企业药品回收优化模型

dt
4 派出人员 x 名，开始回收以后(t t1) 工作开
展量为 x, 其中 可视为每 个队员的平均回收速度。显然， x 。
5 每个人员单位时间的费用c2 ，每个队员 的费用是 c2 (t2 t1)；每个人员的一次性补 贴为 c3 。
模型构成
花销费 = 原有人员时费用 + 增加或削减人员后的费用
min u f (x) x
s. t. hi ( x) 0,i 1,2,..., m. gi ( x) 0(gi ( x) 0), i 1,2,..., p.
（2）线性规划（LP）
目标函数和所有的约束条件都是设计 变量的线性函数。
n
min u ci xi i 1
每个收点输入量分别为 b1, b2,..., bn ，并且满足
m
n
ai bj
i 1
ji
从发点A到收点B的距离（或单位运费）是已知的，设
为cij (i 1,2,..., m, j 1,2,..., n) 。一个调运方案主要由一组从发
点 Ai 到收点 B j 的输送量 xij 来描述。
图。q(t) = Q-r t， Q = r T1 。
q
R：每个 Q
周期的 供货量
R
o
r A
T1 B T
t
允许缺货模型的存贮量q(t)
一个周期内存贮费
c2
T1 0
q(t)dt

c2
QT1 2

c2
Q2 2r
一个周期内缺货损失费
c3
T
T1 q(t)dt c3
(rT
Q)(T 2
T1)
c3
n
s.t. k1 aik xk
bi , i
1,2,...,n.
xi 0, i 1,2,...,n.
（3）二次规划问题
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
min u
f (x)
n
ci xi
i 1

1n
2
i
,
j
bij
1
xi
x
j

s.t.
n j 1
根据假设，
dB(t) dt
与 t 的关系，如图
B(t2 )
t2 dBdt 0 dt
dB(t) dt
b

1 2
bt2

1 2
bt1

1 2
b(t2
t1)

x
bt1 b2
2 2(x )
森林损失费 c1B(t2 )
o
t1
t2 t
t2

t1

b
x

人员费 用=花销费 + 个人补贴费 花销费 = c2 x(t2 t1) 回收人员个人补贴费 = c3x
c2 c3
c3
与不允许缺货模型相比较，有
T T, Q Q / , R Q
结果解释
T T, Q Q / , R Q c2 c3
1） 1, T T, Q Q, R Q 即允许缺货时，c3
周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。
模型建立
总费用=回收费+存贮费+缺货损失费 存贮费=存贮单价*存贮量
缺货损失费=缺货单价*缺货量 存贮量=？，缺货量=？ 寻找回收周期、产量、需求量、回收费和存 贮费之间的关系，使每天的费用最少。
因存贮量不足造成缺货，因此 q(t) 可取负值， q(t) 以需求速率 r 线性递减，直至q(T1) = 0，如
A2的总费用 A2 ~ Bj
n
C21x21 C22 x22 ... C2n x2n C2 j x2 j
j 1
总的费用
mn
f
Cij xij
i1 j 1
数学模型
mn
min f
Cij xij
i1 j1
n

xij ai , i 1,2,...,m.
2）缺货损失费愈大， 愈小，T 愈接近 T ，Q, R
愈接近 Q 。
3）当c3 时， 1， T T, Q Q, R Q
不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。
三.选派人员问题
通过前期考察发现可回收药品人群。展开回收 后应派多少人员去。派的越多，回收的时间就 越快，但是开支会越大，所以需要综合考虑回 收效益和人员费与回收员人数之间的关系，以 总费用最小来决定派出队员的数目。
和 gi ( x) 0(gi ( x) 0), i 1,2,..., p.
下的最大值或最小值，其中
x
设计变量（决策变量）
f (x)
目标函数
x
可行域
min(or max)u f (x) x s. t. hi ( x) 0,i 1,2,..., m.
gi ( x) 0(gi ( x) 0), i 1,2,..., p.
存贮量和存贮费的计算
设 t 时刻的存贮量为 q(t) ，t = 0时生产 Q 件， 存贮量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 线性递减，
直至q(T) = 0，如图。q(t) = Q- r t， Q = r T 。
q
Q
r
A
t
o
T
不允许缺货模型的存贮量q(t)
T
QT
一个周期内存贮量 q(t)dt
二.废旧药品的存贮模型
模型假设 1 连续化，即设回收周期 T 和收量 Q 均为连续量； 2 废弃药品每日的需求量（根据储量）为常数 r ； 3 每次回收费用 C1，每日每件药品存贮费 C2； 4 回收能力为无限大（相对于需求量），允许缺
货，每天每件药品缺货损失费C3 ，但缺货数量需 在下次回收时补足。
问题分析
特点：问题中没有任何数据 与问题相关的因素： 回收效益： 回收地区的面积， 回收时间 回收人员的数目 人员费： 队员的人数，时间长短，单位时间内回收地 区大小
模型假设
1
时刻 t 回收面积为B(t)。 则
dB(t) dt
表示回收的效果。
2 花销费与回收面积成正比，比例系数 c1, 表示单位面积上所花费用。
企业药品回收实际操作
优化模型
优化模型
优化模型的一般意义 废旧药品存贮模型 选派人员问题 回收药品运输问题 药品收购员线路安排
一 优化模型的一般意义
（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u f ( x) x (x1, x2 , x3,..., xn ) 在约束条件 hi ( x) 0,i 1,2,..., m.
结果解释
另一部分x 是在c最1低b限22c度32之2c上2的b 人数，与问题的各
个参数有关。 当队员回收速度和补贴费用系数减少时，队员数 增加；
四.回收药品运输问题
设有回收药品集中后从m个发点A1,A2,…,Am输送到n个收点
B1,B2,…,Bn进行销毁或分类处理，a1其, a中2,.每.., 个am发点发出量分别为
敏感性分析
讨论参数 c1, c2 , r 有微小变化时对生产周期T 影响。
由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为 S(T , c1) 2
S (T , c1)
T c1
T c1

dT dc1
c1 T
1 c2r c1 1 2 2c1 T 2
c2r
1
1
S(T , c2 ) 2
表示进入且仅进入城 j 一次;
i0
s.t.

n
xij 1
表示离开且仅离开城 i 一次;
j0
用微分法 令 C(T ,Q) 0, C(T ,Q) 0
T
Q
T 2c1 c2 c3 c2r c3
Q 2c1r c3 c2 c2 c3
每天平均最小费用 C C(T ,Q)
每个周期的供货量 R rT
R r 2c1 c2 c3 c2r c3
模型假设
1 连续化，即设回收周期 T 和收量 Q 均为连续量； 2 产品每日的回收量为常数 r ； 3 每次回收费 C1，每日每件药品存贮费 C2； 4 回收能力为无限大（相对于需求量），当存贮量
降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即 不允许缺货。
模型建立 总费用与变量的关系 总费用=回收费+存贮费 存贮费=存贮单价*存贮量 存贮量=？
S(T , r) 2
S(T ,
c1 )

1 2
S
(T
,
c2
)


1 2
S(T , r) 1 2
意义是当准备费增加1%时，生产周期增加0.5% ； 而存贮费增加1%时，回收周期减少0.5% ； 日需求量增加1%时，回收周期减少0.5% 。
当 c1, c2 , r 有微小变化对生产周期影响不太大。
问题就转化为：
求一个{1,2,,n}
{i1的, i2排, 序使, in得}
n
d (ik ,ik 1 )
k 0
最小。
其中 d (ik ,ik为1)城市 到ik 的i距k 1离，
i0 in1 0
TSP的数学规划形式：
min dij xij i j
n

xij 1
0
2
T
一个周期内存贮费 c2 0 q(t)dt
(A的面积)
一个周期的总费用
C
c1 c2
T 0
q(t)dt

c1

c2
QT 2
c1 c2
rT 2 2
每天平均费用
C(T )
C T

c1 T
c2
rT 2
模型求解
求T满足
min
C(T )

c1 T

c2
rT 2
用微分法
C(T )
(rT Q)2 2r
一个周期的总费用
C
c1 c2
Q2 2r
c3
(rT Q)2 2r
每天平均费用
C(T ,Q)

c1 T
c2
Q2 2rT
c3
(rT Q)2 2rT
模型求解
求T ,Q,使
min
C(T ,Q)

c1 T
c2
Q2 2rT
c3
(rT Q)2 2rT
s. t. subject to “受约束于”之意
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
j1
s.t.
m
xij bj , j 1,2,...,n.
i1

xij

0, i
1,2,...,m,
j
1,2,...,n

求解：单纯形方法。
五.药品收购员线路安排建模 (TSP)
TSP又称为货郎担问题。给这些城市编号。
出发城市为0，拟访问城市分别为1,2,…,n
3 从开始回收到结束这段时间 内，(0 t t1) 回
收的效果与时间 t 成正比，比例系数 表示
其进展的速度。可解释如下：
工作以某地区为中心，以均匀速度向四周呈圆
形扩展，所以扩展的半径 r 与时间 t 成正比。而
面积B与 r2 成正比，故 B与 t2 成正比，从而 dB(t) 与 t 成正比。
总费用
C(x)

c1bt1 2

c1b 2
2(x
)

c2bx
x
c3x
归结为求x的值，使得 min C(x)
模型求解 用微分法，得应派出的人员人数为
x
c1b2 2c2b 2c32


使得，总损失最小为 C(x)
结果解释
应派出的队员数目由两部分组成，其中一部分为

问题：寻求一个调运方案，使总运输费用达到最小。
发点 收点 B1
B2
…. Bn
A1
X11 X12
….. X1n
a1
A2
X21 X22
…. X2n
a2
….. …..

Am Xm1 Xm2 ….. Xmn
am
b1 b2
….
bn
A1的总费用
A1 ~ B j
n
C11x11 C12 x12 ... C1n x1n C1 j x1 j j 1
aij x j

bi , i
1,2,...,n.

xi

0.i
1,2,...,n.
4. 根据设计变量的允许值
整数规划（0-1规划）和实数规划。
5. 根据变量具有确定值还是随机值
确定规划和随机规划。
（三）建立优化模型的一般步骤
1.确定设计变量和目标变量； 2.确定目标函数的表达式； 3.寻找约束条件。


c1 T2
c2
r 2

0
T 2c1 c2r
Q rT 2c1r c2
每天平均最小费用 C 2c1c2r
著名的 经济订货批量公式（EOQ公式）。
结果解释
T 2c1 c2r
Q rT 2c1r c2
C 2c1c2r
当准备费 c1 增加时，回收周期和产量都变大； 当存贮费 c2 增加时，回收周期和产量都变小； 当日需求费 r 增加时，回收周期变小而产量变大。 这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系 数2 等）凭常识是无法得出，只能由数学建模得到。