导数几何意义答案

3．1.3 导数的几何意义
答案
知识梳理
1．f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况
3．导函数 导数 lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx
作业设计
1．D [∵y ＝2x 3，
∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 2x ＋Δx 3－2x 3Δx
＝lim Δx →02Δx 3＋6x Δx 2＋6x 2Δx Δx
＝lim Δx →0
[2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2]＝6x 2. ∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]
2．C [由题意知切线过(2,3)，(－1,2)，
所以k ＝f ′(2)＝2－3－1－2＝－1－3＝13
>0.] 3．C [f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．]
4．B [2x ＋y ＋1＝0，得y ＝－2x －1，
由导数的几何意义知，h ′(a )＝－2<0.]
5．B [曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，切线与x 轴平行或重合．]
6．B [根据导数的几何意义，在x ∈[2,3]时，
曲线上x ＝2处切线斜率最大，
k ＝f 3－f 23－2
＝f (3)－f (2)>f ′(3)．] 7．－1
解析 由偶函数的图象和性质可知应为－1.
8．2x －y ＋4＝0
解析 由题意知，Δy ＝3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，
∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx
＝2. ∴所求直线的斜率k ＝2.
则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.
9．2
解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3，
又∵f ′(5)＝k ＝－1，
∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.
10．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.
因y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2
Δx
＝2x . ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0.
因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，
将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20，
∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3.
当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6.
∴所求直线的斜率为－2或6.
11．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)
＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，
∴Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9. ∴f ′(x 0)＝3⎝
⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.
∴－9－a 23
＝－12.解得a ＝±3. 又a <0，∴a ＝－3.
12．解 f ′(x ) ＝lim Δx →0
a x ＋Δx 2＋
b x ＋Δx －7－ax 2－bx ＋7Δx ＝lim Δx →0 (a ·Δx ＋2ax ＋b )＝2ax ＋b . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12.
13．解 f ′(x ) ＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx
＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2
Δx
＝2x ， 设P (x 0，y 0)为所求的点，
(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)．
(2)因为切线与x 轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，
得x 0＝－12，即y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，14.。