83曲面及其方程

20
一般地,在空间解析几何
z
方程 F(x, y) 0 表示 柱面,
母线 平行于 z 轴;
x 准线 xoy 面上的曲线 l1 : F ( x, y) 0
l1
y
z
l2
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
y
母线 平行于 x 轴;
x
准线 yoz 面上的曲线 l2 : G( y, z) 0
观察柱面的形 成过程:
准线
C
母线
17
柱面演示
播放
18
例如: 考虑方程 x2 + y2 = R 2 所表示的曲面.
在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以 原点O为圆心, 半径为R的圆.
曲面可以看作是由平行 于 z 轴的直线L沿xoy面上的 圆x2 + y2 = R2 移动而形成, 称 该曲面为圆柱面.
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面．
24
(1) 椭球面
z
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆
z x2 y2 cot
两边平方
z2 a2( x2 y2 )

o
y
x
---圆锥面的标准方程
13
y2 z2
例6 以 曲 线

a
2
c2
1 为母线,
y 0
z
绕 z 轴旋转而成的曲面方程为
x2 y2 a2

z2 c2
1，
即
x2 a2

y2 a2

z2 c2
x2 y2 z
2 p 2q
双曲面 单叶双曲面
椭圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 a2

y2 b2

z2
双曲抛物面
双叶双曲面 x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
36
作业：
P22-23 习题8-3 1.2.6.7.8(2)(5).9(3).
37
7
例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，得到 c
一系列圆
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c
(x

x0 )2
(y

y0 )2

(z

z0 )2

R2 . ---球面的标准方程
球心在原点时 x2 y2 z2 R2 .
表示上(下)球面 .
5
例2.研究方程
表示怎样
的曲面.
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0 ), 半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) A( x2 y2 z2 ) Dx Ey F z G 0---球面的一般方程 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是
33
还有三种以二次曲线为准线的柱面：
椭圆柱面
x2 y2 a2 b2 1
抛物柱面 x2 2 py ( p 0)
双曲柱面
x2 a2

y2 b2
1
34
小结
1. 空间曲面
三元方程 F( x , y , z) 0
球面 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
旋转曲面
如,
曲线

f ( y, z) x0

0
绕 z 轴的旋转曲面:
柱面
f ( x2 y2 , z) 0
如,曲面F ( x , y) 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,圆柱面、椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面等 .
35
2. 二次曲面 椭球面
三元二次方程
抛物面
椭圆抛物面
( p,q同号)
--旋转抛物面.
xo
y
p0,q0
29
(3) 椭圆锥面
x2 a2

y2 b2

z2
z
特殊情况：a b ,
x2 y2 a2z2 --圆锥面.
o
y
x
30
(3) 椭圆锥面
x2 a2

y2 b2

z2
z
特殊情况：a b ,
x2 y2 a2z2 --圆锥面.
o
y
x
若方程为 kz x2 y2 (k 0)
则图形如ห้องสมุดไป่ตู้图
31
(4) 单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z
(5) 双叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
o
y
x
o
y
x
32
(6) 双曲抛物面(马鞍面)
x2 y2 z ( p与q同号)
2 p 2q
抛物线
z
双曲线
o y
x
两条相交直线 y q x (z 0) p
12
例5 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一 周, 所得旋转曲面叫圆锥面. 两直线的交点叫 圆锥面的顶点，两直线的夹角（0 ）叫圆
2
锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转
轴为 z 轴,半顶角为 的圆锥面方程．
解 yoz面上直线方程为 z y cot
z
所以圆锥面方程为
第八章
空间解析几何与 向量代数
1
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
2
一、曲面方程的概念
定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) = 0 有如下关系:
(1) S上任一点的坐标都满足 方程F (x, y, z) =0;
z F (x, y, z) = 0
（讨论旋转曲面） （2）已知曲面方程，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
4
以下给出几例常见的曲面.
z
例1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、
半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R ， x
M
R
M0
o
y
即 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R ，
z
圆
柱
l
面
oo
y
x
注意：在空间直角坐标系，缺项方程（不完全方程）的 图形是柱面.
19
z
(1)
表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
o
(2) x y 0表示母线平行于
x
z 轴的平面.
z
(且 z 轴在平面上)
注意：描述柱面只须指出
其准线及母线.
o
x
准线
准线 y
母线
y
母线
球面
球面方程可写为 x2 y2 z2 a2 .
27
(2) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p与q同号) 2 p 2q
z
z
o y
x
xo
y
p0,q0
p0,q0
28
(2) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p与q同号) 2 p 2q
z
特殊情况： p q ,
x2 y2 2 pz

x
2
a2

y2 b2
1
z 0

y
2
b2

z2 c2
1,
x 0
x 2 a2

z2 c2
1.
y 0
25
(1) 椭球面
z
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
O y
x
2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆
x2 a2
得方程 f ( x2 y2 , z) 0 .
此即 yoz坐标面上的已知曲线 C f ( y, z) 0绕 z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
z
C : f ( y, z) 0
当曲线 C 绕 y 轴旋转时， 方程如何？
o
y
x
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 y 轴旋转 一周的旋转曲面方程为 f ( y, x2 z2 ) 0 .
z
方程 H(z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴;
l3
y
准线 xoz 面上的曲线 l3 : H (z, x) 0 x
21
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2; (2) x2 y2 4; (3) y x 1.
22
思考题解答
S
(2)坐标满足方程F (x, y, z) =0
o
的点都在S上;
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面
S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .
曲面S 1-1对应 F (x, y, z) =0(三元方程）
3
研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
o
y
半径随 c 的增大而增大.
x
图形上不封顶，下封底．
8
二、旋转曲面
定义 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
轴 . 旋转曲线称为该旋转曲面的母线.
旋转轴
例如 :
母线
9
旋转曲面
播放 10
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
母线: f ( y, z) 0，x 0 ，
1
o
y
x
---旋转单叶双曲面
14
例7
以曲线

x2 a2

z2 c2
1 为母线,
y 0
z
y
如果绕 x 轴旋转,则方程为
即
x2 a2

y2 c2

z2 c2
1
o
x
---旋转双叶双曲面
15
y2 z2
例9 以曲线

a
2

b2
1为母线,绕
z
轴旋转而成的
z 0
z
曲面方程为
(
x2 a2
y2 )2

z2 b2
1，
O
y
即
x2 y2 z2 a2 a2 b2
1
x
---旋转椭球面
旋转曲面方程的特点：有系数相等的两坐标平方和 的项.
16
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线C叫柱面的准线， 动直线L 叫柱面的母线.

y2 b2

1
k2 c2
z k
当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小;
当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.
26
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b ,
x2 a2

y2 a2

z2 c2
1
旋转椭球面
(2) a b c ,
x2 y2 z2 a2 a2 a2 1
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
平行于y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于z 轴的平面
23
四、二次曲面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之．
ax2 by2 cz2 dxy exz fyz gx hy iz j 0 .
设曲面上任意点 M( x, y, z),
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
(1) z z1
o
y
(2) 点 M 到 z 轴的距离 x
d x2 y2 | y1 |
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
11
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
6
例3 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段AB 的垂直
平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 ( x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2 , 化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0 .--平面方程