广东省韶关市高三数学十校10月联考试题 文 新人教A版(1)

韶关市2015届高三级十校联考试题
（文科数学）
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

【注意事项】
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、试室号、座位号填写在答题卷相应位置上。

2．必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不按以上要求作答的答案无效。

3．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合{|1}A x x =>，
2
{|4}B x x =<，那么A B =I （ ） A.(2,2)- B.(1,2)- C.(1,2) D.(1,4)
2.设i 为虚数单位，则51i
i -+等于（ ）
A.i 32--
B.i 32+-
C.i 32-
D.i 32+
3.命题“
01,≥+-∈∀x e R x x
”的否定是( )
A ．01,<+-∈∀x e R x x
B ．01,≥+-∈∃x e R x x
C ．01,>+-∈∀x e R x x
D ．
01,<+-∈∃x e R x x 4．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )
A.
3y x = B. ln()y x =- C. x
y xe -= D.
2
y x x =+
5．设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-≥+3311y x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最小值为（ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
6.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x
=±，则双曲线的离心率e =（ ）
2 D. 54
7.阅读右图所示程序框图，运行相应的程序，输出S 的值等于（ ） A. -3 B. -10 C. 0 D. -2 8. 已知n m ,为异面直线，
⊂m 平面α，⊂n 平面β，
l =⋂βα，则直线l （ ）
A. 与n m ,都相交
B. 与n m ,都不相交
C. 与n m ,中至少一条相交
D. 至多与n m ,中的一条相交
9．设a R ∈，若函数
x
y e ax =+，x R ∈，有大于1-的极值点，则（ ）
A 、1a <-
B 、1a >-
C 、
1a e <-
D 、1
a e >-
10．设M 是ABC ∆内一点，且32=⋅，︒
=∠30BAC .定义),,()(p n m M f =，其中
p n m ,,分别是MAB MCA MBC ∆∆∆,,的面积. 若),,21
()(y x P f =，则
22l g l g o x o y +的最大值是（ ） A ．5-
B ．4-
C ．3-
D ．2-
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生只
能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。

（一）必做题（11—13题）
11. 某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，现用分层抽样的方法从该地区中小学生中抽取243人作为样本，那么抽取的小学生的人数是 个。

12．在ABC ∆中，
54cos ,135sin -==
B C ，则角A cos ＝ .
13．将正整数排成下表：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
………………………………………………
其中排在第i 行第j 列的数若记为j i a ，例如：934=a ，则6263a ＝ .
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点(5,)3A π、2(8,)
3B π，则AB =
.
（几何证明选讲选做题）如下图所示，AB 是半径
等于3的圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，,BA DC 的延
长线
交于点P ，若4PA =，5PC =，则CBD ∠= . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知函数
2
()3sin 22sin f x x x =-. （Ⅰ）若点(1,3)P -在角α的终边上，求()f α的值；
（Ⅱ）若
[,]
63x ππ
∈-
，求()f x 的值域.
17.（本小题满分12分）对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下： 教师年龄 5年以下 5年至10年 10年至20年 20年以上 教师人数 8 10 30 18 经常使用信息技术实施教学的人数
2
4
10
4
（Ⅰ）求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率.
（Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？
（本小题满分14分） 如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面
⊥MNEF 平面ECDF ．
（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ；
（Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体CDFN 体积的最大值．
19.（本小题满分14分）
已知在正项数列
{}n a 中，n S 表示数列{}n a 前n 项和且
,4121412++=
n n n a a S +∈N n ，数列
A B
C
D
E
F
{}{}
1,41
n n n n n b b T b S =
-满足为数列的前n 项和。

(I) 求
,n n
a S ;
(II)是否存在最大的整数t ,使得对任意的正整数n 均有36t
T n >
总成立?若存在,求出t ;若
不存在,请说明理由, 20．（本题满分14分）
在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2
ax y =（其中0>a ）上任意一点与点)41,
0(a P 的
距离等于它到直线1-=y 的距离． (I)求抛物线的方程；
(Ⅱ)若点M 的坐标为)2,0(，N 为抛物线上任意一点，是否存在垂直于y 轴的直线l ， 使直线l 被以MN 为直径的圆截得的弦长恒为常数？若存在，求出直线l 的方程； 若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分14分）
已知
2
2()()2x a
f x x R x -=
∈+在区间[1,1]-上是增函数.
(1)求实数a 的取值范围；
(2)记（1）中实数a 的范围为集合A ，且设关于x 的方程1
()f x x =
的两个非零实根为12,x x .
①求
12||
x x -的最大值；
②试问：是否存在实数m ，使得不等式2121||m tm x x ++>-对于任意a A ∈及[1,1]t ∈-
恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
韶关市2015届高三级十校联考文科数学参考答案
110 12、 6563 13、 2015 14、 7 15、
)
6(30π
或ο 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、解：
（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，
所以
sin α=，1
cos 2α=， ………………2分
所以
22
()22sin cos 2sin f αααααα=-=- ………………4分
21(2()3222=-
⨯-⨯-=-. ………………5分
（Ⅱ）
2
()22sin f x x x =
-cos 21x x =+- ………………6分 2sin(2)1
6x π
=+-， ………………8分
因为
[,
]63x ππ
∈-
，所以
656
26
π
π
π
≤
+
≤-
x ， ………………10分
所以1sin(2)1
26x π-≤+≤， ………………11分
所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………12分 17、解（Ⅰ）该校教师总人数为66人，其中经常使用信息技术教学的教师有20人，不经常
使用信息技术实施教学的有46人，所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的
概率
46236633p =
=
；………………………………………4分
（Ⅱ）在教龄10年以下的教师中，教龄在5年以下的有2人分别记为1,2
A A ；教龄5年
至10年的有4人分别记为
1234
,,,B B B B ,从这6人中任选2人的情况有：
()()()12111213(A ),A ,A ,A ,A B B B ()
14A B ，
()()()()()
2122232412,,,,A B A B A B A B B B ,
()()()()()1314232434,,,,B B B B B B B B B B 共15种.……8分
设其中恰有一人教龄在5年以下为事件A ，则事件A 包含的基本事件有8种。

……………10分
所以
158
)(=
A p ………………………………………11分
答：在教龄10年以下，且经常使用信息技术教学的教师中任选2人，其中恰有一人
教龄在5年以下的概率是158。

……………………………12分
18、【答案】（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，
所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==． 所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分
所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，
所以 NC ∥平面MFD ． ………4分 （Ⅱ）证明：连接ED ，设ED FC O =I ．
因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，
所以 ⊥NE 平面ECDF ， ………5分
所以 FC NE ⊥． ………………6分
又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． …………7分 所以 ⊥FC 平面NED ， …………8分
所以 FC ND ⊥． ……9分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<． 由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ，
所以四面体CDFN 的体积为==NCDF
CDFN V V 11
(4)32NFEC EFC
V S NE x x ∆=⋅=-． (11)
分
所以 2
1(4)[]2
22NFEC x x V +-≤=． ………13分
当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． (14)
19.解、（Ⅰ）Θ
41
21412++=
n n n a a S
∴
141
2141,1112111=++=
==a a a a S n 得时当，………1分
当n ≥2时，
)
412141()412141(12
121++-++=-=---n n n n n n n a a a a S S a 整理得0
)2)((11=--+--n n n n a a a a ………………3分
∵数列{}n a 各项为正，
∴0
1>+-n n a a ……………………4分
∴
)
2(20211≥=-=----n a a a a n n n n 即………………5分
∴数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列
∴
1
22)1(1-=⨯-+=n n a a n 。

………………6分
2
1()[1(21)]
22n n n a a n n S n ++-=
==………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
2111141
22121n b n n n ⎛⎫
=
=
- ⎪
--+⎝⎭ ………………8分
于是
11111
112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦L ………10分 易知数列{}n T 是递增数列，故T1=31是最小值，………………12分
所以只需3136t >
，即12<t ，因此存在11=t 符合题意。

………………14分
20.解：（本题满分14分）
(I)由抛物线的定义知
)41,
0(a P 是其焦点，且141=a …………3分
∴
41=
a ，抛物线方程为y =2
41x
…4分
(Ⅱ)设),2(2
x x N 则MN 的中点H 的坐标为
)21,(2
x x H + ……6分 设直线l 的方程为c y =，则
点H 到直线l 的距离为|
22
|2c x d -+=,……………………7分
=2||MN 22
2)2(4-+x x 44+=x …………8分
设所求弦长为L ，则
22||MN L =4442+=-x d 22)22
(4c x -+-
)1(42-=c x 248c c -+ ………11分
若弦长L 恒为常数，即L 的值与x 的值无关， 所以2,1==L c ………………13分
所以存在垂直于y 轴的直线l ,使直线l 被以MN 为直径的圆截得的弦长恒为常数， 此直线l 的方程为1=y ………………………………14分
解：（1）222
2(2)()(2)x ax f x x ---'=+.………………1分
()f x Q 在[-1，1]上是增函数；
()0f x '∴≥即220x ax --≤，在[1,1]x ∈-恒成立……①………………2分
设
2
()2x x ax ϕ=--，则由①得
(1)120(1)120a a ϕϕ=--≤⎧⎨
-=+-≤⎩ ………………4分
解得11≤≤-a 所以，a 的取值范围为[1,1]-.………………5分 （2）由（1）可知{|11}A a a =-≤≤
由
1()f x x =
即2
21
2x a x x -=+得220x ax --=………………7分
280a ∆=+>Q ，设1x ，2x 是方程220x ax --=的两个非零实根. 12x x a
∴+=，
122
x x =-，………………8分
又11a -≤≤
.
12||3
x x ∴-==≤.………………10分
于是要使2
13m tm ++>即2
20m tm +-≥对a A ∀∈及[1,1]t ∈-恒成立. 即2
13m tm ++>即2
20m tm +->对[1,1]t ∀∈-恒成立……②………………11分
设
22
()2(2)g t m tm mt m =+-=+-，则由②得 22(1)20(1)20g m m g m m ⎧-=-->⎪⎨=+->⎪⎩ ………………13分
解得2m >或2m <-
故存在实数(,2)(2,)m ∈-∞-+∞U 满足题设条件.………………14分。