北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 第2课时 等比数列的性质及应用——分层作业

5
若 a4=3,a14=2,则 q
2
25
10 2 4
= ,故 =(q ) = .
3
5
9
10
10
25
综上,
5
=
9
25
或
4
5
=
4
.
9
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.
8. [探究点二]在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6
15.(多选题) 已知数列{an}是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且
a1,a2,a5成等比数列,则下列说法正确的是( AD )
A.若a1>0,则S4>a8
B.若a1>0,则S4≤a8
C.若a1<0,则S4>a8
D.若a1<0,则S4<a8
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又 a3+a7=20,∴a3=4,a7=16 或 a3=16,a7=4.
①当 a3=4,a7=16
7
时, =q4=4,此时 a11=a3q8=4×42=64.
3
②当 a3=16,a7=4
7
1 2
4 1
8
时, =q =4,此时 a11=a3q =16×(4) =1.
3
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1
2
12
=48
2
=
1
,解得
4
1
q=±2,选项
A 正确;
=±24,选项 B 不正确;
由等比数列性质知,a3·a2 022=a1·a2 024,故选项 C 正确,D 不正确.
故选 AC.
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18.在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,则
8
个数的积为
.
解析 设这8个数组成的等比数列为{an},
则a1=1,a8=2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7=(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)=(a1a8)3=23=8.
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9.[探究点二、三]在等比数列{an}中,an>0,n∈N+,公比q∈(0,1),且
整数k都成立的是( BD )
A.ak·ak+1>0
B.ak·ak+2>0
C.ak·ak+1·ak+2>0
D.ak·ak+1·ak+2·ak+3>0
解析 对于A,当q<0时,ak·ak+1<0,A不一定成立;对于B,ak·ak+2=(akq)2>0,B成
立;对于C,ak·ak+1·ak+2=(ak+1)3>0不一定成立,C不一定成立;对于D,
解析 ∵lg(a3a8a13)=lg 83 =6,
∴83 =106,∴a8=102=100.∴a1a15=82 =10 000.
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14.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于
25
7.[探究点二]在等比数列{an}中,a6a12=6,a4+a14=5,则
5
9 4
或
= 4 9
解析 由 a6a12=a4a14=6,且 a4+a14=5,解得 a4=2,a14=3 或 a4=3,a14=2.
若 a4=2,a14=3,则 q
3
25
10 2 9
=2,故 =(q ) =4;
2
q=3,所以
2
a7+a8+a9+a10=q
2 2
(a5+a6+a7+a8)=(3) ×72=32.故选
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C.
4.[探究点四]一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天它飞出去找回了5个小伙伴;第2
天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴,…,如果这个找伙伴的过程持续下
1 024
a41a42a43a44=
.
解析 设等比数列{an}的公比为 q,
a1a2a3a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=14 ·q6=1,①
a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=14 ·q54=8,②
②÷①得 q48=8,q16=2,
∴a41a42a43a44=a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=14 ·q166=14 ·q6·q160=(14 ·q6)(q16)10=210
ak·ak+1·ak+2·ak+3=(ak+1·ak+2)2>0一定成立,故选BD.
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17.(多选题) 若等比数列{an}的第4项和第6项分别是48和12,下列选项中说
法正确的是( AC )
1
1
A.{an}的公比为 2或-2
a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
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解 (1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,
(2)在等比数列{an}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比q为整数,求通项公
式an.
解 在等比数列{an}中,由a4a7=-512,得a3a8=-512,
又a3+a8=124,
解得a3=-4,a8=128或a3=128,a8=-4,
因为公比 q 为整数,所以 q=
5
5 128
8
∴32 +2a3a5+52 =25.
又∵an>0,∴a3+a5=5.①
∵a3与a5的等比中项为2,∴a3a5=4.②
∵q∈(0,1),∴a3>a5.
∴由①②解得a3=4,a5=1.
∴q
5
=
3
2
=
1
,解得
4
1
q=2,
1 n-1
∴a1=16,∴an=16×( ) =25-n.
2
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==-2,
3
4
故an=-4×(-2)n-3=-(-2)n-1.
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11. [探究点二]已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.
解 ∵{an}是等比数列,∴a1·a9=a3·a7=64.
A级
必备知识基础练
1
1.[探究点一]已知{an}是等比数列,a2=2,a4=2,则公比
1
A.2
解析
B.-2
4
2 1
由题意可得 =q =4,解得
2
C.2
q 等于( D )
1
D.±
2
1
q=±2.
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2.[探究点二]在等比数列{an}中,a2,a18是方程x2+6x+4=0的两根,则
B.{an}的第5项是24
C.a3·a2 022=a1·a2 024
D.a3+a2 022=a1+a2 024
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解析 设该等比数列的公比为 q,
由题意可知,a6=a4q ,则 q
2
a5=a4q=48× ±
a4a16+a10=( B )
A.6
B.2
C.2或6
D.-2
解析 由题知 a2+a18=-6,a2·a18=4,所以 a2<0,a18<0,故 a10<0,所以
2
a10=- 2 ·18 =-2,因此 a4a16+a10=10
+a10=2.
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6. [探究点二]公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m
的值为( C )
A.8
B.9
C.10
D.11
解析 由题意得,2a5a6=18,a5a6=9,∵a1am=9,
∴a1am=a5a6,∴m=10,故选C.
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B级
关键能力提升练
12.已知等比数列{an}共有10项,其中奇数项之积为2,偶数项之积为64,则其
公比是( C )
3
A.
2
B. 2
C.2
D.2 2
解析 ∵奇数项之积为 2,偶数项之积为 64,
∴a1a3a5a7a9=2,a2a4a6a8a10=64,
2 4 6 8 10
则
=q5=32,则
(2)∵bn=log2an=5-n,∴bn+1-bn=-1,b1=4.
∴数列{bn}是以b1=4为首项,-1为公差的等差数列,
(9-) 1 2 9
∴Sn=
=- n + n.
2
2
2
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10.[探究点二](1)设{an}为公比q>1的等比数列,若a2 023和a2 024是方程4x28x+3=0的两根,求a2 033+a2 034的值;
解 解方程 4x -8x+3=0,得
2
由 q>1,得
1
3
x1= ,x2= ,
2
2
1
3
a2 023= ,a2 024= ,q=3,
2
2
所以 a2 033+a2 034=(a2 023+a2 024)q10=2×310.
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5.[探究点二]已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且
b7=a7,则b5+b9=
8
.
解析 由等比数列的性质,得a3a11= 72 ,∴72=4a7.∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=a7=4.再
由等差数列的性质知b5+b9=2b7=8.
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解析 设等差数列{an}的公差为d≠0,
∵a1,a2,a5成等比数列,则 22=a1a5,
可得(a1+d)2=a1(a1+4d),整理得d2=2a1d,
由d≠0,则d=2a1,
则S4-a8=(4a1+6d)-(a1+7d)=3a1-d=3a1-2a1=a1,
对于A,B,若a1>0,即S4-a8=a1>0,
1 3 5 7 9
q=2,故选 C.
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13.已知在各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为
( C )
A.100
B.-100
C.10 000
D.-10 000
3.[探究点三·2024深圳期末]在等比数列{an}中,a2+a3+a4+a5=243,
a5+a6+a7+a8=72,则a7+a8+a9+a10=( C )
32
A.
3
64
B.
3
C.32
D.64
解析 设等比数列{an}的公比为 q,则 a5+a6+a7+a8=q3(a2+a3+a4+a5),即
3
243q =解得
去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂( B )
A.65只
B.66只
C.216只
D.36只
解析 设第n天蜜蜂归巢后,蜂巢中共有an只蜜蜂,则
a1=6,a2=5a1+a1=6a1,a3=5a2+a2=6a2,…,∴{an}是首项为6,公比为6的等比数
列.∴a6=a1·q6-1=66.
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( C )
A.12
B.13 C.14 D.15
解析 设数列{an}的公比为 q,由 a1a2a3=4=13 q3 与 a4a5a6=12=13 q12,可得
q9=3,an-1anan+1=13 q3n-3=324,因此 q3n-6=81=34=q36,所以 n=14,故选 C.
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故S4>a8,A正确,B错误;
对于C,D,若a1<0,即S4-a8=a1<0,
故S4<a8,D正确,C错误.
故选AD.
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16.(多选题)[2024江苏扬州检测]已知等比数列{an},则下面式子对任意正