2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)

① ② ③
①－②，得 3x－3y＋10＝0. 方程③表示公共弦所在直线的方程． 因为③式是公共弦所在直线的方程，
所以第一个圆的圆心(－3,0)到直线的距离为 |－9＋10| 1 2 d′＝ ＝ ＝ . 3 2 6 9＋9 又半径 r1＝4，所以弦长为 2 2 574 16－ ＝ . 36 3
[研一题] [例2] 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋
4＝0的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.若两圆相切， 则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1. 当取C(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或 (a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，
故 a＝2± 10， 2 此时所求圆的方程为 (x－2－2 10)2＋(y－4)2＝16 或 (x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16； 当取 C(a，－4)时， (a－2)2＋(－4－1)2＝72 或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)， 所以 a＝2± 6， 2 此时所求圆的方程为(x－2－2 6)2＋(y＋4)2＝16 或 (x－2＋2 6)2＋(y＋4)2＝16.
其圆心为 C1(1，－5)，半径 r1＝5 2. 圆心 C1 到直线 x－2y＋4＝0 的距离 |1－2×－5＋4| d＝ ＝3 5， 2 1＋－2 设公共弦长为 2l， 由勾股定理 r2＝d2＋l2， 50＝45＋l2， 得 解得 l＝ 5，所以公共弦长 2l＝2 5.
[悟一法] 求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般 不用求交点的方法，常用如下方法：
[悟一法]
判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，
看方程组的解的个数，但往往较繁琐；二是几何法， 看两圆圆心距d，若d＝r1＋r2，两圆外切，d＝|r1－r2| 时，两圆内切，d＞r1＋r2时，两圆外离，d＜|r1－r2|时， 两圆内含，|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆相交．
[通一类] 1．判断下列两圆的位置关系，若相交，请求出公 共弦长． x2＋y2＋6x－7＝0和x2＋y2＋6y－27＝0.
[自主解答]
x2＋y2＋6x－4＝0， 法一：解方程组 2 2 x ＋y ＋6y－28＝0，
得两圆的交点 A(－1,3)、B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线 x－y－4＝0 上，故 b＝a－4. 则有 a＋12＋a－4－32＝ a＋62＋a－4＋22，
位置关系
满足条件
图示
两圆内含
d < |r1－r2|
[小问题·大思维]
1．当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定相离？ 只有一组解时，一定外切吗？ 提示：不一定．当两圆组成的方程组无解时，两圆无公共
点，两圆可能相离也可能内含；只有一组解时，两圆只有
一个公共点，两圆相切，可能外切，也可能内切． 2．圆A：x2＋y2－8x＋7＝0和圆B：x2＋y2＋8x＋7＝0的位置 关系如何？ 提示：外离．圆A，圆心(4,0)，半径3.圆B，圆心(－4,0)，半
注意：当两圆相切时，公共弦所在直线即为两 圆的公切线．
[通一类]
2．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2－
6x＋2y－40＝0相交，圆C过原点，半径为 10 ，圆
心在已知两圆圆心连线的垂直平分线上，求圆C的
方程．
解：设圆 C1 与圆 C2 交于 A，B 两点，由两圆的方程 相减，得 x＋3y－10＝0，此方程即为公共弦 AB 所在的 直线方程． 由已知，圆 C 的圆心 C 在两圆圆心连线的垂直平分 线上，即在直线 AB 上，设 C(a，b)，则 a＋3b－10＝0①， 又由|CO|＝ 10，得 a2＋b2＝10②， ①②联立，解得 a＝1，b＝3. 所以，圆 C 的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)． ∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
法二：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0，
两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线 的方程． 由x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
[错因]
上述错解只考虑了圆心在直线y＝0上方
的情形，而漏掉了圆心在直线y＝0下方的情形，另外
错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的． [正解] 由题意，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2
＝r2，圆心为C，又圆C与直线y＝0相切且半径为4，故圆
心C的坐标为(a,4)或(a，－4)．又因为圆x2＋y2－4x－2y－
求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直
线y＝0相切的圆的方程．
[错解] 由题意知，所求圆与直线y＝0相切且半
径为4，设其圆心C的坐标为(a,4)，且其方程为 (x－a)2＋(y－4)2＝42， 又圆x2＋y2－4x－2y－4＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝32， 其圆心为A(2,1)，半径为3. 由两圆相切，得|CA|＝3＋4， 所以(a－2)2＋(4－1)2＝72， 解得a＝2± 10， 2 所以所求圆的方程为(x－2－2 或(x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16. 10 )2＋(y－4)2＝16
[悟一法] 1．针对这个类型的题目，常用的方法有两种：其一 是利用圆系方程，其二是利用圆的几何性质求圆心和半径， 这两种方法运算量小且简便适用． 2．若两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋
y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过这两圆交点的圆的方程
可表示为C3：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y ＋F2)＝0.(不含圆C2)
(3)法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0，
① ② ③
两式相减得 x＝2y－4.
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
x ＝－4， 1 ∴ y1＝0， x ＝0， 2 或 y2＝2，
2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
[自主解答]
(1)将两圆方程配方化为标准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50， C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10. 则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5 2； 圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝ 10. 又|C1C2|＝2 5，r1＋r2＝5 2＋ 10. r1－r2＝5 2－ 10. ∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－ 2y＋4＝0.
∴A(－1,2)、B(5，－6)． 要使过 A，B 的圆的面积最小，则需以 AB 为直径， ∴圆心是 AB 的中点 M(2，－2)， －1－52＋2＋62 1 半径 r＝ |AB|＝ ＝5， 2 2 ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
法二：设所求圆的方程为： x2＋y2－12x－2y－13＋λ(4x＋3y－2)＝0， 即x2＋y2＋(4λ－12)x＋(3λ－2)y－13－2λ＝0， 12－4λ 2－3λ ∴圆心坐标为( ， )． 2 2 12－4λ 2－3λ ∴当圆心( ， )在l上时面积最小， 2 2 12－4λ 2－3λ ∴4× ＋3× －2＝0，解得λ＝2， 2 2 ∴所求圆的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.
解：将圆的一般方程化为标准方程，得 (x＋3)2＋y2＝16，x2＋(y＋3)2＝36. 故两圆的半径分别为 r1＝4 和 r2＝6，两圆的 圆心距 d＝ 0＋32＋－3－02＝3 2. 显然，2＜3 2＜10，即|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所 以两圆相交．
x2＋y2＋6x－7＝0， 2 x ＋y2＋6y－27＝0，
联立得两交点坐标A(－1,2)、B(5，－6)． ∵所求圆以AB为直径， ∴圆心是线段AB的中点M(2，－2)， 1 圆的半径为r＝ |AB|＝5. 2 于是所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
[研一题] [例3] 求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋
6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的 方程．
1 1 7 解得 a＝ ，故圆心为( ，－ )， 2 2 2 半径为 1 7 2 ＋1 ＋－ －32＝ 2 2 89 . 2
12 7 2 89 故圆的方程为(x－ ) ＋(y＋ ) ＝ ， 2 2 2 即 x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二：∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直 线x－y－4＝0上， 故可设所求圆的方程为 x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 3 3λ 其圆心为(－ ，－ )，代入x－y－4＝0， 1＋λ 1＋λ 求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
3．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋
12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．
x2＋y2－12x－2y－13＝0， 解：联立两圆方程 2 2 x ＋y ＋12x＋16y－25＝0.
相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.
4x＋3y－2＝0， 再由 2 2 x ＋y －12x－2y－13＝0.
[读教材·填要点] 1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有 相离 、 外切 、 相交 、
内切 、 内含 五种情况． 2．圆与圆位置关系的判定 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r， 圆心距为d.
两圆C1，C2的位置关系如下： 位置关系 两圆相离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 满足条件 D > r1＋r2 D ＝ r1＋r2 |r1－r2| < d < |r1＋r2| D ＝ |r1－r2| 图示
[通一类] 4．已知直线l：4x＋3y－2＝0ห้องสมุดไป่ตู้圆C：x2＋y2－12x－ 2y－13＝0相交于A、B两点，求过A、B两点的圆 中面积最小的圆的方程．
4x＋3y－2＝0， 解：法一：联立方程 2 2 x ＋y －12x－2y－13＝0， x＝－1， 解得 y＝2， x＝5， 或 y＝－6，
[自主解答] 对圆 C1、C2 的方程，经配方 后可得： C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心 C1(a,1)，r1＝4， C2(2a,1)，r2＝1， ∴|C1C2|＝ a－2a2＋1－12＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切， 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离． 当|C1C2|＜3，即a＜3时，两圆内含．
径3，圆心距大于两半径和．
3．在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下，
两圆的公切线条数分别为多少条？
提示： 位置关系 公切线条数 外离 4条 外切 3条 相交 2条 内切 1条 内含 0条
[研一题] [例1] 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，
C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)． 试求a为何值时两圆C1、C2 (1)相切；(2)相交；(3)相离．