高考数学朝阳区第二学期综合(一)(理)

朝阳区2022—2022学年第二学期高三综合练习〔一〕
数 学〔理工农医类〕
本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.第一卷1至2页.第二卷3至8页.共150分,测试时间120分钟.
第一卷〔选择题,共50分〕
参考公式：
三角函数和差化积公式：
2
cos 2
sin
2sin sin βαβ
αβα-+=+
2
sin
2
cos
2sin sin βαβ
αβα-+=-
2
cos
2
cos
2cos cos βαβ
αβα-+=+ 2
sin
2
sin
2cos cos βαβ
αβα-+-=-
一、选择题：本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有
一项为哪一项符合题目要求的. 1．复数i
215+的共轭复数是
〔 〕
A ．1+2i
B ．)21(5
5i +
C ．1－2i
D ．)21(5
5i -
2．假设a >b>0,集合N M a x ab x N b a x b x M 则},|{},2
|{<<=+<<=表示的集合为 〔 〕
A ．}|{ab x b x <<
B ．}|{a x b x <<
C ．}2
|{b a x ab x +<<
D ．}2
|{a x b a x <<+
3．函数)(x f 是以π为周期的奇函数,且,1)4
(-=-πf 那么)4
9(πf 等于 〔 〕
A ．4
π
B ．－4
π
C ．1
D ．－1
4．设a 、b 、c 为三条不同的直线,α、β、γ为三个不同的平面,下面四个命题中真命题的个
数是 〔 〕 ①假设αγββα则,,⊥⊥∥β
②假设a c b b a 则,,⊥⊥∥c a c ⊥或.
③假设b a ,α⊂、βαβ⊥⊥⊥⊂则,,,c a b a c ④假设a b a ,,βα⊂⊥∥βα⊥则,b
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
正棱台、圆台的侧面积公式
S 台侧=l c c )(2
1+'
其中c '、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长
台体的体积公式
)(3
1
S S S S V '+'+=
台体h 其中S ′、S 分别表示上、下底面面积,h 表示高
5．直线0542:,032:21=--=+-y x l y x l ,在直角坐标平面上,集合 },0)542(32:|{R y x y x l l ∈=--++-λλ表示
〔 〕
A ．过l 1和l 2交点的直线集合
B ．过l 1和l 2交点的直线集合,但不包括直线l 2
C ．平行直线l 1的集合
D ．平行直线l 2的集合 6．函数)arcsin(sin x y =的图象是
〔 〕
7．圆周上有12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个数最多是〔 〕
A ．4
12P
B ．2
12212P P
C ．2
12212C C D ．4
12C
8．椭圆θθ
θ(sin 2cos 3⎩⎨
⎧==y x 为参数〕,点P 是6πθ=时对应的点,那么直线OP 的倾斜角为〔O 为坐标原点〕 〔 〕
A ．9
32arctg
B ．6
π
C ．2
23arctg
D ．31
313arctg
9．过点〔0,2〕的直线l 与双曲线6:2
2
=-y x c 的左支交于不同的两点,那么直线l 的斜率的
取值范围是
〔 〕
A ．)3
15,3
15(-
B ．),1()1,(+∞--∞
C ．)1,3
15(--
D ．)3
15,1(
10．假设函数x a x a x f 2cos )2(2sin )(2
-+=的图象关于直线8
π
-
=x 对称,那么a 的值等
于
〔 〕
A ．22-或
B ．1或－1
C ．1或－2
D ．－1或2
〔A 〕
〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕
第二卷〔非选择题,共100分〕
二、填空题：本大题共4小题,每题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 11．函数422)(2
++-=a ax x x f 的定义域为R,值域为[1,+∞),那么a 的值为 .
12．直线25012
2
=+=++y x by ax 被圆截得的弦长为8,那么2
2b a +的值为
.
13．要制造一个底面半径为4cm,母线长为6cm 的圆锥,用一块长方形材料做它的侧面,这样的
长方形的长与宽的最小值分别是 .
14．抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的.如正比例函数)0()(≠=k kx x f , )()()()(,)(,)(212121212211x f x f kx kx x x k x x f kx x f kx x f +=+=+=+==可抽象为
)()()(y f x f y x f +=+写出以下抽象函数是由什么特殊函数抽象而成的〔填入一个函
数即可〕.
三、解做题：本大题共6小题,共84分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤. 15．〔本小题总分值14分〕
解不等式
.1
log 1
)1(log 122+<-x x
16．〔本小题总分值14分〕
函数212
sin
225sin
)(-=
x x
x f 〔Ⅰ〕将x x f cos )(表示成的整式；
〔Ⅱ〕假设3cos )cos 1(cos )()(2--++===x x a x x g y x f y 与的图象在),0(π内至少有
一个公共点,试求a 的取值范围.
17．〔本小题总分值14分〕 如图,AB 是圆台上底面⊙O 1的直径,C 是⊙O 1上不同于A 、B 的一点,D 是下底面⊙ O 2上的一点,过D 、A 、C 的截面垂直于下底面,M 为DC 的中点,AC=AD=2, ∠DAC=120°, ∠BDC=30°. 〔Ⅰ〕求证：AM ⊥平面DBC ； 〔Ⅱ〕求二面角A —DB —C 的正切值； 〔Ⅲ〕求三棱锥D —ABC 的体积.
18．〔本小题总分值14分〕
某加油站需要制造一个容积为3
20m π的圆柱形储油罐,用来制作底面的铁板每平方
米价格为40元,用来制作侧面的铁板每平方米价格为32元,假设不计制作损耗. 〔Ⅰ〕问储油罐底面半径和高各为多少时,制作的储油罐的材料本钱价最低？ 〔Ⅱ〕假设制作的储油罐底面铁板半径不能超过1.8m,那么储油罐底面半径的长为多少
时,可使制作储油罐的材料本钱价最低？
19．〔本小题总分值14分〕
函数)0)(12(2)(≥++=x x x x f .
〔Ⅰ〕求)(x f 的反函数,并指出其定义域；
〔Ⅱ〕设数列)0}({>n n a a 的前n 项和为)(N n S n ∈,假设对于所有大于1的自然数n 都
有}{,2),(11n n n a a S f S 求数列且==-的通项公式；
〔Ⅲ〕令)(lim :),(2)(211
2
1n n n n n n n b b b N n a a a a b +++∈-=∞→++ 求
20．〔本小题总分值14分〕
：如图,过椭圆)0,()0(1:22
22c F b a b
y a x c ->>=+的左焦点作垂直于长轴A 1A 2
的直线与椭圆c 交于P 、Q 两点,l 为左准线.
〔Ⅰ〕求证：直线PA 2、A 1Q 、l 共点； 〔Ⅱ〕假设过椭圆c 左焦点F 〔－c,0〕的直线斜率为k,与椭圆c 交于P 、Q 两点,直线PA 2、
A 1Q 、l 是否共点,假设共点请证实,假设不共点请说明理由.
朝阳区2022—2022学年第二学期高三综合练习〔一〕
数学〔理工农医类〕参考答案及评分标准
一、选择题
二、填空题
三、解做题
15．解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≠+>+≠->-.
11,01,11,
01x x x x ………………2分 解得：21≠>x x
且.……………………4分
〔1〕当.110,21<-<<<x x 有时…………………………………………………6分
.01log ,0)1(log 2
2>+<-∴x x ∴原不等式显然成立,解为.21<<x ……8分
〔2〕当11,2>->x x 有时.…………10分 .01log ,0)1(log 22>+>-∴x x
∴原不等式变为31
1,
2).1(log 1log 22>⎩⎨
⎧-<+>-<+x x x x x x 解得即…………12分 ∴原不等式解集为}321|{><<x x x 或……………………………………14分
16．〔I 〕解：=-=212
sin
225sin
)(x x x f 2sin 22sin
25sin x
x x -……2分 =
2sin 2sin 23cos 2x x x ………4分 2
sin
22cos 2sin 223cos
2x
x
x x =
…………6分 x x x x cos 2cos 2cos 23cos 2+==……8分
1cos cos 22-+=x x …………………………………………………………10分
〔Ⅱ〕解：1cos cos 23cos )cos 1(cos )()(22-+=--++=x x x x a x x f x g 令
1)cos 1()cos 1(2cos 2cos )cos 1(22++=+++=+x x a x x x a
.cos 11
cos 1.2cos 10),,0(x
x a x x ++
+=<+<∴∈π …………12分
.2,cos 1
)cos 1(2≥⋅
+≥a x
x a
当且仅当2
,0cos ,cos 11cos 1π
==+=
+x x x x 即当时,等号成立.
当),0()()(,2π的图象在与时x g y x f y a ==≥内至少有一个公共点.………14分
17．〔Ⅰ〕证实：在△ADC 中,AC=AD,M 是DC 的中点
∴AM ⊥DC ……………………2分 ∵平面DAC ⊥平面ABC,C 为圆O 1 上异于A,B 的一点,那么有BC ⊥AC, ∴BC ⊥平面DAC,故BC ⊥AM.…4分 ∴AM ⊥平面DBC.…………………6分
〔Ⅱ〕解：作MN ⊥DB 于N,连接AN,由三垂线 线定理可知AN ⊥DB.
∠MNA 是二面角A —DB —C 的平面角.…………………………………8分
在△ADC 中,AC=AD=2,∠DAC=120°∴DC=23,AM=1. 由BC ⊥平面DAC,可知BC ⊥DC.
在Rt △DCB 中,DC=23,∠BDC=30°,可得BC=2,从而MN=2
3.
332.3322
3
1的正切值为二面角C DB A MN AM MNA tg --∴===
∠∴.…10分
〔Ⅲ〕解：33
21322213131=⨯⨯⨯⨯=⋅==∆--AM S V V BCD BCD A ABC D 三棱锥三棱锥……14分 18．〔Ⅰ〕解：设圆柱形储油罐的底面半径为x 米,高为h 米,材料本钱价为y 元.
依题意有：322402.2020,202222⋅⋅+⋅=∴===h x x y x x h h x ππππππ则………2分
)88(80)16(8022x
x x x x ++=+
ππ……4分 328
8380x x x ⋅⋅⋅⋅≥π…………6分
=960π〔元〕.当且仅当5,282===h x x
x 即时取等号.
答：当储油罐的底面半径为2米,高为5米,材料本钱价最低.……8分
〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知,.960,2).16(80)(2元取最小值时当ππy x x
x x f y =+==
当x 不超过1.8米时,即.8.10≤<x
下面探讨函数]8.1,0().16(80)(2在x x x f +=π的单词性.………………10分
设)16(80)16(80)()(,8.101
212221221x x x
x x f x f x x +-+=-≤<<ππ
2
121211216
)()
(80x x x x x x x x -+-=π…………………………………………12分
016
)(,
0,28.102
121211221<-+>-∴<≤<<x x x x x x x x x x
]8.1,0()16
(80)().()(,0)()(21212在函数x
x x f x f x f x f x f +
=<<-∴π内为减函数. 答：当储油罐底面铁板半径为1.8米,材料本钱价最低.………………14分
19．〔Ⅰ〕设)0(,)2()2(22)(),(222≥+=++==x x x x y x f y .…………………2分 2)2(.2.2,0-=∴+=∴≥∴≥y x x y y x
).2(,)2()()(21
≥-=∴-x x x f
x f 的反函数为……………………………4分
〔Ⅱ〕.2.2,0),0(,)2(1121=-+=>∴>+=---n n n n n n n n S S S S S a S S 即
数列{n S }是等差数列,公差为.2,211==a S ).(2).1(222N n n S n S n n ∈=-+=∴即……………………………8分
当,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时
).(242
4,2,11N n n a n a a n n n ∈-=∴-===满足时当…………………10分
〔Ⅲ〕,
1
21121)12)(12(2)24)(24(2)2424(2)(2121+--=+-=+-+-+=-=++n n n n n n n n a a a a b n n n n n
++-+-=+++∴ )5131()311(21n b b b .
1
211)121121(+-=+--n n n ………12分
1]1
21
1[lim )(lim 21=+-
=+++∴∞
→∞
→n b b b n n n .…………………………………14分 20．解：〔Ⅰ〕由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.
,.,.1222222a b y c x a b y c x b y a
x c x 或解得 那么点P ].,[],,[2
2a
b c Q a b c ---……………………2分
直线PA 2的方程为12
),()
(A a x c a a b y 直线-+-=
).()(2a x a c a b y Q +-=
的方程为…4分
由方程组.).
()(),()(22
2
c a x a x a c a b y a x c a a b y -=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=-+-=
解得…………………………6分
由于左准线l 的方程为c
a x 2
-=,所以直线PA 2与A 1Q 的交点在l 上.
故直线PA 2,A 1Q,l 相交于一点.………………………………………8分
〔Ⅱ〕设点P 、Q 的坐标分别为〔212211),,(),,x x y x y x >不妨设.
直线PA 2,A 1Q 的斜率分别为k 1,k 2,那么,,222111a
x y k a x y k +=-=
直线PA 2的方程为),(1a x k y -=
直线A 1Q 的方程为).(2a x k y += ⎩⎨
⎧+=-=).
(),
(21a x k y a x k y
解得交点横坐标为2
121)(k k k k a x -+= 即a y y a y x y x y y a y x y x x ⋅+++--++=)()
(211221211221…10分
直线PQ 的方程为⎩⎨
⎧=++=+=.
),().(2
2
2
2
2
2
b a y a x b
c x k y c x k y
消去02)(22222222222=-+++b a k c a cx k a x k a b y 得〔*〕 设M=,2
2
2
k a b +方程〔*〕的二根为,,21x x
由韦达定理得：.,22
2222212221M
b a k
c a x x M c k a x x -=-
=+…………………12分 点P,Q 在直线PQ 上,).(),(2211c x k y c x k y +=+=∴
,,2,22222221221k c k a b N M
abkN
y y M ck b y y -+==-=+∴其中
.2,
21221221221M
abckN y x y x M
k
b a y x y x -
=+--=+
,
22222222c a a M
ck
b a M abckN M abkN a M k b a x -=⋅⋅
+-⋅
+-=∴由于左准线l 的方程为c a x 2-=,所以直线PA 2与A 1Q 的交点在l 上.故直线PA 2,A 1Q,l 相交于一点.…………………………14分。