2n ＋1
－2. 14．(2014·海南五校联考)函数y ＝cos 3x ＋sin 2
x －cos x 的最大值________． [答案]
32
27
[解析] ∵y ＝cos 3
x ＋sin 2
x －cos x ＝cos 3
x ＋(1－cos 2
x )－cos x ＝cos 3
x －cos 2
x －cos x ＋1，令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1，则y ＝t 3
－t 2
－t ＋1，则y ′＝3t 2
－2t －1＝(3t ＋1)(t －1)，令y ′＝0，解得t ＝－1
3
或t ＝1，列表如下：
故函数y ＝t 3－t 2
－t ＋1在t ＝－3时取得极大值，亦即最大值，即y max ＝3227
.
15．(2014·哈六中期中)已知函数f (x ＋2)是偶函数，x >2时f ′(x )>0恒成立(其中
f ′(x )是函数f (x )的导函数)，且f (4)＝0，则不等式(x ＋2)f (x ＋3)<0的解集为________．
[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)
[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴其图像关于y 轴对称，∵y ＝f (x ＋2)的图像向右平移两个单位得到y ＝f (x )的图像，∴函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，
∵x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又
f (4)＝0，∴f (0)＝0，∴0<x <4时，f (x )<0，x <0或x >4时，f (x )>0，由(x ＋2)f (x ＋3)<0
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2<0，f x ＋3 >0，(1)
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2>0，f x ＋3 <0.(2)
由(1)得⎩⎪⎨
⎪⎧
x <－2，x ＋3<0或x ＋3>4，∴x <－3；
由(2)得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x >－2，
0<x ＋3<4.∴－2<x <1，
综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1)
三、解答题
16．(2014·成都质量检测)已知函数f (x )＝－12x 2＋2x －a e x
.
(1)若a ＝1，求f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)若f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围． [答案] (1)y ＝(1－e)x ＋12 (2)(－∞，－1
e 3]
[解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝－12x 2＋2x －e x
，
则f (1)＝－12×12＋2×1－e ＝3
2
－e ，
f ′(x )＝－x ＋2－e x ，f ′(1)＝－1＋2－e ＝1－e ，
故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －(32－e)＝(1－e)(x －1)，即y ＝(1－e)x ＋1
2.
(2)∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， ∵f (x )＝－12x 2＋2x －a e x ，f ′(x )＝－x ＋2－a e x
，
于是有不等式－x ＋2－a e x
≥0在R 上恒成立， 即a ≤2－x
e
x 在R 上恒成立，
令g (x )＝2－x e x ，则g ′(x )＝x －3
e x ，
令g ′(x )＝0，解得x ＝3，列表如下：
故函数g (x )在x 即g (x )min ＝－1e 3，所以a ≤－1
e 3，
即实数a 的取值范围是(－∞，－1
e
3]．
17．(2013·四川达州诊断)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数．
(1)求a 、c 的值；
(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [答案] (1)a ＝0，c ＝2 (2)(1，＋∞) [解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2
＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.
(2)由(1)知f (x )＝x 3
－3bx ＋2(b >0)， ∴f ′(x )＝3x 2
－3b ＝3(x －b )(x ＋b )， 令f ′(x )＝0得x ＝±b ，
依题意有⎩⎨
⎧f －b >0，
f b <0，
∴b >1，
故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．
18．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝2
3
时，y ＝f (x )有极值．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值．
[答案] (1)f (x )＝x 3
＋2x 2
－4x ＋5 (2)最大值13，最小值－11 [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，
(1)由题意得，⎩⎪⎨
⎪⎧
f ′ 23 ＝3× 23 2＋2a ×23＋b ＝0，f ′ 1 ＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝－4.
经检验得x ＝2
3时，y ＝f (x )有极小值，
所以f (x )＝x 3
＋2x 2
－4x ＋5.
(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2
＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2
3
，
f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表：
∵f (3)＝27，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4，
∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.
19．(2013·海淀区高二期中)已知函数f (x )＝a 2
3x 3－2ax 2
＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y
＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.
(1)求b 的值；
(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值． [答案] (1)3 (2)1
[解析] (1)f ′(x )＝a 2x 2
－4ax ＋b ， 由题意f ′(0)＝b ＝3.
(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极大值， ∴f ′(1)＝a 2
－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3. ①当a ＝1时，f ′(x )＝x 2
－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，
x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：
②当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2
－12x ＋3＝3(3x －1)(x －1)，
x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：
综上所述，若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，a 的值为1.
20．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．
(1)试写出y 关于x 的函数关系式；
(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ [答案] (1)y ＝256m
x
＋m x ＋2m －256(0<x ≤m ) (2)9个
[解析] (1)设需要新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m
x
－1，所以y ＝f (x )＝256n
＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256(m x
－1)＋m x
(2＋x )x ＝256m
x
＋m x ＋2m －256(0<x ≤m )．
(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 3
2－512)．
令f ′(x )＝0，得x 3
2
＝512，所以x ＝64，
当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)上为减函数； 当64<x ≤640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640]上为增函数．
所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝640
64
－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y 最小．
21．(2013·福州文博中学高二期末)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值；
(2)讨论g (x )与g (1
x
)的大小关系；
(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1
a
对任意x >0成立．
[答案] (1)减区间(0,1) 增区间(1，＋∞) 最小值1 (2)0<x <1时，g (x )>g (1
x
) x >1
时，g (x )<g (1
x
) (3)(0，e)
[解析] (1)由题设知g (x )＝ln x ＋1
x
，
∴g ′(x )＝
x －1
x 2
，令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间． 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间，
因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.
(2)g (1
x
)＝－ln x ＋x ，
设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1
x
，则
h ′(x )＝－ x －1
2
x
2
. 当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x
)．
当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1
x
)，
当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1
x
)．
(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立⇔g (a )－1<1
a
，
即ln a <1，从而得0<a <e ，即a 的取值范围为(0，e)．。