活用画图技巧培养学科素养——以《植树问题》为例

活用画图技巧培养学科素养——以
《植树问题》为例
摘要：“植树问题”是人教版《数学》五年级上册“数学广角”的内容，重点是研究种树棵数与间隔数之间的关系。

学生在探究这一问题时，往往会采用“画图”的方法，因此如何画图，怎么用图是这节课的重点之一。

在这一过程中，有意识地培养学生数学建模、对应、数感等高阶思维能力和“选择简单的数研究”的数学思考方法，感受数学与现实生活的紧密联系，体验成功的喜悦。

关键词：画图技巧；一一对应；简单的数据
一、创设情境，揭示课题
教师伸出一只手，指着手指与手指之间的距离问：“同学们，你们知道这段
距离叫什么吗？我们把这一段距离叫做间隔。

”课件播放：一排做操的学生中的
3个人、路边的两根电线杆、路边的4面彩旗、路边的5棵柳树。

师：用手指出间隔数和棵数。

/生1：3个人之间有2个间隔；生2：两个电
线杆之间有1个间隔；生3：4面彩旗之间有3个间隔；生4：5颗柳树之间有1
个间隔。

/师：今天这节课，我们就来研究一些简单的与“间隔数”和“棵数”
有关的问题——植树问题。

（板书课题）
设计意图：在实际的教学中，学生往往对于间隔的理解有偏差。

在本课的引
入时，先让学生观察现实生活中不同场景的间隔是怎么样的，图形中的间隔是怎
么形成的，初步体会间隔和棵数之间的关系。

1.
活用技巧，激趣引知
1.
课件出示情境。

在1000米长的路上，一边种树，每隔5米种一棵（两端都种）。

一共可以种多少棵树？
师：从题中你得到了哪些信息？/生：在1000米的长的路上，一边植树，每
隔5米种一棵，两端都种。

/师：一边植树是什么意思？/生：路有两边，只在一
边植树。

/师：两端都种呢？/生：一头一尾都种树。

/师：这道题你是怎么想的？请先尝试列算式解决。

/学生可能出现三种算式，分别是1000÷5，1000÷5＋2，1000÷5＋1
师：哪个算式是正确的？如何验证？/学生猜测，并指出可以通过画图的方
法验证。

/师：可是1000米太长太麻烦了，怎么办？/生1：可以选择小的数；生2：可以选择从20m的路上研究；生3：也可以选择从30m的路上研究。

/板书：
从简单的数据研究。

/师：那我们先选择在20m的路上研究吧。

请同学画一画，
算一算。

设计意图：出示“种树”的情境，先让学生列算式解决，展示不同的算式，
把学生的想法暴露出来。

怎么去验证哪个算式是正确的？学生都能想到用“画图”的方法。

而情境中的数据太大，引起学生思考，数据太大时可以选择从小的数据
研究，找到规律。

1.
画图解题，探究规律。

出示学生的作品，先展示错误的画法。

师：请你判断这些同学画的图是否正确？/生1：是错误的。

题中要求是“两
端都种”，他只种了一端。

/生2：是错误的。

一个间隔长5m，这里有5个间隔，一共是25m了，与题意不符。

并且按照他的画法，总长度他也标错了。

/师：这
两位同学在指出错误时都提到了一个关键的因素——与条件不符。

所以画图时，
我们要注意什么？/生：与条件相符合。

/师：是的，我们所画的图一定要和题中
的条件一致，这样才能帮助我们正确地解决问题。

/师再展示正确的画法。

师：谁来说说怎么画才正确？/生：一个间隔是5m，4个间隔就是20m，首先
要符合题意。

而且两端都种上树了。

/师：你觉得他的画法正确吗？谁还有补充？/生：正确，不过我们可以用线段图来画。

/师追问：为什么选择线段图？/生：
因为这样的图比较简单，把树画成一棵棵树的样子太浪费时间了。

/师：想要画
出正确的图，还要注意什么呢？/生：不要忘记检查，画出的图是否和题中的要
求一致。

设计意图：展示正确的和错误的画法，让学生在不同的画法中体会图一定要
和条件一致才能帮助解决问题。

最后老师让学生说一说画法，帮助画错的学生规
范画图。

师：图画正确了，谁再来说一说从图中，你发现了什么？/生：我发现棵数
比间隔数多1。

/师：谁能结合图，说一说为什么两端都种，棵数比间隔数多1？
/生一边在图上指一指，一边说：一棵树对应一个间隔，这样一一对应下去，就
会发现最后一棵树没有对应的间隔，所以棵数比间隔数多1。

1.
再次探究，得出规律。

师：在20米的路上两端都种，我们发现了棵树比间隔数多1，那么在其他长
度的路上也有这样的规律吗？我们一起再来研究一下。

/出示情境：在（）米
长的路上一边种树，每隔5米种一棵（两端都种）。

一共可以种多少棵树？/师：你还想研究几米？请你把自己想研究的长度填入括号里，画一画，算一算。

学生通过画图的方法，研究不同长度的小路，都得到了两端都栽，棵数比间
隔数多1。

/板书：棵数=间隔数＋1（两端都栽）
师：根据探究所得的规律，我们再回到第一个例题中我们在黑板上列的这几
个算式，谁能再来说说哪个算式是正确的？/生：1000÷5＋1是正确的。

/师：说
一说为什么？/生：1000÷5算出的是间隔数，再＋1就是棵数了。

/师：为什么
＋1？/生：因为一棵树对应一个间隔，这样一一对应下去，最后一棵树后面没有
间隔，所以多出一棵树。

/师：解释的真好，同桌之间互相说一说为什么加1。

设计意图：通过让学生自主探究，再一次验证当两端都栽时棵数比间隔数多1，学生把探究所得的规律重新去解决例1的问题，既能让学生感受探究大数据
时，可以选择从小数据上先探究出规律，又能让学生把得出的规律应用到解决问题中去，锻炼了学生应用能力。

1.
构建模型，活用规律
1.
你能否自己编一道类似的“植树问题”。

师：同学们编的这些题各有创意，既和我们今天研究的植树问题有点像又有点不像，你们能解决吗？/师：那就请同学们根据我们在课上小结的画图方法，尝试解决老师选择的这三道题。

1.
学生通过画图解决所编的植树问题。

师：刚才我们自己开动脑筋解决了问题，解决完这些植树问题，你又有什么发现呢？/生：通过上面几道题，我发现了两端都不栽，棵树比间隔数少1。

/师追问：你能结合你的线段图来说说为什么吗？/生：可以这样，一个间隔对应棵树，那么这样一一对应下去，最后一个间隔没有对应的树，所以棵树比间隔数少1。

/师：说的特别好！还有其他发现吗？/生：我也发现了一端栽、一端不栽的情况，棵树=间隔数。

设计意图：让学生自己编一道类似的“植树问题”，在编题的过程中，也是建立“植树问题”模型的过程。

学生在选择编题素材时，不一定是“树”，而是生活中的其他东西。

此外，也提升了学生对于知识的应用、整合、编辑等综合能力，调动了学生的学习积极性。

1.
抽象概括，深化理解
师：同学们在编题时，用到的素材很多，如人、电线杆、车站、旗子等，现
在把这些在脑海里越变越小，成一个点，小路变成一条线段，你能发现棵数和间
隔数之间的关系吗？/生：棵数=间隔数＋1，棵数=间隔数，棵数=间隔数－1。

设计意图：数学学习是从具体到抽象再回到具体的过程。

本环节从感知上升
到认知，在学生脑海里建立了植树问题的模型。

学生学到的不仅是知识，更是一
种学习方法、一种解决问题的策略。

1.
回顾反思，总结提升
师：在刚刚编的题中，有一种情况与我们今天探究的不一样，这位编题的同
学题目中的条件是“在环形池塘的周围种树”，这种情况，我们该怎么去研究呢？/生：和今天研究的方法一样，用画图方法，从小的数据研究。

设计意图：通过回顾，学生能再次梳理探究的过程和方法，总结解决问题的
策略。

在课的结尾提出另一种植树问题的情况，培养学生数学方法的迁移能力。