1211排列及排列数

由此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。
叙述为: 从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按 照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
练习3.写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的
所有排列．
若把这题改为：写出从5个元素a，b，c，d，e中
任取3个元素的所有排列，结果如何呢？
方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“啰嗦”．
4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。
5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏， 最好采用“树形图”。
练习1 下列问题是排列问题吗？
（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，
其不同结果有多少种？
不是排列
（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，
其不同结果有多少种？
数 An2 是多少？An3 呢？ Anm 呢？
An2 n(n 1)
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
An3 n(n 1)(n 2)
第1位
第2位
第3位
……
第m位
n种 (n-1)种 (n-2)种
(n-m+1)种
(1)排列数公式（1）：
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)(m, n N*,m n)
（3） A64 6 5 4 3 360
Am
例2．证明： n1
Anm
m Anm -1
证明：右边
Байду номын сангаас
(n
n! m)!
m
(n
n! m
1)!
Anm
n! (n - m)!
n!
(n (n
m m
1) n! 1)!
m
(n 1)n! (n m 1)!
(n [(n 1)
1)! m]!
Am n1
(1) Anm
n
Am1 n1
(2) Anm
Ank
Amk nk
(k m n)
(3) (n 1)! n! (n k 1) n!
k! (k 1)!
k!
你能用学过的方法，举一实际的例子说 明（1）、（2）吗？
例如：(1) A54 5 A43; (2) A54 A52 A32
练习6：
求解下列各式的值或解方程。
A15 69n
3、如果A23n 10 An3 , 则n _____
即2n(2n 1)(2n 2) 10n(n 1)(n 2)n 8(舍n 1).
4、如果
An7 An5 An5
89,则n
_____
化简得n2 11n 29 89,解得n 15(舍n 4).
例1、计算：
（1）A136 （2）A66 （3） A84
当m＝n时，Ann n(n 1)(n 2)3 21 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 n!表示。
n个不同元素的全排列公式：
(2)排列数公式（2）： Anm
Ann
(n
n!
n! m)!
为了使当m＝n时上面的公式也成立，规定： 0! 1
说明：
1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
Anm
=
n! (n-m)!
规定0！＝1
Anm
n! (n - m )!
2 1
含有排列数的方程与不等式的解法
例5. 解方程:
A3 2x
100Ax2
例6. 解不等式: A9x 6A9x 2
点评:含有排列数的方程或不等式,应根据有关公式 转化为一般方程,再求解.但应注意:其中的字母都 是满足一定限制条件的自然数.
所有排列的个数，是一个数；所以符号 Anm 只表示
排列数，而不表示具体的排列。
问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的
排列数，记为 A32 ,已经算得 A32 3 2 6
问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的
排列数，记为 A43 ，已经算出 A43 4 3 2 24
探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列
abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
问题1
问题2
从甲、乙、丙3名同学中选出 从1，2，3，4这4个数
2名参加某天的一项活动,其 中，每次取出3个排成一
例7：求证：1!＋2·2!+3·3!+…+n·n!=(n+1)!- 1 分析：n·n!=(n+1)!-n!
证明：∵n·n!=(n+1)!-n!
左边= (2!- 1!)+ (3!- 2!)+ (4!- 3!)+ = (n+ 1)!- 1!
+ [(n+ 1)!- n!)]
小结:
1.排列的定义;(不同元素)
是排列
（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标， 可得多少个不同的点的坐标？ 是排列
（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最
多可确定多少条射线？可确定多少条直线？
是排列
不是排列
（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？ 是排列
练习2.在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各
2、对于 m n这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。
有关排列数的计算与证明：
n2 n! 2
345
6 78
6
24 120 720 5040 40320
A A 例1. 计算 （1 ）
3 16
（2）
6 6
（3 ）A64
A 解： （1）
3 16
16 15 14
3360
（2） A66 6! 720
2.排列数公式; Anm =n(n-1)(n-2)...(n-m+1)
A
m n
=
n! (n-m)!
3.几种阶乘变形.
n!+n n!=(n+1)!
1- 1 = n n! (n+1)! (n+1)!
中1名参加上午的活动,1名参 个三位数，共可得到多少
加下午的活动,有哪些不同的 个不同的三位数？
排法?
实质是：从3个不同的元素 实质是：从4个不同的元素
中,任取2个,按一定的顺序 中, 任取3个,按照一定的顺
排成一列,有哪些不同的排 序排成一列,有哪些不同的
法？
排法?
定义：一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元 素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素 中取出m个元素的一个排列.
1、排列：
基本概念
从n个不同元素中取出m (m n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。
说明： 1、元素不能重复（。 互异性）
2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一
个问题是否是排列问题的关键（。 有序性）
3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素 完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。
2、排列数： 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素
的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中
取出m个元素的排列数。用符号 Anm表示。
“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取 m 个元素
按照一定的顺序排成一列，不是数；
“排列数”是指从n 个不同元素中，任取 m 个元素的
几种阶乘变形: 1 - 1 = n
n! (n+1)! (n+1)!
巩固练习：
1、如果Anm 1817 9 8,
则n ___, m ___ 由n=18，n-m+1=8，得m=11
2、若n N ,则(55 n)(56 n) (68 n)(69 n)
用排列数符号表示为__________
(1)
A4 2 n 1
140
An3
(2)
4
A84 A88
2 A85 A95
?
(3)
A85 A84 A96 A95
?
(4)
An3 2n
A6n1
?
例2. 求证:
A
m n
=
n! (n-m)!
证明:
Anm =n(n-1)(n-2) (n-m+1) = n(n-1)(n-2) (n-m+1)(n-m) (n-m) 2 1
A (3) 6 . 6
6！=6×5×4×3×2×1=720
练习4 应用公式解以下各题：
(1) An2 56，求n。
(2) A84 2 A82 ?
(3)已知
An7 An5 An5
89，求n。
(4) 2 A75 A66 ? 6!5!
(5)3Ax3
2
A2 x1
6 Ax2，求x。
练习5 求证下列各式：
(5) 1 1 1 n! (n 1)! (n 1)!
例1 计算：
答：（1）5！ (2)20! (3)7! (4)(n m)!
(5) n2 2n (n 1)!
(1) A3 ; 16
8
A (2)
12 7
;
A12
161514 3360
12111098765 5 121110 9 8 7 6
1.2.1排列及排列数
2021年2月14日星期日
探究：
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加 下午的活动，有多少种不同的选法？
分析：题目转化为顺序排列问题
上午 甲 乙 丙
下午 乙 丙
甲 丙
甲 乙
相应的排法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙
丙甲
丙乙
把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问 题１就可以叙述为：
左
小结：
【排列】从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素,并按一定
的顺序排成一列.
【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同)
2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)
【排列数】所有排列总数
Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1)
Anm
=
n! (n- m)!
n!+n n!=(n+1)!
从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定 的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
ab, ac, ba, bc, ca, cb
问题2：从1，2，3，4这4个数中，取出3个排成一个
三位数，共可得到多少个不同的三位数？
1
2
3
4
23 4 1 3 4
1 24
12 3
3 4 2 4 2 3 3 41 41 3 2 41 4 1 2 2 3 1 3 1 2
3360
720
1680
例2、解方程： A23x 100Ax2 x=13
例3、求证：
Am n1
Anm
mAnm1
例4．若 Anm 17 16 15 5 4 ，则 m 14 ，
n 17 ．
例5、求
An3 2n
An1 4
的值.
练习
化简：（1）5 4！，（2）（5 4）！ （3）42 5！，（4）（n m)(n m 1)!