江苏省姜堰中学高三数学实验班培优训练卷一 苏教版

江苏省姜堰中学高三数学实验班培优训练卷一
1．某人的密码箱上的密码是一种五位数字号码，每位上的数字可在0到9这10个数字中选
取，该人记得箱子的密码1，3，5位均为0，而忘记了2，4位上的数字，只要随意按下2，4位上的数字，则他按对2，4位上的数字的概率是 （ ） A ．
5
2
B ．
5
1 C ．
10
1 D ．
100
1 2．设命题P ：函数f (x )=a
x x
+
(a >0)在区间(1, 2)上单调递增；命题Q ：不等式|x －1|－|x +2|<4a 对任意x ∈R 都成立。

若“P 或Q ”是真命题，“P 且Q ”是假命题，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．43<a ≤1 B 。

43≤a <1 C ．0<a ≤43或a >1 D 。

0<a <4
3
或a ≥1
3．由等式2
23144322314)1()1()1(+++++=++++x b x b x a x a x a x a x
413)1(b x b +++定义),,,(),,,(43214321b b b b a a a a f =，则),1,2,3,4(f 等于 （ ）
（A ）)4,3,2,1( （B ）)0,4,3,0( （C ）)2,2,0,1(-- （D ）)1,4,3,0(-- 4．已知点F 1、F 2分别是双曲线
22a x －2
2b y
=1的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ．
5．有两个向量1(1,0)e =u r ，2(0,1)e =u u r ，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12e e +u r u u r
相同的
方向作匀速直线运动，速度为12||e e +u r u u r ；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e +u r u u r
相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e +u r
u u r
．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥u u u r
u u u u u r
时，t = 秒．
6．已知：OF =（c ，0）（c>0）,))(,(R n n n ∈=最小值为1.若动点P 同时满足
下列条件①)0>>=c a ②λ=其中)
,0)(,(2R t t c a ∈≠=λ③动点P 的轨迹C 过点B(0,-1).
(1) 求c 的值;
(2) 求曲线C 的方程;
(3) 过点M(0,2)的直线l 与曲线C 的轨迹交于A,B 两点,求⋅的取值范围.
7．对数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中)(*
1N n a a a n n n ∈-=∆+。

对正整数k ，规定}{n k
a ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中
)(1111n k n k n k n k a a a a --+-∆∆=∆-∆=∆。

（1） 若数列{}n a 首项11=a ，且满足n
n n n a a a 212-=+∆-∆+，求数列{}n a 的通项公式； （2） 对（1）中的数列{}n a ，是否存在等差数列{}n b ，使得n
n n n n n a C b C b C b =+⋅⋅⋅++2211对一切正整数*
N n ∈都成立？若存在，求数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明
理由；
（3） 令n n b n c )12(-=，设n
n n a c a c a c T +⋅⋅⋅++=
22
11，若M T n <恒成立，求最小的正整数M 的值。

8．过P （1，0）做曲线)1,),,0((:>∈+∞∈=+k N k x x y C k
的切线，切点为Q 1，设Q 1在x 轴上的投影为P 1，又过P 1做曲线C 的切线，切点为Q 2，设Q 2在x 轴上的投影为P 2，…，依次下去得到一系列点Q 1、Q 2、Q 3、…、Q n 的横坐标为.n a 求证： （Ⅰ）数列}{n a 是等比数列； （Ⅱ）1
1-+
≥k n
a n ； （Ⅲ）∑∑==+++=-<n
i n i n
i i
a a a a k k a i 12112
).:(Λ注
9.（本小题满分14分）
函数)1,(1
22≠∈++-=+y N n x n x x y 的最小值为,,n n b a 最大值为且1
4(),2n n n
c a b =-数列{}n C 的前n 项和为n S ．
（Ⅰ）求数列}{n c 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n d 是等差数列，且n
n S d n c
=+，求非零常数c ； （Ⅲ）若1
()()(36)n
n d f n n N n d ++=
∈+，求数列{()}f n 的最大项．
[参考答案]
1．D 2．C 3．D 4．（1，1+2） 5．2
6解
2
)2(222)(222
2
2
2
c c n c nc n n c n +-=+-=+-=,
当2c n =时
的最小值为1,12
2
=∴c ,22=∴c ,2=∴c .
(2)⎩⎨⎧==-1222b b a ,⎪⎩⎪⎨⎧==∴1
32
2
b a , ∴曲线C 的方程为
132
2=+y x . （3）设直线l 的方程为:2+=kx y .⎩⎨⎧+==+2
3
322kx y y x ⇒0912)31(22=+++kx x k (*)
由0>∆得:0)31(94)12(2
2
>+⋅-k k 12
>∴k
2
21221319
,3112k
x x k k x x +=⋅+-
=+ 2
2212
2121221131)
1(9)1()2)(2()2,()2,(k
k x x k y y x x y x y x ++=+=--+=-⋅-=⋅ 2
3163k
++
=,又12
>∴k ,∴293<⋅<. 当k 不存在时, MB MA ⋅=3,所以29
3<⋅≤MB MA .
7解（1）n
n n n a a a 212-=+∆-∆+而n n n a a a ∆-∆=∆+12可得n n n a a 2=-∆
n n n a a 221=-∴+，
212211=-++n n n n a a ，∴}2
{n n a 是首项为21，公差为21
的等差数列， 21)1(212
⋅-+=∴
n a n
n ，1
2-⋅=∴n n n a （2）n n n n n n a C b C b C b =+⋅⋅⋅++2211即：1
22112-⋅=+⋅⋅⋅++n n n n n n n C b C b C b 而11--⋅=k n k n C k kC )21
1110121----+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++n n n n n n n n nC nC nC nC C C =1
1111012)(-----⋅=+⋅⋅⋅++n n n n n n C C C n 故可得n b n =
∴存在等差数列}{n b ,n b n =使n n n n n n
a C
b C b C b =+⋅⋅⋅++2211对一切正整数*N n ∈都成立。

（3）由（2）知1n n n T 2
1
22523112-+⋅⋅⋅+++= ……… ① n n n n n T 2
1
223225232121132-+-+⋅⋅⋅+++=-……… ② ①-②得：n
n n n n n n T 21
22132122121211121222---=--+⋅⋅⋅+++++=-- 621
221613<---=∴--n n n n T
12212252311--+⋅⋅⋅+++=n n n T ，}{n T ∴递增 ，且5211
216536>--=T 。

∴满足条件的最小的正整数M 的值为6
8解：（Ⅰ）,1
-='k kx
y 若切点是),(k
n
n n a a Q ， 则切线方程为).(1
n k n k n a x ka a y -=--
当1=n 时，切线过点P （1，0）即).1(011
11a ka a k k -=--得.1
1-=
k k a 当1>n 时，切线过点)0,(11--n n a P 即).(011
n n k n k n a a ka a -=---得.1
1
-=-k k a a n n
∴数列}{n a 是首项为
1-k k ，公比为1-k k 的等比数列. .)1
(n n k k a -=∴…6分 （Ⅱ）n n n n n n n n n k C k C k C C k k k a )
1
1()1
1(1
1)1
11()1
(2210-++-+-+=-+=-=Λ .1
1111
0++=-+≥k n k C C n
n
（Ⅲ）记n
n n a n a n a a S +-+++=
12121Λ， 则
.12111
32++-+++=-n n n a n a n a a S k k Λ 两式相减n
n n n a a a a a n a a a a S k k 1
1111111)11(3211321+
+++<-++++=--
+ΛΛ .
.11
,1,].
)1(1)[1(11]
)1(1[112k k S k S k
k N k k k k k k k k k k S k n n n n n -<∴-<∴>∈---=-----<∴+Θ 9.解：（Ⅰ）由222
,(*,1),(1)01
x x n
y n N y x y x y n x -+=∈≠-++-=+得 Q x R ∈，1y ≠，214(1)()0,44(1)410y y n y n y n ∴∆=---≥-++-≤即 由题意知：2,44(1)410n n a b y n y n -++-=是方程的两根，
1
4
43,(*)
n n n a b n C n n N ∴⋅=-
∴=-∈ （Ⅱ）c
n n n d n n S n n +-=-=22
2,2，∴1231615
,,123d d d c c c ===
+++ Q {}n d 为等差数列，2132d d d ∴=+，220c c ∴+=，1
0()2
c c ∴=-=或舍 经检验1
2
c =
时，{}n d 是等差数列，2n d n =
（Ⅲ）211
()36(36)(22)49
37n f n n n n n
=
=≤=++++
36
6""1
().
49n n n f n =
==∴当且仅当即时取的最大值为。