四川省成都市第一中学2022年高一数学理下学期期末试题含解析

四川省成都市第一中学2022年高一数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线倾斜角的大小是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.
【详解】直线化成斜截式为，
因为，所以.
故选B.
【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.
2. 已知，那么（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
3. 若α，β为锐角，cos（α+β）=，cos（2α+β）=，则cosα的值为（）
A．B．C．或D．以上都不对
参考答案：
A
【考点】GP：两角和与差的余弦函数．
【分析】根据同角三角函数基本关系分别求得sin（α+β）和sin（2α+β）的值，进而根据余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵α，β为锐角，cos（α+β）=＞0，
∴0＜α+β＜，
∴0＜2α+β＜π，
∴sin（α+β）==，sin（2α+β）==，
∴cosα=cos（2α+β﹣α﹣β）=cos（2α+β）cos（α+β）+sin（2α+β）sin（α+β）
=×+×=．
故选：A．
4. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
试题分析：不妨设球的半径为，由题意得球心必在正四棱锥的高上，设为点，如图所示，棱锥的侧棱，过点作垂直于，则为的中点，所以，由，为正四棱锥的中心，因此，即，解得，所以所求球的表面积为.故正确答案为D.
考点：1.简单组合体；2.球的表面积.
5. 在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】I1：确定直线位置的几何要素．
【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a 与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．
【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，
由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；
若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；
故选C．
【点评】本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．
6. 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是
A．B．C． D.
参考答案：
D
7. 如图曲线对应的函数是（）
A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=﹣sin|x| D．y=﹣|sinx|
参考答案：C
【考点】35：函数的图象与图象变化．
【分析】应用排除法解决本题，先从图象的右侧观察知它与正弦曲线一样，可排除一些选项，再从左侧观察又可排除一些，从而可选出答案．
【解答】解：观察图象知：
在y轴的右侧，它的图象与函数y=﹣sinx相同，排除A、B；
又在y轴的左侧，它的图象与函数y=sinx相同，排除D；
故选C．
8. 下列选项中，与最接近的数是
A．B．C．
D．
参考答案：
C
9. 已知
A．B．
C．D．
参考答案：
A
.
所以.
10. 下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若，则与的夹角为▲．
参考答案：
或45°
12. 若函数f （x ）=a x +log a （x+1）（a ＞0且a≠1）在区间[0，2]上的最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为 ．
参考答案：
【考点】函数单调性的性质． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】结合函数y=a x 与y=log a x 的单调性可知f （x ）=a x +log a x 在[0，1]单调，从而可得函数在[0，2]上的最值分别为f （0），f （2），代入可求a
【解答】解：∵y=a x 与y=log a （x+1）在区间[0，2]上具有相同的单调性． ∴f（x ）=a x +log a （x+1）在[0，2]上单调， ∴f（0）+f （2）=a 2
，即a 0
+log a 1+a 2
+log a 3=a 2
， 化简得1+log a 3=0，解得a=
故答案为：
【点评】本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性的简单运用，利用整体思想求解函数的最值，试题比较容易．
13. 在平行四边形中，,则
点坐标为
参考答案：
14. 已知函数，则的值等于
___
参考答案：
0 略
15. 已知的三个内角成等差数列，且，，则边上的中线的
长为
参考答案：
略
16. 若幂函数
在(0,+∞)上是减函数，则k =________.
参考答案：
－1
，得，或 ，由题意.
17. （5分）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm 2
）为 ．
参考答案：
80 cm 2
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题．
分析： 由三视图判断几何体的特征，结合三视图的数据关系，求出几何体的侧面积． 解答： 由三视图复原几何体可知，此几何体为正四棱锥，底面边长为8，侧面上的高为5，
所以S 侧=4××8×5=80cm 2． 故答案为：80cm 2．
点评： 本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查计算能力，正确判断几何体的特征是解题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）某学校对高一800名学生周末在家上网时间进行调查，抽取基中50个样本进行统计，发现上网的时间（小时）全部介于0至5之间．现将上网时间按如下方式分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）求该样本中上网时间在范围内的人数；
（2）请估计本年级800名学生中上网时间在范围内的人数；
（3）若该样本中第三组只有两名女生，现从第三组中抽两名同学进行座谈，求抽到的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率．
参考答案：
（1）由频率分布直方图知，
上网时间在第二组范围内的频率为：.…3分
所以，该样本中上网时间在第二组的人数：
（人）. …………5分
（2）由（1），可估计本年级上网时间在范围内的频率为
，…………6分
所以，可估计本年级学生上网时间在范围内的人数为：
（人）.……8分
（3）由频率分布直方图知第三组的频率为0.08，可得第三组共有4
人. …………9分
将第三组的四人记为、、、，其中a 、b为男生， c、d为女生，基本事件列表如下：
ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd，所以基本事件有6
个，…………11分恰为一男一女的事件有ac，ad，bc，bd，共4
个，…………13分
所以，抽到的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为：. …………14分19. 已知等差数列的前项和为（），且，求和。

参考答案：
解：设{}的公差为，由题意得：……………4分解得
………………6分所以
=……………10分
==
即所求，。

…………14分
略
20. 已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}中b n＞0（n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a n?b n}的前n项和T n．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和；81：数列的概念及简单表示法．
【分析】本题是数列中的一道综合题，（1）的求解要利用恒等式a n+1=2S n+1构造出a n=2S n﹣1+1两者作差得出a n+1=3a n，此处是的难点，数列的{b n}的求解根据题意列出方程求d，即可，
（II）中数列求和是一个典型的错位相减法求和技巧的运用．
【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），
∴a n=2S n﹣1+1（n∈N*，n＞1），
∴a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1），
∴a n+1﹣a n=2a n，
∴a n+1=3a n（n∈N*，n＞1）
而a2=2a1+1=3=3a1，
∴a n+1=3a n（n∈N*）
∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴a n=3n﹣1（n∈N*）
∴a1=1，a2=3，a3=9，
在等差数列{b n}中，
∵b1+b2+b3=15，
∴b2=5．
又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列，设等差数列{b n}的公差为d，
∴（1+5﹣d）（9+5+d）=64
解得d=﹣10，或d=2，
∵b n＞0（n∈N*），
∴舍去d=﹣10，取d=2，
∴b1=3，
∴b n=2n+1（n∈N*），
（Ⅱ）由（Ⅰ）知T n=3×1+5×3+7×32++（2n﹣1）3n﹣2+（2n+1）3n﹣1①3T n=3×3+5×32+7×33++（2n﹣1）3n﹣1+（2n+1）3n②
①﹣②得﹣2T n=3×1+2×3+2×32+2×33++2×3n﹣1﹣（2n+1）3n
=3+2（3+32+33++3n﹣1）﹣（2n+1）3n
=，
∴T n=n?3n
21. 已知数列{a n}的前n项和为S n，.
（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列的前n项和为T n，求T n.
参考答案：
（1）∵，，
∴，
又∵，∴.
（2）当时，，
∴，
∴，
当时，，也满足上式，
∴.
22. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若,求实数m的取值范围.
参考答案：
(1),当m=3时，
……4分（2）1）……8分
……9分
2）……11分
综上所述：……12分。