函数的单调性_极值_最值

f ( x)
不存在
1 (1,)
0
f (x)
极大值
极小值
极大值 f (0) 0 极小值 f (1) 3
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定理3(第二充分条件) 设 f ( x)在 x0处具有二阶导
数,且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0, 那末 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数
取得极值的点称为极值点.
y
y
o
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x0
x
o
x0
x
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注意：极大(小)值与最大(小)值的 区别.
y
y f (x)
a o x1
x2
b x3 x4
x
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2．函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点 x0处具有导数,且 在 x0处取得极值,那么必定 f ( x0 ) 0 .
点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
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例1 判断y arctan x x在(0, )上的单调性.
解
y
1
1 x
2
x2 1 1 x2 0
故y arctan x x在(0, )上单调递减.
注意:区间内有限个点处导数为零,不影响区间的单调性.
例如, y x3, y 3x2
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练 习 题(二)
一、 填空题： 1. 极值反映的是函数的 ________性质.
利用泰勒公式]
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练习题(一)答案
一、1．(,1],[3,)单调增加,[1,3]单调减少； 2．增加,(,1],[1,) 3． (,1],[1, ) ；[1,0), (0,1];(,1], (0,1].
二、1．在(,0),(0, 1],[1,)内单调减少, 2
在[1 ,1]上单调增加； 2
根据自变量的取值范围，分以下两种情况 讨论．
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1．函数 f (x) 在闭区间连续
步骤：
第一步，求出有可能取得最值的点，包括
使 f ( x) 0和 f ( x)不存在的点，及区间端点．
第二步，计算所求出的各点的函数值，比 较其大小，选出最大值和最小值．
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例1 求函数f ( x) 3 ( x 3)( x 6)2 在[0，6]上的最值.
符号相同,则 f ( x)在 x0处无极值.
y
y
y
y f (x)
o
x0
xo
x0
x o x0 x1
x
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例1 求函数f ( x) (2x 5)3 x2的极值 .
解 定义域： (， )
f (x) 10( x 1)
33 x
不可导点x 0 驻点x 1
x (,0) 0 (0，1)
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)
x
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练 习 题(一)
一、 填空题： 1. 函数 y 2x 3 6x 2 18x 7单调区间为________ _____________. 2. 函数 y 2x 在区间[-1,1]上单调________， 1 x2 在_________上单调减. 3．函数 y x 2 ln x 2的单调区间为____________， 单减区间为_____________.
y x3
y x0 0,
o
但在(,)上单调增加.
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2．单调区间求法
定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点．
定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
但在x 0处不可导.
o
x
函数在定义域中的驻点及不可导点统称为极值可疑点.
指出：连续函数仅在极值可疑点上可能取得极值.
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定理2(第一充分条件) 设y f ( x)在x x0处连续.
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
方法: 用驻点及 f ( x)不存在的点来划分函数f ( x) 的定义区间 , 然后判断区间内导数的符号.
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例2 求函数 y ( x 1) 3 x 的单调区间.
解 函数定义域为(,).
y 4x 1. 33 x2
令 y 0 4x 1 0
33 x2
解之
x1
1 4
当x2 0时，导数不存在.
f (2) 18 0,
故极小值 f (2) 48.
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0处不一定取极值, 改用第一充分条件判断.
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求极值(单调性)的步骤:
(1) 确定函数f ( x)的定义域，求导数f ( x); (2) 求出f ( x)的驻点和不可导点； (3) 用这两类点将定义域分成若干个部分区间，
Байду номын сангаас
解 设房租为每月x元，
每月总收入为
f
(x)
(x
20)
50
x
180 10
令f ( x) 70 x 0 驻点 x 350 f (350) 1 0
5
5
故每月每套租金为350元时收入最高.
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四、小结 思考题
1. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要 应用，定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立.
同理可证(2).
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例2 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20的极值.
解 定义域 : (,)
f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)( x 2)
令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2.
f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
f ( x)的最小值为 f (0) 33 4
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2．函数 f (x)在开区间(或无穷区间)连续
若f ( x)在一个开区间(或无穷区间)内可导且 只有一个驻点x0 , 若这个驻点x0是f ( x)的极值点， 则驻点x0必为f ( x)在该区间上的最值点.
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例2 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为 每套每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每套 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租 定为每套每月多少元可获得最大收入？
并确定f ( x)在每个部分区间上的符号； (4)由此判断单调性并确定极值.
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三、函数的最大值与最小值
在生产实践和科学实验中，经常有这样的问 题，怎样才能使“产品最多”、“用料最少”、 “成本最低”、“效益最高”等等．这样的问题 在数学中可归结为求某一函数的最大值或最小值 问题．
第四、五节
一、函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最值 四、小结 思考题
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一、函数的单调性
1．单调性的判别法
y
y f (x) B
y
A y f (x)
A
B
o a f ( x) 0 b x
o a f ( x) 0 b x
定理 设函数 y f ( x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导. （1）如果在 (a,b)内 f ( x) 0，那么函数 y f ( x)在
x (,0)
0
0,
1 4
1 4
1 , 4
y
不存在
0
y
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3．利用单调性证明不等式 例3 当x 0时,证明1 x ln( x 1 x2 ) 1 x2 .
证 设f ( x) 1 x ln( x 1 x2 ) 1 x2
则 f ( x) ln( x 1 x2 )
6
1 x2 ；
四、 方程 ln x ax (a 0)有几个实根.
五、 设 f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内 f (x),试证
明：对于[a, b]上任意两点 x1， x2有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) [提示：方法（1）
2
2
f ( x) 0， f ( x)单增；方法（2） f ( x) 0，
证
(1)
f ( x0 )
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
0,
故f ( x0 x) f ( x0 )与x异号，
当x 0时，有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
当x 0时，有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
所以，函数 f ( x)在 x0处取得极大值．
应用：利用函数的单调性可以证明不等式 和确定某些方程实根的个数.
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2. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极 小值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
第一充分条件;
判别法
(注意使用条件)
第二充分条件;
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思考题
若在(, )上f ( x) 0，f (0) 0，证明 F ( x) f ( x) 在区间(, 0)和(0, )上单调增加.
当x 0时， f ( x) 0， f ( x) f (0) 0
即1 x ln( x 1 x2 ) 1 x2 . 单调性还可用于证明方程根的唯一性.
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二、函数的极值
定义 设函数f ( x)在点x0的某个去心邻域内有定义， 且对于该去心邻域内的任何点x,都有f ( x) f ( x0 ) (或f ( x) f ( x0 )),称f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值 (极小值).
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用
导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一
注意: 可导函数 f ( x)的极值点必定是它的驻点,
但函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.
例如, y x3, y x0 0,
但x 0不是极值点.
y x3
o
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注意:对于连续函数，导数不存在的点，也可能
是函数的极值点. 例如，y | x | 在x 0处有极小值.
y | x | y
解 函数f ( x)在闭区间[0,6]上连续，
f ( x)
x4
2
1
( x 3)3 ( x 6)3
f ( x)在[0,6]上有极值可疑点x1 3, x2 4, x3 6, f (3) f (6) 0, f (4) 3 4, f (0) 33 4
在[0,6]上f ( x)的最大值为 f (4) 3 4,
[a, b]上单调增加； (2) 如果在 (a,b)内 f ( x) 0，那么函数 y f ( x)在
[a, b]上单调减少.
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2
证 x1, x2 [a,b], 且 x1 x2, 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1) ( x1 x2 ) 若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
2．在(, 2 a],[a,)内单调增加, 3
在[2 a, a]上单调减少； 3
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3．在[k , k ]上单调增加, 22 3
在[k , k ]上单调减少,(k 0,1,2,). 2 32 2
四、(1)a 1时没有实根； e
(2)0 a 1时有两个实根； e
(3)a 1时只有 x e一个实根. e
二、 确定下列函数的单调区间：
1.
y
4x3
10 9x2
；
6x
2. y 3 (2x a)(a x)2 (a 0)；
3. y x sin 2x .
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三、 证明下列不等式：
1. 当 x 0时，1 x ln( x 1 x2 ) 2. 当 x 4时，2 x x 2； 3. 若 x 0，则sin x x 1 x 3.