高中福建省莆田市九中高一上学期期中数学试题

福建省莆田市九中【精品】高一上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A
B = A ．{0} B ．{1}
C ．{1,2}
D ．{0,1,2}
2．函数2
y x =-的定义域是（ ） A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．()3,22,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．()3,22,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．()(),22,-∞+∞
3．以下四个图形中，可以作为函数()y f x =的图像的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4．若24a =，则1log 2a
的值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．12
5．下列函数中，在区间(),0-∞上为增函数的是（ ）
A ．y x =
B ．1y =
C ．1y x =
D ．y x = 6． 函数 ()x f x e
x -=- 的零点所在的区间为（ ） A ．11,2⎛
⎫-- ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,1?2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 1 0,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
7．方程21x x =+的解的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 8．若函数x y a =(0a >,且1a ≠)在[]1,2上的最大值与最小值的差为
2
a ，则a 的值为（ ）
A ．12
B ．32
C ．23或2
D ．
12或32 9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数．且当0x ＜时，()3x f x =，则()94f log 的
值为（ ）
A ．2-
B ．12-
C ．12
D ．2
10．设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则 （ ）
A ．b a c <<
B ．a c b <<
C ．c b a <<
D ．c a b << 11．函数ln ()x x f x x
=的大致图象为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
12．若函数()(),1231,1
x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．3,14⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ C ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
二、填空题
13．若点(2,4)P 在幂函数()y f x =的图象上，则(3)f =________
14．已知12x y a -=-（0a >且1a ≠）恒过定点P ，则P 点的坐标为________．
15．设函数()()()
22,22,2x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若()08f x =，则0x =________． 16．关于下列结论:
①函数y=a x+ 2(a>0且a ≠1)的图象可以由函数y=a x 的图象平移得到;
②函数y=2x 的图象与函数y=log 2x 的图象关于y 轴对称;
③方程log 5(2x+1)=log 5(x 2-2)的解集为{-1,3};
④函数y=ln(1+x )-ln(1-x )为奇函数.
其中正确的是____.(把你认为正确结论的序号填上)
三、解答题
17．（1）求1037188-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值；
（2）求7log 27lg252lg2++-.
18．已知集合{|32}A x x =-≤≤，集合{|131}B x m x m =-≤≤-.
（1）求当3m =时，,A
B A B ； （2）若A B A =，求实数m 的取值范围.
19．已知二次函数()()22112f x x a x a =+-+-．
（1）若()f x 只有一个零点，求实数a 的值；
（2）若()f x 在区间()1,0-及10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
内各有一个零点，求实数a 的取值范围． 20．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （2）＝1．
（1）求证：(8)3f =；
（2）求不等式()(2)3f x f x -->的解集．
21．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0，且a ≠1.
（1）求f (x )的定义域；
（2）判断f (x )的奇偶性，并予以证明；
（3）当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围. 22．已知定义域为R 的函数，12()2x x b f x a
+-+=+是奇函数. （1）求a ，b 的值；
（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范
围.
参考答案
1．C
【分析】
由题意先解出集合A,进而得到结果．
【详解】
解：由集合A 得x 1≥,
所以{}A B 1,2⋂=
故答案选C.
【点睛】
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
2．B
【解析】
【分析】
由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出x 的不等式组，求解即可．
【详解】
解：要使原式有意义只需：
23020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得32x ≥且2x ≠， 故函数的定义域为()3,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭
． 故选：B ．
【点睛】
求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的x 的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．
3．D
【解析】
试题分析：根据函数的定义知，对于定义域内的任一变量，都有唯一的函数值和其对应，显然选项A 、B 、C 中均有一个变量对应多个值，即错误，故选D ．
考点：函数的定义．
4．A
【分析】
根据指数运算求出a 的值，然后利用对数的运算律求出1log 2
a
的值. 【详解】 2242a ==，2a ∴=，所以，12211log log log 2122
a
-===-. 故选：A.
【点睛】 本题考查指数运算，同时也考查了对数运算，考查计算能力，属于基础题.
5．A
【分析】
根据基本初等函数的单调性判断出各选项中的函数在区间(),0-∞上的单调性，可得出正确选项.
【详解】
对于A 选项，函数y x =在区间(),0-∞上为增函数；
对于B 选项，函数1y =为常值函数，在区间(),0-∞上不是增函数；
对于C 选项，函数1y x
=在区间(),0-∞上为减函数； 对于D 选项，当0x <时，y x x ==-，该函数在区间(),0-∞上为减函数.
故选：A.
【点睛】
本题考查基本初等函数单调性的判断，熟悉一些常见基本初等函数的单调性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.
6．C
【分析】
由题意可以画出y 1=e ﹣x 与y 2=x 的图象，他们的交点就是函数f （x ）=e ﹣x ﹣x 的零点.
【详解】
∵函数f （x ）=e ﹣x ﹣x ，画出y 1=e ﹣x 与y 2=x 的图象，如下图：
∵当x=1
2时，y 1y 2=12
， 当x=1时，y 1=1e
＜y 2=1， ∴函数f （x ）=e ﹣x ﹣x 的零点所在的区间是（
12，1）．
故选C ．
【点睛】
此题主要考函数零点与方程根的关系，利用转化思想解决问题．画两个函数的图象数形结合求解，
7．C
【分析】
将问题转化为函数2x
y =与函数1y x =+图象的交点个数，作出两函数的图象，观察两函数图象的交点个数即可.
【详解】
由题意可知，方程21x x =+的解的个数⇔函数2x y =与函数1y x =+图象的交点个数， 如下图所示：
由图象可知，两个函数有2个交点，因此，方程21x x =+的解的个数为2.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数方程解的个数，一般转化为两函数图象的交点个数，考查数形结合思想与化归与转化思想的应用，属于中等题.
8．D
【分析】
按照1a >和01a <<两种情况分类讨论函数的单调性,可求得最值,根据已知列方程可解得.
【详解】
当1a >时, x y a =在[]1,2上递增,y 的最大值为2a ，最小值为a, 故有22a a a -=，解得32
a =或0a = (舍去). 当01a <<时，x y a =在[]1,2上递减,y 的最大值为a ,最小值为2a ， 故有2
2a a a -=，解得12
a =或0a =(舍去). 综上，32a =或12a =. 故选D.
【点睛】
本题考查了指数函数的单调性和分类讨论思想.属于基础题.
9．B
【解析】
化简9342log log =，先求出()32f log -的值，再根据函数奇偶性的性质，进行转化即可得到结论．
【详解】
∵93420log log =＞，
∴320log -＜，
()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ＜时，()3x f x =，
∴()()3322f log f log -=-，
即()()3log 23312-23
2f log f log -=-=-=-，故选B ． 【点睛】
本题主要考查函数值的计算，考查了对数的运算以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．
10．D
【分析】
根据指、对数的单调性直接将,,a b c 的范围求出来，然后再比较大小.
【详解】
因为333log 7(log 3,log 9)a =∈，所以(1,2)a ∈； 1.122b =>； 3.100.80.81c =<=； 所以c a b <<，
故选D.
【点睛】
指对数比较大小，常用的方法是：中间值1分析法（与1比较大小），单调性分析法（根据单调性直接写出范围）.
11．A
【分析】
将函数表达式化为()(),0ln ,0lnx x x x f x ln x x x >⎧=
=⎨--<⎩
，由函数奇偶性得到BC 不正确，再由特殊值得到最终结果.
因为()(),0ln ,0lnx x x x f x ln x x x >⎧=
=⎨--<⎩是奇函数排除,B C ，且当1x >时，()0f x >. 故答案为A.
【点睛】
这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.
12．C
【解析】
【分析】
由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围.
【详解】
当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，
当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >
， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34
a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤
⎥⎝⎦
. 本题选择C 选项.
【点睛】 对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
13．9
【分析】
由题意及待定系数法求出幂函数的解析式，然后再求出()3f 即可．
【详解】
由题意设()f x x α=，
∵点()2,4P 在函数()y f x =的图象上，
∴24α=，
∴2α=，
∴()2
f x x =， ∴()39f =.
故答案为9.
【点睛】
本题考查幂函数的定义，解题的关键是熟知幂函数的解析式，属于基础题．
14．()1,1-
【分析】
令指数为零，求出x 的值，再代入该函数即可得出定点P 的坐标.
【详解】
令10x -=，得1x =，此时，0
21y a =-=-，因此，点P 的坐标为()1,1-. 故答案为：()1,1-.
【点睛】
本题考查指数型函数图象过定点问题，一般通过指数为零来求得，考查计算能力，属于基础题.
15．4或【分析】
分02x ≤和02x >两种情况解方程()08f x =，可得出实数0x 的值.
【详解】
()()
()
22,22,2x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，当02x ≤时，()20028f x x =+=，解得0x =； 当02x >时，()0028f x x ==，解得04x =.
综上所述，04x =或
故答案为：4或
【点睛】
本题考查分段函数方程的求解，在计算时要结合自变量的取值选择合适的解析式来计算，考查计算能力，属于基础题.
16．①④
【分析】
根据题意，由平移的性质对①进行判断；根据指数函数和对数函数关于直线y x =对称可以
对②进行判断；对于③，方程可以写成：2221020212x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+=-⎩
，求解集即可；通过比较()f x 与
()f x -的关系可以对④进行判断。

【详解】
根据题意可知：
对于①，函数2(0,x y a
a +=> 且1)a ≠可以由函数x y a =向左平移2个单位得到，故①正
确；
对于②，函数2x y =与函数2log y x =的图像关于直线y x =对称，故②错误； 对于③，由255log (21)log (2)x x +=-可得：
2221020212x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+=-⎩
，解得3x =，故③错误；
对于④，()()11y ln x ln x =+--，定义域为（-1,1）
，关于原点对称，[]()ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)()f x x x x x f x -=--+=-+--=- ，所以函数为奇函数， 故④正确。

正确答案：①④
【点睛】
本题主要考查了指数函数与对数函数的关系和性质，熟练掌握平移、奇函数、求方程的解等知识是解题的关键。

17．（1）π；（2）
52
. 【分析】
（1）根据指数的运算律和根式的性质可计算出所求代数式的值；
（2）利用对数的运算性质和对数恒等式可计算出所求代数式的值.
【详解】
（1）原式133123123πππ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=++-=++-=；
（2）原式()23352lg 252
22222
=+⨯-=+-=. 【点睛】 本题考查指数式与对数式的计算，熟悉指数与对数的运算性质是计算的关键，考查计算能力，属于基础题.
18．（1）
,{|38}x x -≤≤；（2）4m ≥.
【详解】
（1）当时，，
，
（2）由
，得：， 则有
，解得：，即， ∴实数的取值范围为. 19．（1）12a =或32a =-；（2）13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【分析】 （1）根据题意得出0∆=，可得出关于实数a 的值；
（2）根据二次函数()y f x =的两个零点所在的区间得出()()1000102f f f ⎧->⎪<⎪⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩
，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可.
【详解】
（1）若函数()y f x =只有一个零点，则判别式0∆=，
即()()()()22141221230a a a a ∆=---=-+=，解得12a =或32
a =-； （2）若二次函数()y f x =在区间()1,0-及10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
内各有一个零点， 则()()1000102f f f ⎧->⎪<⎪⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，即340120304a a a ⎧⎪->⎪-<⎨⎪⎪->⎩，则341234a a a ⎧<⎪⎪⎪>⎨⎪⎪<⎪⎩，解得1324a <<， 因此，实数a 的取值范围是13,24⎛⎫
⎪⎝⎭． 【点睛】
本题考查利用二次函数零点个数求参数，同时也考查了利用二次函数的零点分布求参数，一般要结合二次函数的图象分析二次函数首项系数的符号、判别式、对称轴以及区间端点函数值的符号，列出不等式组求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
20．（1）证明见解析；（2）1627
x <<
． 【分析】
（1）根据()21f =，结合f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），利用赋值法即可求得()8f ，则问题得证；
（2）等价转化不等式，利用函数单调性，即可求得不等式解集.
【详解】
（1）由题意得(8)(42)(4)(2)(22)(2)3(2)3f f f f f f f =⨯=+=⨯+==
（2）原不等式可化为()(2)(8)(8(2))f x f x f f x >-+=-
由函数()f x 是(0,)+∞上的增函数得8(2)0x x >->， 解得1627
x <<． 故不等式()(2)3f x f x -->的解集为162,7．
【点睛】
本题考查抽象函数函数值的求解，以及利用函数单调性解不等式，属综合基础题. 21．（1）{x |－1＜x ＜1}；（2）f (x )为奇函数；证明见解析；（3）(0，1).
【分析】
（1）根据真数大于零，列出不等式，即可求得函数定义域；
（2）计算()f x -，根据其与()f x 关系，结合函数定义域，即可判断和证明； （3）利用对数函数的单调性，求解分式不等式，即可求得结果.
【详解】
（1）因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，
所以1010
x x +>⎧⎨->⎩解得－1＜x ＜1.
故所求函数的定义域为{x |－1＜x ＜1}.
（2）f (x )为奇函数.
证明如下：由（1）知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，
且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x ).
故f (x )为奇函数.
（3）因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，
由f (x )＞0，得11x x
+-＞1，解得0＜x ＜1. 所以x 的取值范围是(0，1).
【点睛】
本题考查对数型复合函数单调性、奇偶性以及利用函数性质解不等式，属综合中档题. 22．（1）2a =；1b =（2）13
k <-
【分析】
（1）先由()00=f 求出1b =，然后由11f f 求出2a = （2）由12111()22221
x x x f x +-+==-+++得()f x 在R 上为减函数，然后将不等式()()22220f t t f t k -+-<化为2320t t k -->即可.
【详解】
（1）因为()f x 是R 上的奇函数，
所以()00=f ，即102b a
-+=+，解得1b =. 从而有121()2x x f x a +-+=+.又由11f f 知1121241a a
-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当121()22
x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意 （2）由（1）知12111()22221
x x x f x +-+==-+++， 由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+. 因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.
即对一切t R ∈有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-.
【点睛】
本题主要考查的是利用函数的奇偶性和单调性解不等式，较为典型.。