2020年广东省清远市黄陂中学高二数学理上学期期末试题含解析

2020年广东省清远市黄陂中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图,在平面四边形中,,.若,,
则
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
【知识点】向量的加法与减法的几何运算，向量垂直的应用、向量的数量积
【答案解析】B
解析：解：因为,，所以
.
，则选B.
【思路点拨】在计算向量的数量积时，可把所求的向量利用向量的加法和减法向已知条件中的向量转化，再进行计算.
2. 已知使成立的x 取值范围是( )
A.[-4,2)
B.[-4,2]
C.(0,2]
D.(-4,2]
参考答案：
B 3. 函数的最小正周期是------------------------------（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
D
略
4. 函数的定义域是（）
A．B．（1，2）C．（2，+∞）D．（－∞，2）
参考答案：
B
略
5. 在下列条件中，使与、、不共面的是
A． B．
C． D．
参考答案：
D
6. 下列曲线中，离心率为2的是（）
A B C. D
参考答案：
D
略
7. 设A为圆上的动点，PA是圆的切线，且则P点的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
8. 不等式的解集为，则的值为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
9. 设双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线的斜率的取值范围是（）．
A．B．C．
D．
参考答案：
A
解：如图，轴于点，，，点在轴上，由射影定理得，
，，
解得，解得，则，即且．
故选．
10. （本题18分）设函数为实数。

（Ⅰ）已知函数
在处取得极值，求的值；（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。

参考答案：
解: （Ⅰ），由于函数在时取得极值，所以，即．（Ⅱ）方法一：由题设知：对任意都成立，即对任意都成立．
设, 则对任意，为单调递增函数．
所以对任意，恒成立的充分必要条件是．
即，于是的取值范围是．
方法二：由题设知：对任意都成立
即对任意都成立．于是对任意都成立，即．．于是的取值范围是
．
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知F双曲线的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若E在以AB 为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是．
参考答案：
（1，2）
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由右顶点在以AB 为直径的圆的外部，得|EF|＞|AF|，将其转化为关于a 、b 、c的式子，再结
合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范
围．
解答：解：由题意，直线AB方程为：x=﹣c，其中c=，
因此，设A（﹣c，y0）（y0＞0），B（﹣c，﹣y0），
∴﹣=1，解得y0=，得|AF|=，
∵双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外部，
∴|EF|＞|AF|，即a+c＞，
将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0，
两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2，
由于e＞1，则有1＜e＜2．
故答案为：（1，2）．
点评：本题给出以双曲线通径为直径的圆，当右顶点在此圆外时求双曲线的离心率，着重考查了双
曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题
12. 在△ABC中，，，且，则△ABC的面积为．
参考答案：
，又，，故
答案为.
13. 计算__ __
参考答案：
-2+i ；
略
14. 已知随机变量~，则____________(用数字作答).
参考答案：
略
15. 已知a＞0，b＞0，0＜c＜2，ac2+b﹣c=0，则+的取值范围是．
参考答案：
[4，+∞）
利用基本不等式的性质即可得出．
解：a＞0，b＞0，0＜c＜2，ac2+b﹣c=0，
∴1=ac+≥2，当ac=时，等号成立，
∴ab≤，
∵+≥2≥2=4，当a=b时等号成立，此时c=1∈（0，2），
综上所述，+的取值范围是[4，+∞），
故答案为：[4，+∞）
16. 若不等式是不等式成立的充要条件，则实数的值分别为：
（）
A. B. C.
D.
参考答案：
B
略
17. 直线与圆相交的弦长为
.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数y=x2﹣4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线x﹣y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．
参考答案：
【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．
【分析】（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），由此能求出圆的方程．
（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，则，由此能求出结果．
【解答】解：（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），
设圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2
代入点，得，
解得a=2，b=2，r=，
∴圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=5．
（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，
则，即：，
解得：．
19. 已知圆O的直径AB=4，定直线l到圆心的距离为6，且直线l⊥直线AB．点P是圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交l于M、N点．如图，以AB为x轴，圆心O为原点建立平面直角坐标系xOy．
（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆的方程；
（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．
参考答案：
【考点】直线和圆的方程的应用．
【专题】证明题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）⊙O的方程为x2+y2=4，直线l的方程为x=6，点P的坐标为（1，），由此能求出以MN为直径的圆的方程．
（2）设点P的坐标为（x0，y0），则，求出MN的中点坐标和以MN为直径的圆C截x轴的线段长度，由此能证明以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．
【解答】解：（1）∵圆O的直径AB=4，定直线l到圆心的距离为6，且直线l⊥直线AB．
如图，以AB为x轴，圆心O为原点建立平面直角坐标系xOy，
∴⊙O的方程为x2+y2=4，直线l的方程为x=6，
∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为（1，），
∴，，
将x=6代入，得M（6，），N（6，﹣4），∴MN的中点坐标为（6，﹣），MN=，
∴以MN为直径的圆的方程为（x﹣6）2+（y+）2=．
同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是（x﹣6）2+（y+）2=，
∴所求圆的方程为（x﹣6）2+（y+）2=．
证明：（2）设点P的坐标为（x0，y0），则，（y0≠0）
∴，
∵，，
将x=6代入，得，，
∴M（6，），N（6，），MN=||=，
MN的中点坐标为（6，﹣），
以MN为直径的圆C截x轴的线段长度为：
2====8．（为定值）
∴以MN为直径的圆必过圆O内的一定点（6﹣4，0）．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查以MN为直径的圆必过圆O内的一定点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用．
20. 已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；
（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．
【分析】（1）设点M（x，y），通过K AM?K BM=﹣，即可求出所在的曲线C的方程．
（2）求出，设直线PQ的方程，与椭圆方程联立消去y，通过x=1是方程的一个解，求出方
程的另一解，求出直线RQ的斜率，把直线RQ的方程代入椭圆方程，求出|PQ原点O到直线RQ的距离，表示出面积S△OQR，求解最值．
【解答】解：（1）设点M（x，y），
∵K AM?K BM=﹣，
∴，
整理得点所在的曲线C的方程：．
（2）由题意可得点，
直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为，
与椭圆方程联立消去y，得：（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，
由于x=1是方程的一个解，
所以方程的另一解为，同理，
故直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+bx+b2﹣3=0，
所以|PQ|==
原点O到直线RQ的距离为，
S△OQR==≤=．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
21. 建造一个容积为24m3，深为2m，宽为3m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m3，池壁的造价为80元/m3，求水池的总造价．
参考答案：
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】求出水池的长，可得底面积与侧面积，利用池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元
/m2，即可求水池的总造价．
【解答】解：分别设长、宽、高为am，bm，hm；
水池的总造价为y元，则V=abh=24，h=2，b=3，
∴a=4m，
∴S底=4×3=12m2，
S侧=2×（3+4）×2=28m2，
∴y=120×12+80×28=3680元．
答：水池的总造价为3680元．
22. 在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）。

在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|。

参考答案：
（1）（2）。