九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形

《解直角三角形》
《解直角三角形》是在学习了勾股定理、锐角三角函数的基础上继续研究由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的问题。

一个直角三角形有三个角、三条边这六个元素，解
直角三角形就是由已知元素求出未知元素的过程。

在直角三角形中除了一个直角外，只要知道两个元素（其中至少有一条边），就能求出其他元素。

本节教材首先从比萨斜塔的倾斜程度这个实际问题入手，给学生创设问题情境，抽象出
数学问题，从而引出解直角三角形的概念。

接着教材引导学生全面梳理直角三角形中边角
之间的关系，归纳出解直角三角形的一般方法，并以例题的形式对如何解直角三角形进行
示范。

【知识与能力目标】
1、理解解直角三角形的概念；
2、理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数解直角三角形。

【过程与方法目标】
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
【情感态度价值观目标】
在解直角三角形的过程中，渗透转化和数形结合的数学思想，促进数学思维的发展。

♦教学重难点
【教学重点】
掌握解直角三角形的一般方法。

【教学难点】
选择适当的关系式解直角三角形。

♦课前准备
多媒体课件、教具等。

♦教学过程
、创设情境，引入新课
问题1⑴你能说一说勾股定理的内容吗?
⑵直角三角中两锐角之间有何关系？
⑶如图，直角三角形ABC中，/ C=90°,三边长分别为a、b、c。

/ A、/ B的正弦、余弦和正切值分别是什么？
问题2你现在可以解决本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题吗?
1972年的情形：如图，设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为/ A过
点B向垂直中心线引垂线，垂足为点G在Rt△ ABC中，/ C=90°, BC=5。

2m AB=54。

5m
因此
BC 5.2 si nA 0.0954，利用计算器可得/ A 5° 28'。

AB 54.5
追问：类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角。

你能求出来
吗？
二、探索发现，形成新知
问题3问题2中解决比萨斜塔倾斜程度问题时把它抽象成数学问题后，已知的是这个直角三角形的哪几个元素？所求的是什么元素？解决问题的过程称作什么?
归纳：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数。

概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和二个锐角，由直 角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

问题4
⑴在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
⑵知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？
归纳：⑴ 如图：直角三角形 ABC 中，/ C =90°, a 、b 、c 、/ A Z B 这五个元素之间 的关系是：
① 三边之间关系
a 2 +
b 2 =
c 2 （勾股定理）
② 两锐角之间关系 / A +Z B =90°。

③ 边角之间的关系
⑵知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素。

追问1在已知的两个元素中，为什么必有一条边呢？
总结：无论是利用勾股定理，还是利用锐角三角函数来解直角三角形，
至少需要知道一
条边的值。

其实，如果知道的两个条件都是角，这个直角三角形的大小不是唯一确定的， 所以不能解这个直角三角形。

三、运用新知，深化理解
例1:如图，在 Rt △ ABC 中,/ C = 90°, AC —2 , BC = \6，解这个三角形。

Z A = 60°, A . B =90 - A =30 ,AB=2AC=2. 2。

sin A , c cos A
tan A =旦,sinB , b c
c a cosB
c
说明：解直角三角形的方法很多，灵活多样，先让学生独立思考得出解题思路，然后再师生共同总结得出简便易行的解决方案，最后教师板演示范解题过程。

例2:如图，在Rt△ ABC中，/ C= 90°,/ B= 35°, b=20,解这个直角三角形（结果保留小数点后一
位）。

A
丿/ b
x/ 20
B灣C
a
解：/A =90 E B=90 -35' =55
o
b b 20
tan B ，…a 28.6 °
a tan B tan35
sin B , .. c 34.9 °
c sin B sin35 °
追问1你还有其他方法求出c吗？
归纳：如可以/ A的余弦值求c,等等。

追问2:如果已知一边一角，如何解直角三角形？
归纳：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另外两边。

计算时，尽量使用题
中原始数据计算，这样误差小些。

例3 如图，CD是Rt△ ABC斜边上的高，BC=2j3 , CD = 2J2 ,求AB AC / A,
/ B精确到1' ）°
D 5
分析：在Rt△ ABC中，仅已知一条直角边BC的长，不能直接求解。

注意到BC和CD在同一个Rt A BCD中，因此可先解这个直角三角形。

解：在Rt A BCD中，••• BD = BC2 - CD2=£12 - 8 =2 , CD 2<2 46BD 2 V3
…sin B , cosB =
BC 2/3 3 BC 血 3
用计算器求得/ B= 54 ° 44',于是/ A= 90° - / B= 35° 16'°
在Rt A ABC中, AB = ——2 3 - =6 , AC = AB sin B =6 6 = 2 6 °
cosB 3 3
四、学生练习，巩固新知
练习1在厶ABC中，/ C=90°,根据下列条件解直角三角形：
(1)c= 10, b= 30;
(2)Z B=72°, c = 14;
(3)Z B=30°, a 。

练习2 在厶ABC中，/ C为直角，AC=6，/ BAC的平分线AD =4., 3，解此直角三角形。

五、课堂小结，梳理新知
回顾本课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1、解直角三角形的定义？
2、解直角三角形所用到的知识？
3、解直角三角形必须知道几个元素？
4、我们解直角三角形中常常用到的方法？等等。

六、布置作业，优化新知
1、教科书习题28。

2第1题；(必做题)
2、教科书习题28。

2第6题。

(选做题)。