天津市河西区2022-2023学年数学九年级第一学期期末达标检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．抛物线y ＝﹣（x +1）2﹣3的顶点坐标是（ ） A ．（1，﹣3）
B ．（1，3）
C ．（﹣1，3）
D ．（﹣1，﹣3）
2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线1
12
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 是y 轴正半轴上的一点，当2CAO BAO ∠=∠时，则点C 的纵坐标是（ ）
A ．2
B 25
C 26
D ．
83
3．一元二次方程2x 4x 50-+=的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
4．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高(单位：cm)为：10、16、8、17、19，则这组数据的极差是（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
5．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y=
k
x
（x ＞0）的图象上，若AB=2，则k 的值为（ ）
A ．4
B ．22
C ．2
D ．2
6．如图，12l l //，点O 在直线1l 上，若90AOB ︒∠=，135︒∠=，则2∠的度数为（ ）
A ．65°
B ．55°
C ．45°
D ．35°
7．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A ．当AC BD =时，它是矩形
B ．当A
C B
D ⊥时，它是菱形 C ．当AD DC =时，它是菱形
D ．当90ABC ∠=︒时，它是正方形
8．如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m 的位置上，则球拍击球的高度h 为( )
A ．1.6m
B ．1.5m
C ．2.4m
D ．1.2m
9．如图，ABC 的面积为12，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，则ADE 的面积为（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
10．已知二次函数y = ax 2+ 2ax + 3a 2+ 3（其中x 是自变量），当x ≥ 2时，y 随x 的增大而增大，且-3 ≤ x ≤ 0时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ）．
A ．1或2-
B ．2或2-
C ．2
D ．1
11．下列命题①若a b >，则22am bm >②相等的圆心角所对的弧相等③各边都相等的多边形是正多边形 ④16的平方根是4±．其中真命题的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x 尺，则根据题意，可列方程（ ）
A ．222(4)(2)x x x +++=
B ．222(4)(2)x x x -+-=
C ．222(4)(2)x x x -++=
D ．222(4)(2)x x x ++-=
二、填空题（每题4分，共24分） 13．函数y ＝kx ，y ＝
a
x ，y ＝b x
的图象如图所示，下列判断正确的有_____．（填序号）①k ，a ，b 都是正数；②函数y ＝与y ＝的图象会出现四个交点；③A ，D 两点关于原点对称；④若B 是OA 的中点，则a ＝4b ．
14．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径为__________cm ． 15．圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的全面积为_______cm 2.
16．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B ，D ，AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m ，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为__________.
17．两个相似多边形的一组对应边分别为2cm 和3cm ，那么对应的这两个多边形的面积比是__________
18．为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是______小时． 睡眠时间（小时） 6 7 8 9 学生人数
8
6
4
2
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，75C ∠=︒，夹边BC 的长为6，求ABC ∆的面积．
20．（8分）如图，在△ABC 中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的⊙0与AC 相切于点D ，BD 平分∠ABC ，AD ＝3OD ，AB ＝12，求CD 的长．
21．（8分）如图，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点()0,3C ，且OB OC =.直线
1y x =+与抛物线交于A D 、两点，与y 轴交于点E ，点Q 是抛物线的顶点，设直线AD 上方的抛物线上的动点P 的
横坐标为m ．
（1）求该抛物线的解析式及顶点Q 的坐标．
（2）连接CQ ，直接写出线段CQ 与线段AE 的数量关系和位置关系． （3）连接PA PD 、，当m 为何值时1
2
APD DAB S S ∆∆=
？ （4）在直线AD 上是否存在一点H ，使PQH 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线．
图1
图2
材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD ＝BC ＝10 m ，间距AB 为32 m ，桥面AB 水平，主索最低点为点P ，点P 距离桥面为2 m ；
图3
为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如下图： 甲同学：以DC 中点为原点，DC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系；
乙同学：以AB 中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系；
丙同学：以点P 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系.
（1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C 的坐标，并求出主索抛物线的表达式； （2）距离点P 水平距离为4 m 和8 m 处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？
23．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，E 为BC 上一点，且BE=1，∠AED=90°，将AED 绕点E 顺时针旋转
得到A ED ''△，A′E 交AD 于P ， D′E 交CD 于Q ，连接PQ ，当点Q 与点C 重合时，AED 停止转动． （1）求线段AD 的长；
（2）当点P 与点A 不重合时，试判断PQ 与A D ''的位置关系，并说明理由； （3）求出从开始到停止，线段PQ 的中点M 所经过的路径长．
24．（10分）对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}＝﹣1，min{1，1}＝1．类似地，若函数y1、y1都是x的函数，则y＝min{y1，y1}表示函数y1和y1的“取小函数”．
（1）设y1＝x，y1＝1
x
，则函数y＝min{x，
1
x
}的图象应该是中的实线部分．
（1）请在图1中用粗实线描出函数y＝min{（x﹣1）1，（x+1）1}的图象，并写出该图象的三条不同性质：
①；②；③；
（3）函数y＝min{（x﹣4）1，（x+1）1}的图象关于对称．
25．（12分）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A 微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度．
（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
26．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，直角顶点B位于x轴的负半轴，点A（0，﹣2），斜边AC交x轴于点D，
BC与y轴交于点E，且tan∠OAD＝1
2
，y轴平分∠BAC，反比例函数y＝
k
x
（x＞0）的图象经过点C．
（1）求点B，D坐标；
（2）求y＝k
x
（x＞0）的函数表达式．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
2、D
【分析】首先过点B作BD⊥AC于点D，设BC=a，根据直线解析式得到点A、B坐标，从而求出OA 、OB的长，易证△BCD ≌△ACO，再根据相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可解答.
【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，设BC=a，
∵直线1
12
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， ∴A(-2,0)，B （0,1），即OA=2， OB=1，222(1)a ++， ∵2CAO BAO ∠=∠， ∴AB 平分∠CAB ， 又∵BO ⊥AO ，BD ⊥AC ， ∴BO= BD=1，
∵∠BCD =∠ACO ，∠CDB=∠COA =90°， ∴△BCD ≌△ACO ，
∴CB BD
CA AO
= ，即222(1)a ++ 解得：a 1=5
3
， a 2=-1（舍去），
∴OC=OB+BC=53+1=83，所以点C 的纵坐标是8
3
.
故选：D. 【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质的综合运用，解题关键是恰当作辅助线利用角平分线的性质. 3、D
【分析】由根的判别式△判断即可.
【详解】解：△=b 2-4ac=(-4)2-4×5=-4＜0，方程没有实数根. 故选择D. 【点睛】
本题考查了一元二次方程根与判别式的关系. 4、D
【分析】计算最大数19与最小数8的差即可.
【详解】19-8=11， 故选：D. 【点睛】
此题考查极差，即一组数据中最大值与最小值的差. 5、A
【解析】作BD ⊥AC 于D ，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=2AB=22，BD=AD=CD=2，再利用AC ⊥x 轴得到C （2，22），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k 的值． 【详解】作BD ⊥AC 于D ，如图，
∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC=2AB=22， ∴BD=AD=CD=2， ∵AC ⊥x 轴， ∴C （2，22）， 把C （2，22）代入y=k
x
得k=2×
22=4， 故选A ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=
k x
（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k 是解题的关键.
6、B
【解析】先根据135︒∠=，12l l //求出OAB ∠的度数，再由OB OA ⊥即可得出答案． 【详解】解：∵12l l //，135︒∠=， ∴135OAB ︒∠=∠=． ∵OA OB ⊥，
∴29055OBA OAB ︒︒∠=∠=-∠=．
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．
7、D
【解析】根据已知及各个四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【详解】A. 正确，对角线相等的平行四边形是矩形；
B. 正确，对角线垂直的平行四边形是菱形；
C. 正确，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
D. 不正确，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

故选D
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，解题关键在于掌握判定法则
8、B
【解析】分析：本题是利用三角形相似的判定和性质来求数据. 解析：根据题意三角形相似，∴
0.84,40.87.5, 1.5.4 3.5h h h ==⨯=+ 故选B.
9、D
【分析】先由点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，得DE ∥BC ，从而得△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及△ABC 的面积为12，可得S ADE =1．
【详解】解：∵点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，
∴DE ∥BC ，1=2
AD AB ， ∴△ADE ∽△ABC ，
∴S ADE ：S △ABC =1：4
∵△ABC 的面积为12
∴S ADE =1.
故选D ．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握形似三角形的判定方法与性质定理是解答本题的关键.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由-3 ≤ x ≤ 0时时，y 的最大值为9，可得x=-3时，y=9，即可求出a ．
【详解】∵二次函数y = ax 2+ 2ax + 3a 2+ 3 (其中x 是自变量)， ∴对称轴是直线212a x a
=-=-， ∵当x ⩾2时，y 随x 的增大而增大，
∴a>0，
∵-3 ≤ x ≤ 0时，y 的最大值为9，
又∵a>0，对称轴是直线212a x a
=-=-， ()()3101--->--，
∴在x=-3时，y 的最大值为9，
∴x=-3时, 2
96339y a a a =-++=，
∴220a a +-=，
∴a=1,或a=−2(不合题意舍去).
故选D.
【点睛】
此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握二次函数的基本性质即可解答.
11、A
【分析】①根据不等式的性质进行判断；②根据圆心角、弧、弦的关系进行分析即可；③根据正多边形的定义进行判断；④根据平方根的性质进行判断即可．
【详解】①若m 2＝0，则22am bm =，此命题是假命题；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，此命题是假命题；
③各边相等，各内角相等的多边形是正多边形，此命题是假命题；
，4的平方根是2±，此命题是假命题.
所以原命题是真命题的个数为0，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【分析】根据题意，门框的长、宽以及竹竿长是直角三角形的三边长，等量关系为：门框长的平方+门框宽的平方=门的对角线长的平方，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵竹竿的长为x 尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．
∴门框的长为（x-2）尺，宽为（x-4）尺，
∴可列方程为（x-4）2+（x-2）2=x 2，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到门框的长，宽，竹竿长是直角三角形的三边长是解决问题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、①③④
【分析】根据反比例函数、一次函数的性质以及反比例函数系数k 的几何意义即可判断．
【详解】解：由图像可知函数y ＝kx 经过一、三象限，h 函数y ＝
a x ，y ＝
b x 在一、三象限，则k ＞0，a ＞0，b ＞0，故①正确；
由图像可知函数y ＝a x 与y ＝b x
的图像没有交点，故②错误； 根据正比例函数和反比例函数的图像都是中心对称图像可知，A ，D 两点关于原点对称，故③正确；
若B 是OA 的中点，轴OA ＝2OB ，作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，
∴BN ∥AM ，
∴△BON ∽△AOM ， ∴21()4
BON AOM S OB S OA ∆∆==， ∴11214
2
b a =， ∴b ＝4a ，故④正确：
故答案为①③④．
【点睛】
本题考查了相似性质、反比例函数、一次函数的性质以及反比例函数系数k 的几何意义，数形结合的思想是解题的关键
14、1
【分析】（1）根据180
n R l π=
，求出扇形弧长，即圆锥底面周长； （2）根据2C r π=，即2C r π
=，求圆锥底面半径． 【详解】该圆锥的底面半径=()1203=11802cm ππ⋅⋅ 故答案为：1．
【点睛】
圆锥的侧面展开图是扇形，解题关键是理解扇形弧长就是圆锥底面周长．
15、14π
【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径1＋底面周长×母线长÷1．
【详解】解：∵圆锥母线长为5cm ，圆锥的高为4cm ，
∴底面圆的半径为3，则底面周长＝6π， ∴侧面面积＝12
×6π×5＝15π； ∴底面积为＝9π，
∴全面积为：15π＋9π＝14π．
故答案为14π．
【点睛】
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
16、0.4m
【分析】先证明△OAB ∽△OCD ，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可.
【详解】∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，
∴∠ABO=∠CDO.
∵∠AOB=∠COD,
∴△OAB∽△OCD，
∴AO:CO=AB:CD,
∴4:1=1.6:CD,
∴CD=0.4.
故答案为0.4.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用，正确地把实际问题转化为相似三角形问题，利用相似三角形的判定与性质解决是解题的关键．
17、4：9
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可．
【详解】解：因为两个三角形相似，
∴较小三角形与较大三角形的面积比为（2
3
）2=
4
9
，
故答案为：4 9 .
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
18、1
【解析】根据中位数的定义进行求解即可．
【详解】∵共有20名学生，把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第10和11个数的平均数，
∴这些测试数据的中位数是77
2
+
=1小时；
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
三、解答题（共78分）
19、△ABC的面积是9+
【分析】作CD⊥AB于点D，根据等腰直角三角形的性质求出CD和BD的长，再利用三角函数求出AD的长，最后用三角形的面积公式求解即可.
【详解】如图，作CD⊥AB于点D.
∵∠B=45°，CD⊥AB
∴∠BCD=45°
∵BC=6
∴CD=32
在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣45°=30°
∴tan30
32
︒=
∴
3
326
3
AD==
∴
1
(326)32933 2
S=⨯⨯=+
∴△ABC的面积是933
+
【点睛】
本题考查了三角函数的应用以及三角形的面积，掌握特殊三角函数的值以及三角形的面积公式是解题的关键. 20、CD＝3
【分析】由切线的性质得出AC⊥OD，求出∠A＝30°，证出∠ODB＝∠CBD，得出OD∥BC，得出∠C＝∠ADO＝
90°，由直角三角形的性质得出∠ABC＝60°，BC＝1
2
AB＝6，得出∠CBD＝30°，再由直角三角形的性质即可得出结
果．
【详解】∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，
∴∠ADO＝90°，
∵AD3，
∴tanA＝OD
AD
＝
3
3
∴∠A ＝30°，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠OBD ＝∠CBD ，
∵OB ＝OD ，
∴∠OBD ＝∠ODB ，
∴∠ODB ＝∠CBD ，
∴OD ∥BC ，
∴∠C ＝∠ADO ＝90°，
∴∠ABC ＝60°，
∴BC ＝
12
AB ＝6， ∴∠CBD ＝12∠ABC ＝30°，
∴CD 6＝ 【点睛】
本题考查了圆的切线问题，掌握圆的切线的性质以及直角三角形的性质是解题的关键．
21、（1）2y x 2x 3=-++，点Q 的坐标为()1,4（2）线段CQ 与线段AE 平行且相等（3）0m =或1（4）存在；点
P 的坐标为（0，3）或（12）
【分析】（1）直线y=x+1与抛物线交于A 点，可得点A 和点E 坐标，则点B 、C 的坐标分别为：（3，0）、（0，3），即可求解；
（2）=AE ，直线AQ 和AE 的倾斜角均为45°，即可求解；
（3）根据题意将△APD 的面积和12
△DAB 的面积表示出来，令其相等，即可解出m 的值； （4）分∠QOH=90°、∠PQH=90°、∠QHP=90°三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）直线1y x =+与抛物线交于A 点，则点()1,0A -、点()0,1E .
∵(),0,3OB OC C =，
∴点B 的坐标为()3,0，
故抛物线的表达式为()()()
21323y a x x a x x =+-=--， 将点C 的坐标代入，得33a -=，解得1a =-，
故抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++，
函数的对称轴为1x =，故点Q 的坐标为()1,4.
（2）CQ=AE ，且CQ ∥AE ，
理由是：()2
1432CQ =+-=， 22112AE AO OE =+=+=，
∴CQ=AE ，
直线CQ 表达式中的k=4310
--=1，与直线AE 表达式中k 相等，故AE ∥CQ ， 故线段CQ 与线段AE 的数量关系和位置关系是平行且相等；
（3）联立直线1y x =+与抛物线的表达式，并解得1x =-或2.故点()2,3D . 如图1，过点P 作y 轴的平行线，交AD 于点K ，
设点()2,23P m m m -++，则点(),1K m m +.
()12
PAD D A S PK x x =⨯⨯- 2(132312
)m m m =⨯⨯-+--+ 12
DAB S = 1432
=⨯⨯ 解得0m =或1.
（4）存在，理由：
设点(,1)H t t +，点(,)P m n ，223n m m =-++，而点(1,4)Q ，
①当90QPH ∠=︒时，如图2，
过点P 作y 轴的平行线，分别交过点H 、点Q 与x 轴的平行线于点M 、G ， 90GQP QPG ∠+∠=︒，90QPG HPM ∠+∠=︒，HPM GQP ∴∠=∠， 90PGQ HMP ∠=∠=︒，PH PQ =，
在△PGQ 和△HMP 中，
PGQ HMP GQP HPM PQ PH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()PGQ HMP AAS ∴∆≅∆，
PG MH ∴=，GQ PM =，
即：4n t m -=-，11m n t -=--，
解得m=2或n=3，
当n=3时，2323m m =-++
解得：0m =或2（舍去），
故点P (0,3)；
②当90PQH ∠=︒时，如图3，
QP QH =，则点P 、H 关于抛物线对称轴对称，即PH 垂直于抛物线的对称轴， 而对称轴与x 轴垂直，故//PH x 轴，则45QHP QPH ∠=∠=︒，
可得：△MQP 和△NQH 都是等腰直角三角形，
MQ=MP ，
∵MQ=1-m ，MP=4-n ，
∴n=3+m ，代入2y x 2x 3=-++，
解得：0m =或1（舍去），
故点P (0,3)；
③当90QHP ∠=︒时，
如图4所示，点P 在AD 下方，与题意不符，故舍去．
如图5，P 在y 轴右侧，同理可得△PHK ≌△HQJ ， 可得QJ= HK ，
∵QJ=t-1，HK=t+1-n ，
∴t-1=t+1-n ，
∴n=2，
∴2232m m -++=，
解得：m=12+（舍去）或12-，
∴点P （12-，2）
综上，点P 的坐标为：(0,3)或（12-2）
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏．
22、（1）甲，C （16，0），主索抛物线的表达式为21832
y x =
-；（2）四根吊索的总长度为13m ； 【分析】（1）利用待定系数法求取解析式即可；
（2）利用抛物线对称性进一步求解即可.
【详解】（1）甲，C （16，0）
解：设抛物线的表达式为2(0)y ax c a =+≠
由题意可知，C 点坐标为（16，0），P 点坐标为（0，-8）
将C （16，0），P （0，-8）代入2(0)y ax c a =+≠，得 21608
a c c ⎧⨯+=⎨=-⎩ 解得1328
a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. ∴主索抛物线的表达式为21832
y x =
- （2）x =4时，211548322y =⨯-=-，此时吊索的长度为1551022-=m. 由抛物线的对称性可得，x =-4时，此时吊索的长度也为52
m. 同理，x =8时，2188632
y =⨯-=-，此时吊索的长度为1064-=m x =-8时，此时吊索的长度也为4m.
∴四根吊索的总长度为13m
【点睛】
本题主要考查了抛物线解析式的求取与性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
23、（1）5；（2）PQ ∥A D ''，理由见解析；（3
【分析】（1）求出AE
ABE ∽△DEA ，由AD AE AE BE
=可求出AD 的长； （2）过点E 作EF ⊥AD 于点F ，证明△PEF ∽△QEC ，再证△EPQ ∽△A'ED'，可得出∠EPQ ＝∠EA'D'，则结论得证；
（3）由（2）知PQ ∥A ′D ′，取A ′D ′的中点N ，可得出∠PEM 为定值，则点M 的运动路径为线段，即从AD 的
中点到DE 的中点，由中位线定理可得出答案．
【详解】解：（1）∵AB ＝2，BE ＝1，∠B ＝90°，
∴AE ＝22AB BE +＝2221+＝5，
∵∠AED ＝90°，
∴∠EAD+∠ADE ＝90°，
∵矩形ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，
∴∠BAE+∠EAD ＝90°，
∴∠BAE ＝∠ADE ，
∴△ABE ∽△DEA ，
∴AD AE AE BE
=， ∴515
AD =， ∴AD ＝5；
（2）PQ ∥A ′D ′，理由如下：
∵5,
5AD AE ==，∠AED ＝90° ∴22DE DA AE =-＝225(5)-＝25，
∵AD ＝BC ＝5，
∴EC ＝BC ﹣BE ＝5﹣1＝4，
过点E 作EF ⊥AD 于点F ，
则∠FEC ＝90°，
∵∠A'ED'＝∠AED ＝90°，
∴∠PEF ＝∠CEQ ，
∵∠C ＝∠PFE ＝90°，
∴△PEF ∽△QEC ，
∴
21
42 EP EF
EQ EC
===，
∵
51
2
25
EA EA
ED ED
'
'
===，
∴EP EA EQ ED
'
'
=，
∴PQ∥A′D′；
（3）连接EM，作MN⊥AE于N，
由（2）知PQ∥A′D′，
∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，
又∵△PEQ为直角三角形，M为PQ中点，
∴PM＝ME，
∴∠EPQ＝∠PEM，
∵∠EPF＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM＝∠PEM+∠AEA′∴∠EPF＝∠NEM，
又∵∠PFE＝∠ENM﹣90°，
∴△PEF∽△EMN，
∴NM EM
EF PE
=＝
PQ
2PE
为定值，
又∵EF＝AB＝2，
∴MN为定值，即M的轨迹为平行于AE的线段，∵M初始位置为AD中点，停止位置为DE中点，∴M的轨迹为△ADE的中位线，
∴线段PQ的中点M所经过的路径长＝1
AE
2
＝
5
2
．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，中位线定理等知识，熟练掌握相似三
角形的判定与性质是解题的关键．
24、 (2)B,(2)对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为3；(3) x=2．
【分析】（2）依据函数解析式，可得当x≤-2时，x≤1
x
；当-2＜x＜3时，x＞
1
x
；当3＜x＜2时，x≤
1
x
；当x≥2时，x＞
1
x
；
进而得到函数y=min{x，1
x
}的图象；
（2）依据函数y=（x-2）2和y=（x+2）2的图象与性质，即可得到函数y=min{（x-2）2，（x+2）2}的图象及其性质；（3）令（x-4）2=（x+2）2，则x=2，进而得到函数y=min{（x-4）2，（x+2）2}的图象的对称轴．
【详解】（2）当x≤﹣2时，x≤1
x
；当﹣2＜x＜3时，x＞
1
x
；当3＜x＜2时，x≤
1
x
；当x≥2时，x＞
1
x
；
∴函数y=min{x，1
x
}的图象应该是
故选B；
（2）函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象如图中粗实线所示：
性质为：对称轴为y轴；x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为3．
故答案为对称轴为y轴；x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为3；
（3）令（x﹣4）2=（x+2）2，则x=2，
故函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象的对称轴为：直线x=2．
故答案为直线x=2．
【点睛】
本题主要考查的是反比例函数以及二次函数图象与性质的综合应用，本题通过列表、描点、连线画出函数的图象，然后找出其中的规律，通过画图发现函数图象的特点是解题的关键．
25、（1）本次一共调查了200名购买者；（2）补全的条形统计图见解析，A种支付方式所对应的圆心角为108；（3）使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．
【解析】分析：（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；
（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．
详解：（1）56÷28%=200，
即本次一共调查了200名购买者；
（2）D方式支付的有：200×20%=40（人），
A方式支付的有：200-56-44-40=60（人），
补全的条形统计图如图所示，
在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×60
200
=108°，
（3）1600×60+56
200
=928（名），
答：使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．
点睛：本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26、（1）B（﹣1，0），D（1，0）；（2）y＝20
9x
（x＞0）．
【分析】（1）根据三角函数的定义得到OD＝1，根据角平分线的定义得到∠BAO＝∠DAO，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过C作CH⊥x轴于H，得到∠CHD＝90°，根据余角的性质得到∠DCH＝∠CBH，根据三角函数的定义得到CH BH
＝DH
CH
＝
1
2
，设DH＝x，则CH＝2x，BH＝4x，列方程即可得到结论．
【详解】解：（1）∵点A（0，﹣2），∴OA＝2，
∵tan∠OAD＝OD
OA
＝
1
2
，
∴OD＝1，
∵y轴平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠DAO，
∵∠AOD＝∠AOB＝90°，AO＝AO，
∴△AOB≌△AOD（ASA），
∴OB＝OD＝1，
∴点B坐标为（﹣1，0），点D坐标为（1，0）；（2）过C作CH⊥x轴于H，
∴∠CHD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠DAO＝∠CBD，
∵∠ADO＝∠CDH，
∴∠DCH＝∠DAO，
∴∠DCH＝∠CBH，
∴tan∠CBH＝tan∠DCH＝1
2
，
∴CH
BH
＝
DH
CH
＝
1
2
，
设DH＝x，则CH＝2x，BH＝4x，∴2+x＝4x，
∴x＝2
3
，
∴OH＝5
3
，CH＝
4
3
，
∴C（5
3
，
4
3
），
∴k＝5
3
×
4
3
＝
20
9
，
∴y＝k
x
（x＞0）的函数表达式为:
20
9
y
x
（x＞0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．。