湖北省黄冈市白庙河中学2018年高三数学理上学期期末试题含解析

湖北省黄冈市白庙河中学2018年高三数学理上学期期
末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为
（）
A．5 B．4 C．3 D．2
参考答案：
A
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用二次函数的性质，判断求解即可．
【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，
可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，
所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，
函数的最大值为：5．
故选：A．
【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．
2. 直线与圆相交于、两点，为坐标原点，则
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
3. 18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分
别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中
,,则满足（）.
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
D
4. 已知一个几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为
A.4
B.8
C.
D.
参考答案：
A
略
5. 在△ABC中，给出下列四个命题：
①若，则△ABC必是等腰三角形；
②若，则△ABC必是直角三角形；
③若，则△ABC必是钝角三角形；
④若，则△ABC必是等边三角形.
以上命题中正确的命题的个数
是
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
6. 已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的
左、右焦点，为△的内心，若成立，则双曲线的离心率是
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
7. 某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）
A．4πB．πC．πD．20π
参考答案：
B
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．
【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，
三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，
r==，球的表面积4πr2=4π×=π．
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键．
8. 若x，y满足约束条件，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
画出可行解域，在可行解域内，平行移动直线，找到直线，在纵轴上的截距最小时和最大时经过的点，分别把点的坐标代入目标函数中求出最小值和最大值，注意这个最大值点不在可行解域内,也就求出了目标函数的取值范围.
【详解】可行解域如下图所示：
在可行解域内，平行移动直线，可以发现当直线经过点时，在纵轴上的截距最小，当经过点时，在纵轴上的截距最大，解方程组：
，解方程组：,所以
由于点不在可行解域内，所以，故本题选C.
【点睛】本题考查了线性目标函数的取值范围，画出可行解域是解题的关键，需要注意的量本题的最大值点不在可行解域内，
9. 命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是
A、全等三角形的面积不一定都相等
B、不全等三角形的面积不一定都相等
C、存在两个不全等三角形的面积相等
D、存在两个全等三角形的面积不相等
参考答案：
D
10. 以抛物线的顶点为中心、焦点为一个顶点且离心率的双曲线的标准方程是
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列{a n}通项为a n=ncos（+）（n∈N*），S n为其前n项的和，则S2012=．
参考答案：
503（1+）
略
12. 函数定义域是.
参考答案：
13. 已知函数，则不等式的解集为_______．
参考答案：
函数的导数为，
则x>0时,f′(x)>0,f(x)递增，且，
则为偶函数,即有，则不等式,即为，即为
，则,即,解得，
即解集为
14. 给出右面的程序框图，则输出的结果为_________.
参考答案：
4
略
15. 已知函数若函数有3个零点，
则实数的取值范围是___________．
参考答案：
16. 已知在上的值域为，求的值________
参考答案：
4
17. 已知向量满足，则的夹角为_________参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设有半径为3的圆形村落，、两人同时从村落中心出发。

一直向北直行；先向东直行，出村后一段时间，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线朝所在的方向前进。

（1）若在距离中心5的地方改变方向，建立适当坐标系，
求：改变方向后前进路径所在直线的方程
（2）设、两人速度一定，其速度比为，且后来恰与相遇.问两人在何处相遇？
（以村落中心为参照，说明方位和距离）
参考答案：
(1)建立如图坐标系：
(2)由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时，v千米/小时，
再设A出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇.
则P、Q两点坐标为（3vx0, 0），（0,vx0+vy0）.
由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，
（3vx0）2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2,
即.
……①
将①代入
又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置.
设直线相切，则有
答：A、B相遇点在村落中心正北距离千米处
19. 数列满足其中
（1）求
（2）是否存在一个实数，使成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。

参考答案：
解：（1）同理，。

（2）假设使为等差数列，则成等差数列，由（1）
，当时，
，故，使为等差数列。

20. 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
参考答案：
考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；
（2）利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出．
解答：解：（1）第3，4，5组中的人数分别为0.06×5×100=30，0.04×5×100=20，0.02×5×100=10．
从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者，应从第3，4，5组各抽取人数为，，=1；
（2）设“第4组至少有一名志愿者被抽中”为事件A，则P（A）==．
点评：熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键．
21. （13分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边的长分别为a，b，c，已知b=5，
，．
（I）求c的值；
（II）求sinC的值．
参考答案：
【考点】解三角形．
【专题】计算题．
【分析】（I）由b的值和sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，
让面积等于得到关于c的方程，求出才的解即可得到c的值；
（II）由三角形为锐角三角形，得到A的范围，由sinA的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosA的值，然后由b，c和cosA的值即可求出a的值，再由c，a和sinA 的值，利用正弦定理即可求出sinC的值．
【解答】解：（I）由b=5，sinA=，
则，
可得×5c=，
解得c=6；
（II）由锐角△ABC中可得：，
由余弦定理可得：，
有：a=4．
由正弦定理：，
即．
【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理及三角形的面积公式化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．
22. （本小题满分13分）
数列为正项等比数列，且满足；设正项数列的前n 项和为S n，满足．
（1）求的通项公式；
（2）设的前项的和T n．
参考答案：
解：（1）设数列的公比为，由得所以由条件可知故由得所以
故数列的通项公式为：；
（2）又由得：
当时，
即
数列为等差数列，且公差
又，
由得，
①
②①-②得：。